专题18 矩形菱形正方形（共39题）-2023年中考数学真题分项汇编（解析版）

专题18矩形菱形正方形（39题）

一、单选题

1.（2023・湖南•统考中考真题）如图，菱形A8C3中，连接AC,BD,若/1=20。，则N2的度数为（）

A

A.20°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】根据菱形的性质可得5。LAC,8,则N1=NAC2ZAC£>+N2=9O。，进而即可求解.

【详解】解：•••四边形438是菱形

BDLAC,AB//CD,

：.Zl=ZACD,ZACD+Z2=90°,

Zl=20°,

Z2=9O°-2O°=7O°,

故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键.

2.（2023•湖南常德•统考中考真题）如图1,在正方形ABCO中，对角线AC、8。相交于点。，E,F分别为

A。，£>。上的一点，且£F〃A。，连接若NE4c=15。，则的度数为（）

C.105°D.115°

【答案】C

【分析】首先根据正方形的性质得到N04£>=NOD4=45。，AO=。。，然后结合所〃4）得到OE=OF,

然后证明出△AOF四△OQE（SAS）,最后利用三角形内角和定理求解即可.

【详解】•..四边形ABC。是正方形

/.ZOAD=ZODA=45°,AO=DO

,/EF//AD

NOEF=NOAD=45°,NOFE=ZODA=45°

，ZOEF=ZOFE

：.OE=OF

又；ZAOF=NDOE=90。,AO=DO

：.△AOF丝△ZX）E（SAS）

NODE=NE4c=15°

ZADE=AODA-NODE=30°

，ZAED=180°-ZOAD-ZADE=105°

故选：C.

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形三角形的性质等知识，解

题的关键是熟练掌握以上知识点.

3.（2023•湖南常德•统考中考真题）下列命题正确的是（）

A.正方形的对角线相等且互相平分B.对角互补的四边形是平行四边形

C.矩形的对角线互相垂直D.一组邻边相等的四边形是菱形

【答案】A

【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可.

【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；

B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；

C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；

D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误.

故选：A.

【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边

形的判定和性质.

4.（2023•浙江•统考中考真题）如图，在菱形ABC。中，AB=\,ZDAB=CA）°,则AC的长为（）

D

A"B.1C.3D.73

22

【答案】D

【分析】连接B£＞与AC交于。.先证明△ABD是等边三角形，由AC23。，得至"2048=3/84。=30°,

ZAOB=90°,即可得到QB=gAB=g,利用勾股定理求出A。的长度，即可求得AC的长度.

【详解】解：连接B£）与AC交于。.

♦..四边形A8CO是菱形，

AB//CD,AB=AD,AC1BD,AO=OC=-AC,

2

VZDAB=60°,RAH=AD,

△AB。是等边三角形，

ACJ.BD,

：.ZOAB=-NBAD=30°,ZAOB=90°,

2

/.OB=-Afi=-,

22

AO=《ABi-OB。=』_(£)=15/3,

/.AC=2AO=y[3,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30。角所对直角边等于斜边的

一半，关键是熟练掌握菱形的性质.

5.（2023・上海・统考中考真题）在四边形"CO中，AD//BC,AB=CD.下列说法能使四边形A8CD为矩形

的是（）

A.ABCDB.AD=BCC.ZA=ZBD.ZA=ZD

【答案】C

【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可.

【详解】A：ABCD,AD//BC,AB=CD

ABC。为平行四边形而非矩形

故A不符合题意

B：AD=BC,AD//BC,AB=CD

ABCD为平行四边形而非矩形

故B不符合题意

C：AD//BC

.-.ZA+ZB=180o

ZA=ZB

•1.ZA=ZB=90°

AB=CD

为矩形

故C符合题意

D：AD〃BC

.-.ZA+ZB=180o

ZA=ZD

.-.Z£>+ZB=180°

ABC。不是平行四边形也不是矩形

故D不符合题意

故选：C.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识

并灵活运用是解题的关键.

6.（2023•浙江宁波•统考中考真题）如图，以钝角三角形4BC的最长边8c为边向外作矩形3CDE,连结

AE,AD,设△AS,..ACD的面积分别为S,$,S2,若要求出S-岳-S?的值，只需知道（）

A

BC

ED

A.二至£的面积B.AC£＞的面积C.“ABC的面积D.矩形BCOE的面积

【答案】C

【分析】过点A作尸G〃8C,交£8的延长线于点F,DC的延长线于点G,易得：

FG=BC,AF±BE,AG±CD,利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得E+邑=；%磔的，再根据

S=SABC+S矩物JCD£—S|—$2=SABC+5s矩形8COE，得到$〜S|—邑=$ABC，即可得出结论.

【详解】解：过点A作FG〃BC,交EB的延长线于点尸，0c的延长线于点G,

•••矩形BCDE,

/.BC1BE,BC±CD,BE=CD,

FGLBE,FGLCD,

，四边形BFGC为矩形，

FG=BC,AF±BE,AGVCD,

：.S1=^BEAF,S2=^CDAG,

...工+邑=；BE（AF+AG）=；BE•8C=；SXDE,

乂S=SABC+S矩形BCDE_S[_S?=Sabc+-S矩形BCDE，

S-S]-S2=SABC+QS矩形BCDE_QS粗形BCDE=SABC，

・・・只需要知道AABC的面积即可求出5-5.-52的值;

故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积.解题的关键是得到工+邑=3$矩形3COE

7.（2023・湖南•统考中考真题）如图所示,在矩形A8C。中，AB>AD,AC与30相交于点O,下列说法

B.点。为线段A8的对称中心

D.直线AC为线段8。的对称轴

【答案】A

【分析】由矩形ABC。是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段A8的对称中心是线段AB的中点,

矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的宜线，从而可得答案.

【详解】解：矩形A8CD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A符合题意;

线段A8的对称中心是线段A8的中点，故B不符合题意;

矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线,

故C,D不符合题意;

故选A

【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义，矩形的性质，熟记矩形既是中心对称图形也是

轴对称图形是解本题的关键.

8.（2023・四川宜宾・统考中考真题）如图，边长为6的正方形A8C。中，M为对角线期9上的一点，连接AM

则AM的长为（）

A.3（＞/3-1）B.3（3^-2）C.6M7）D.6（36-2）

【答案】c

【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出AADMMCDM,根据全等三角形的性质可得

ZDAM=ZDCM,再根据等腰三角形的性质可得/aWP=NDGW,从而可得NZMM=30。，然后利用勾股

定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得.

【详解】解：四边形A3CD是边长为6的正方形，

AD=CD=6,AADC=90°,ZADM=NCDM=45°,

DM=DM

在和VCDW中，，NA£»M=NCQM=45。，

AD=CD

ADM(SAS),

:.ZDAM=ZDCM.

PM=PC,

:.NCMP=NDCM,

ZAPD=ZCMP+ZDCM=2ZDCM=2ZDAM,

又・ZAPD+ZDAM=180°-ZADC=9()0.

：.ZDAM=30°,

设PD=x,则AP=2P£)=2x,PM=PC=CD-PD=6-x,

AD=^AP^-PET=&=6，

解得X=2>/5，

:.PM=6-x=6-20AP=2x=4yfi,

:.AM=AP-PM=4^-(6-25/3)=6(^-1),

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识

点，熟练掌握正方形的性质是解题关键.

9.(2023•四川乐山•统考中考真题)如图，菱形ABQ)的对角线AC与8。相交于点O,E为边BC的中点，

连结OE.若AC=6,BD=8,则OE=()

A

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】B

【分析】先由菱形的性质得AC1M,OC==AC=:x6=3,O8=1BO=1X8=4,再由勾股定理求出

2222

BC=5,然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解.

【详解】解：•••菱形ABCD,

/.AC1BD,OC^-AC=-x6=3,OB=-BD=-S=4,

2222

由勾股定理，得BCAOB=OC。=5,

YE为边BC的中点，

0E=-BC=-x5=-

222

故选：B.

【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是

解题的关键.

10.（2023•甘肃武威•统考中考真题）如图，将矩形ABC。对折，使边A8与。C,BC与AO分别重合，展

8c=4,则四边形EFG4的面积为（)

C.5D.6

【答案】B

【分析】由题意可得四边形EFG”是菱形，FH=AB=2,GE=BC=4,由菱形的面积等于对角线乘积的

一半即可得到答案.

【详解】解：•••将矩形A8CO对折，使边A8与。C,8c与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH,

EF工GH,EFHGH互相平分,

，四边形EFGH是菱形，

•；切=他=2,GE=BC=4,

，菱形EFG”的面积为L尸"•GE='x2x4=4.

22

故选：B

【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半

是解题的关键.

11.（2023•浙江绍兴•统考中考真题）如图，在矩形A5CD中，。为对角线8。的中点，ZABD=60°.动点E

在线段。8上，动点尸在线段0。上，点瓦F同时从点。出发，分别向终点良。运动，且始终保持OE=OF.点

E关于ARAB的对称点为昂6；点F关于3C,8的对称点为耳，居.在整个过程中，四边形耳E/内形状

的变化依次是（）

Fi

A.菱形一平行四边形一矩形一平行四边形一菱形

B.菱形一正方形t平行四边形一菱形一平行四边形

C.平行四边形一矩形-平行四边形一菱形一平行四边形

D.平行四边形一菱形一正方形一平行四边形一菱形

【答案】A

【分析】根据题意，分别证明四边形片七片心是菱形，平行四边形，矩形，即可求解.

【详解】•四边形ABCD是矩形，

?.AB//CD,ZBAD=ZABC=90°,

：.NBDC=ZABD=60°,ZADB=NCBD=90°-60°=30°,

■：OE=OF、OB=OD,

DF=EB

・・•对称,

DF=DF2,BF=BF\,BE=BE2,DE=DEl

:.EM=七2K

•・•对称，

・・.4F?DC=/CDF=60°,ZEDA=/E】DA=30°

.・・/E】DB=60。，

同理/耳3。=60。，

:.DE、//BF}

EiF2//E?F\

・・・四边形片马耳鸟是平行四边形，

如图所示，

当区£。三点重合时，DO=BO,

G=DF2=AE]=AE2

即£jE2=EiF2

・・・四边形片马耳鸟是菱形，

如图所示，当瓦尸分别为。。,。8的中点时,

设£>3=4,则。"=。尸=1,DE、=DE=3,

在RtA4B£)中，AB=2,AD=2也,

连接4E,AO,

VZABO=60°,BO=2=AB,

.A3O是等边三角形，

,/E为08中点，

/.AELOB,BE=1，

AE=-j22-12=A/3-

根据对称性可得AE\=AE=6,

：.AD2=12,DE；=9,AE-=3,

AD'=AE：+DE',

•LOgA是直角三角形，且Ng=90。,

二四边形ElE2FlF2是矩形，

当F,E分别与电合H寸，BED也才;都是等边三角形，则四边形E卢是菱形

在整个过程中，四边形耳与石名形状的变化依次是菱形一平行四边形一矩形一平行四边形一菱形，

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股

定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

12.（2023•重庆•统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，。为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连

接BE,=连接CE并延长，与—ABE的平分线交于点F,连接QF,若49=2,则。尸的长度为（）

【答案】D

【分析】连接AF，根据正方形ABCO得到==ZABC=90°,根据角平分线的性质和等腰三角

形的性质，求得NBFE=45。,再证明,.他尸会.£3尸，求得NAFC=90。，最后根据直角三角形斜边上的中

点等于斜边的一半，即可求出OF的长度.

【详解】解：如图，连接AF，

.,四边形A8CD是正方形，

:.AB=BE=BC,ZABC=90°,AC=6AB=2五，

:.ZBEC=ZBCE,

ZEBC=180°-2ZBEC,

ZABE=ZABC-NEBC=2ABEC-90°,

BF平分/ABE,

ZABF=NEBF=-ZABE=NBEC-45°,

2

ZBFE=NBEC—NEBF=45°,

在AJM尸与△BEF,

AB=EB

<NABF=NEBF,

BF=BF

..△BA尸丝△BEF（SAS）,

:.NBFE=NBFA=45。,

ZAFC=NBAF+NBFE=90°,

。为对角线AC的中点，

:.OF=-AC=y/2,

2

故选:D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作

出正确的辅助线，求得NBFE=45。是解题的关键.

二、解答题

13.（2023・湖南怀化•统考中考真题）如图，矩形A8CO中，过对角线的中点。作8。的垂线E尸，分别

交AD,BC于点E,F.

(1)证明：4BOFm4DOE；

（2）连接8£、DF,证明：四边形EBED是菱形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据矩形的性质得出A£）〃BC,则N1=N2,N3=N4,根据。是8。的中点，可得30=00,

即可证明ABOF丝△OOE（AAS）：

（2）根据aBO尸名△DOE可得即=",进而可得四边形E3/7）是平行四边形，根据对角线互相垂直的

四边形是菱形，即可得证.

【详解】（1）证明：如图所示，

•••四边形A8CO是矩形，

，AD//BC,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

,/。是8。的中点，

BO=DO,

在,.BOF与0OE中

Zl=Z2

-N3=N4,

BO=DO

：./\BOF^ADC>E(AAS)；

(2)；/\BOF必DOE

/.ED=BF,

又•:ED//BF

四边形EBFD是平行四边形，

,/EFYBD

四边形是菱形.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与

判定是解题的关键.

14.(2023・湖北随州•统考中考真题)如图，矩形ABCD的对角线AC,8。相交于点O,DEAC,CEBD.

(1)求证：四边形OCE。是菱形；

(2)若BC=3,DC=2,求四边形OC£»的面积.

【答案】⑴见解析；（2）3

【分析】（1）先根据矩形的性质求得OC=8,然后根据有•组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；

（2）根据矩形的性质求得一08的面积，然后结合菱形的性质求解.

【详解】（1）解：；DE//AC,CE//BD,

四边形OCE。是平行四边形，

又：矩形ABCD中，OC=OD,

，平行四边形0CED是菱形；

（2）解：矩形A8C£＞的面积为5coe=3x2=6,

_13

•....08的面积为：x6=彳，

42

3

菱形OCE3的面积为2x-=3.

【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确

推理论证是解题关犍.

15.（2023•湖南永州•统考中考真题）如图，已知四边形A3。是平行四边形，其对角线相交于点0,

OA=3,BD=8,AB=5.

B匕----------------

（1）AQ5是直角三角形吗？请说明理由；

（2）求证：四边形ABCD是菱形.

【答案】（1）408是直角三角形，理由见解析.（2）见解析

【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得8。=；8。=4,再根据勾股定理的逆定理，即可得出结

论；

（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证.

【详解】（1）解：A08是直角三角形，理由如下：

•..四边形ABCD是平行四边形，

B0=-BD=4,

,/Ofic+OB1=32+42=52=AB-,

AO8是直角三角形.

（2）证明：由（1）可得：一AOB是直角三角形，

，ZAOB=90°,

即ACA-BD,

•..四边形A8CD是平行四边形，

，四边形ABC。是菱形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四

边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

16.（2023・新疆•统考中考真题）如图，AO和8c相交于点O,NABO=NDCO=90。，OB=OC.点、E、F

分别是AO、的中点.

⑴求证：OE=OF；

⑵当NA=30。时，求证：四边形8反尸是矩形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）直接证明△AO8四△OOC（ASA）,得出。4=。。，根据E、F分别是A。、£＞。的中点，即可

得证；

（2）证明四边形8瓦方是平行四边形，进而根据NA=30。，推导出△BOE是等边三角形，进而可得BC=瓦1,

即可证明四边形BECF是矩形.

【详解】（1）证明：在408与△DOC中，

[N4BO=NOCO=90°

\oB=OC

[ZAOB=ZDOC

：.△AO修△OOC（ASA）,

OA=OD,

又；E、F分别是AO、。。的中点，

OE=OF；

(2),：OB=OC,OF=OE,

，四边形8反产是平行四边形，BC=2OB,EF=20E,

为AO的中点，ZABO=90°,

：.EB=EO=EA,

'：ZA=30°,

NBOE=60。,

/\BOE是等边三角形，

/.OB=OE,

：.BC=EF,

四边形BEC尸是矩形.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识

是解题的关键.

17.（2023•云南・统考中考真题）如图，平行四边形ABC。中，AE,C尸分别是NBA。、N8C£＞的平分线，且

E、尸分别在边BC、4）上，AE^AF.

（1）求证：四边形AEC尸是菱形；

（2）若NABC=60。，的面积等于4百，求平行线A8与。C间的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）4石

【分析】（I）先证BC,再证AE尸C,从而四边形AECF是平行四边形，又A£=AF,于是四边形AECF

是菱形；

（2）连接AC,先求得ZBAE=NDAE=ZABC=60°，再证AC_L4?,ZACB=90。-ZABC=30°=ZEAC,

于是有且=4£,得A3=走AC,再证=从而根据面积公式即可求得AC=4百.

3AC3

【详解】（1）证明：・・•四边形A8CO是平行四边形，

AAD//BC,NBAD=NBCD,

,NBEA=NDAE,

AE,C尸分别是NB4。、N3CD的平分线，

，NBAE=NDAE=1/BAD,ZBCF=yZBCD,

/.ZDAE=NBCF=ZBEA,

：.AEFC,

，四边形AECF是平行四边形，

AE=AF,

•••四边形AEb是菱形；

(2)解：连接AC,

VAD/7BC,ZABC=60°,

：./BAD=180°-ZABC=120。，

二/BAE=/DAE=ZABC=60°,

•..四边形4EC尸是菱形，

ZEAC=JNDAE=30°,

ZBAC=NBAE+ZEA,C=90°,

AACLAB,^ACB=90°-ZABC=30°=ZEAC,

：.AE=CE,tan30°=tanZAC8=空即立=组,

AC3AC

二AB=—AC,

3

NBAE=NABC,

：.AE=BE=CE,

回£的面积等于40，

；•S.=-ACAB=-AC-—AC=—AC2=SY/3,

ABCC2236

平行线AB与DC间的距离AC=4JL

【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角

函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等

腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键.

18.（2023・四川遂宁•统考中考真题）如图，四边形A8CD中，4）〃8C,点。为对角线8。的中点，过点

。的直线/分别与A£＞、8c所在的直线相交于点£、F.（点E不与点£＞重合）

（1）求证：_DOE，BOF；

（2）当直线时，连接BE、DF,试判断四边形田的形状，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）四边形E8FD为菱形；理由见解析

【分析】（1）根据AAS证明"火出金80户即可；

（2）连接EB、FD,根据DOEWBOF,得出£D=B产，根据证明四边形£3包＞为平行四边

形，根据证明四边形EW7）为菱形即可.

【详解】（1）证明：:•点。为对角线5。的中点，

BO=DO,

,/AD//BC,

NODE=NOBF,ZOED=ZOFB,

在.。QE和一80尸中，

Z.0DE=NOBF

■NOED=NOFB,

B0=D0

:._DOE马BOF(AAS)：

（2）解：四边形EBED为菱形，理由如下:

连接EB、FD,如图所示：

根据解析（1）可知，DOE&BOF,

ED=BF,

,/ED//BF,

/.四边形EBFD为平行四边形，

'：11BD,即防_L8£）,

...四边形为菱形.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握

三角形全等的判定方法和菱形的判定方法.

19.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，A£_LBC于点E,AELCO于点F,连接EF

A

⑵若N3=6（）。，求/g1的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）60°

【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明

（2）根据菱形的性质和己知条件可推出/以。度数，再根据第一问的二角形全等和直角三角形的性质可求

出和NZMF度数，从而求出—E4/度数，证明了等边三角形AEF,即可求出一用的度数.

【详解】（1）证明：；菱形ABCD,

.-.AB=AD,ZB=ZD,

又1AE±BC,AFLCD,

ZAEB=ZAFD=9Q°.

在/XAEB和中，

ZAEB=ZAFD

,NB=ND,

AB=AD

：._ABEADF（AAS）.

:.AE=AF.

（2）解：•菱形ABC。，

.­.ZB+Za4£>=180°,

々=60°,

.-.ZBAD=120°.

又•.ZA£B=90°,ZB=60°,

：.ZBAE^30°.

由（1）知aABERADF,

:.ZBAE=ZDAF=30P.

/LEAF=120°-30°-30°=60°.

AE=AF,

.;AEF等边三角形.

.­.ZA£F=60°.

【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法

和菱形的性质.

20.（2023•湖北鄂州•统考中考真题）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AO.

（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作一D4E的平分线"，交BC的延长线于点凡连接。尸.（保留作图痕迹,

不写作法）；

（2）试判断四边形AEED的形状，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）四边形AEFD是菱形，理由见解析

【分析】（I）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；

（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出ZD4F=N4fE,结合角平分线的定义可得NEE4=NE4F,则

AE=EF,然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论.

【详解】（1）解：如图所示：

（2）四边形AEFD是菱形;

理由：：矩形A8CD中，AD//BC,

，ZDAF=ZAFE,

•AF平分

JZDAF=/EAF,

JZEFA=/EAF,

,AE=EF,

,:AE=AD,

•**AD=EF,

・・•AD//EF,

/.四边形AEFD是平行四边形，

又■:AE=AD，

平行四边形AEFD是菱形.

【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形

的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.

21.(2023•吉林长春・统考中考真题)将两个完全相同的含有30。角的直角三角板在同一平面内按如图所示位

置摆放.点A,E,B,力依次在同一直线上，连结A尸、CD.

(1)求证：四边形AEDC是平行四边形；

(2)己知3c=6cm,当四边形是菱形时.AO的长为cm.

【答案】(1)见解析；(2)18

【分析】(1)由题意可知AACBSOFE易得AC=DF,ZCAB=NFDE=300即AC//DF,依据一组对边

平行且相等的四边形是平行四边形可证明；

(2)如图，在RtAACB中，由30。角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得

AB=2BC=12cm,ZABC=60°；由菱形得对角线平分对角得N€7M=/FD4=30。，再由三角形外角和易

证NBC£>=NCD4即可得3c=8D=6cm,最后由A£>=AB+B£>求解即可.

【详解】(1)证明：由题意可知AAC陛△£>庄，

：.AC=DF,ZCAB=ZFDE=30°,

\AC//DF,

四边形AFOC地平行四边形;

(2)如图，在Rt^ACB中，ZACB=90°,ZC4B=30°,BC=6cm,

:.AB=2BC=ncm,ZABC=60°,

西边形AEE心是菱形，

.:AD平分NC£>F,

:.ZCDA=ZFDA=30°,

ZABC=ZCDA+々BCD,

/BCD=ZABC-ZCDA=60°-30°=30°,

:.ZBCD=ZCDA,

BC=BD=6cm,

AD=AB+BD=\8cm,

故答案为：18.

【点睛】本题考查了全等：.角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30。角所对的直角边等于斜边的

一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解.

22.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，已知点A,D,C,B在同一条直线上，且AQ=BC,AE=BF,

（2）若OF=FC时，求证：四边形DECF是菱形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据题意得出AC=6D,再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可：

（2）方法一：利用全等三角形的判定和性质得出Z）E=b,又EC=DF,再由菱形的判定证明即可；方法

-：利用（1）中结论得出=结合菱形的判定证明即可.

【详解】（1）证明：：AD=3C,

AD+DC=BC+DC,

即AC=BD

在AAEC和△3F£)中,

AC=BD

<AE=BF,

CE=DF

:.一AEgGBFD(SSS)

：.ZA=ZB,

：.AE//BF

(2)方法-：在VADE和ABC/中，

[AE=BF

JZA=ZB,

[AD^BC

,ADEgBCF(SAS)

:.DE=CF,又EC=DF,

...四边形OECF是平行四边形

DF=FC,

.DECF是菱形；

方法二：：AAEC丝△BED,

，NECA=NFDB

：.EC//DF,

乂EC=DF,

，四边形QECF是平行四边形

,/DF=FC,

：..DEC尸是菱形.

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识

点是解题关键.

23.(2023・湖南郴州•统考中考真题)如图，四边形48CD是平行四边形.

BC

（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；

（2）若直线分别交AO,BC于E,尸两点，求证：四边形AFCE是菱形

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；

（2）设EF与AC交于点。，证明△AOE^^COF（ASA）,得到OE=OP,得到四边形AFCE为平行四边形,

根据EF1AC,即可得证.

【详解】（1）解：如图所示，MN即为所求；

（2）：•四边形43CQ是平行四边形,

AD//BC,

：.ZCAE=ZACF,

如图：设EF与AC交于点。，

/M

AE/D

BF

,/EF是AC的垂直平分线,

/.AO=OC,EF1AC,

ZAOE=^COF,

：.△AOEYMOF（ASA）,

，OE=OF,

四边形AFCE为平行四边形，

,/EFJ.AC,

四边形AFCE为菱形.

【点睛】本题考查基本作图一作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定.熟

练掌握菱形的判定定理，是解题的关键.

24.（2023・湖北十堰•统考中考真题）如图，YA3CD的对角线4<?,8。交于点。，分别以点8,C为圆心，

长为半径画弧，两弧交于点P,连接BRCP.

（1）试判断四边形BPC。的形状，并说明理由；

（2）请说明当YABCO的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？

【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）AC=33且AC上8。

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到8P=gAC=OC,CP=；8O=QB,根据两组对边分别相等的四

边形是平行四边形判定即可.

（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可.

【详解】（1）四边形8PCO是平行四边形.理由如下：

VYABCD的对角线AC,BD交于点0,

AO=OC,BO=OD,

•.•以点B,C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点P,

/.BP=；AC=OC,CP=；BD=OB

，四边形3PCO是平行四边形.

（2）•.•对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，

，4。=3。同4。43£＞时，四边形BPCO是正方形.

【点睛】本题考查J'平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键.

25.（2023•四川内江•统考中考真题）如图，在中，。是BC的中点，E是A。的中点，过点人作4尸〃BC

交CE的延长线于点F.

（1）求证：AF=BD-.

（2）连接瓦•、，若M=AC,求证：四边形是矩形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出/4EE=NDCE,然后利用“角角边''证明三角形全等，再由

全等三角形的性质容易得出结论；

（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形钻8。是平行四边形，再根据一个角是

直角的平行四边形是矩形判定即可.

【详解】（1）证明：：AF/7BC,

：.ZAFE=NDCE,

•.•点E为的中点，

/.AE=DE,

在AAEF和/XEDC中，

2AFE=NDCE

-NAEF=NDEC,

AE=DE

；.,EAF”.EDC(AAS)；

：.AF^CD,

,?CD=BD,

，AF=BD；

（2）证明：AF//BD,AF=BD,

，四边形AEB。是平行四边形,

VAB=AC,BD=CD,

：.ZADB=90°,

，平行四边形AEBD是矩形.

【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个

角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.

26.（2023・湖南岳阳•统考中考真题）如图，点M在YA8CD的边A。上，BM=CM,请从以下三个选项中

①/1=/2；②=③N3=/4,选择一个合适的选项作为己知条件，使YA8C。为矩形.

（2）添加条件后，请证明Y45co为矩形.

【答案】（1）答案不唯一，①或②；（2）见解析

【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；

（2）通过证明△4W注可得=然后结合平行线的性质求得NA=90。，从而得出YABCD

为矩形.

【详解】（1）解：①或②

（2）添加条件①，YABC。为矩形，理由如下：

在YABC。中A3=CD,ABCD,

AB^CD

在，和△OCM中《N1=N2,

BM=CM

二/XABM^/XDCM

/.Z4=Z£>,

XVABCD,

，ZA+ZD=180°,

，ZA=ZD=90°,

YABC£>为矩形；

添加条件②，YABC。为矩形，理由如下：

在YA3C。中AB=C£>,ABCD,

AB^CD

在4ABM和△DCM中<AM=CM,

BM=CM

：./\ABM经ADCM

ZA=Z£>,

又•；ABCD,

：.ZA+ZD=180°,

/.ZA=ZD=90°,

YABC£>为矩形

【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法（有

一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键.

27.（2023・四川乐山・统考中考真题）如图，在RtZ\ABC中，NC=90。，点力为AB边上任意一点（不与点

A、8重合），过点。作DE〃BC,DF//AC,分别交AC、BC于点E、F,连接£尸.

（1）求证：四边形ECFD是矩形；

（2）若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离.

【答案】（1）见解析；（2）m石

【分析】（I）利用平行线的性质证明NCED=/CFD=90。,再利用四边形内角和为360。，证明NEDF=90。,

即可由矩形判定定理得出结论；

（2）先由勾股定理求出£尸=而不*=2石，再根据三角形面积公式求解即可•

【详解】（1）证明：VDE//BC,DF//AC,

/.四边形ECFD为平行四边形，

•/ZC=90°,

四边形ECED是矩形.

（2）解：VZC=90°,CF=2,CE=4,

EF=yJCF2+CE2=2石

设点C到E尸的距离为从

,:S市=^CE-CF=^EFh

2x4=2回

4>/5

5

答：点C到E尸的距离为延.

5

【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理.熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段

长是解题的关键.

28.（2023•浙江台州•统考中考真题）如图，四边形A8CD中，AD//BC,Z4=ZC,80为对角线.

8匕-------------々

（1）证明：四边形A8C。是平行四边形.

（2）己知AO>AB,请用无刻度的直尺和圆规作菱形5EOF,顶点E,F分别在边BC,AQ上（保留作图痕

迹，不要求写作法）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）先证明ZADB=NCBD,再证明180。—（ZADB+ZA）=180。一（ZCBD+ZC）,即ZABD=ZCDB,

从而可得结论；

（2）作对角线B。的垂直平分线交A。于尸，交BC于E,从而可得菱形3皮木.

【详解】（1）证明：：AO〃8C,

ZADB=NCBD,

,?ZA=ZC,

/.180°-(ZA£>B+ZA)=180°-(ZCB£>+ZC),

，AB//CD.

四边形48。是平行四边形.

（2）如图,

四边形BEDF就是所求作的菱形.

【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的

判定进行作图是解本题的关键.

三、填空题

29.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）如图，在四边形A5C。中，AD=BC,AC上80于点O.请添

加一个条件：，使四边形ABC。成为菱形.

【答案】AD//BC（答案不唯一）

【分析】根据题意，先证明四边形A88是平行四边形，根据可得四边形A8C。成为菱形.

【详解】解：添加条件AD〃BC

VAD=BC,AD//BC

：.四边形ABC。是平行四边形，

AC1BD.

，四边形A58成为菱形.

添加条件A3=8

VAD=BC,AB=CD

/.四边形488是平行四边形，

AC1BD,

...四边形ABCZ）成为菱形.

添加条件03=8

*/AC1BD,

：.ZA0D=NC0B=90。

VAD=BC,OB=OD,

：.RtCOB（HL）

AD=BC,

：.四边形ABC。是平行四边形，

AC1BD,

...四边形ABC。成为菱形.

添加条件NADB=NC8O

在与△COB中，

'ZADB=NCBD

"NAOD=NCOB

AD=BC

：.zMOf）安△COB

，AD=BC,

：.四边形ABCD是平行四边形，

AC1BD,

，四边形ABC。成为菱形.

故答案为：AD//BC（AB=C£＞或08=0。或NA£＞B=NC3£＞等）.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.

30.（2023・辽宁大连•统考中考真题）如图，在菱形ABCO中，AC,3D为菱形的对角线，ZDBC=60°,=10,

点F为8c中点，则EF的长为.

B

【答案】5

【分析】根据题意得出一血是等边三角形，进而得出DC=3£>=10,根据中位线的性质即可求解.

【详解】解：•••在菱形ABC。中，AC、比>为菱形的对角线，

Z.AB=AD=DC=BC,AC1,BD,

,/ZDBC=60°,

,87X7是等边三角形，

BD=\O,

：.DC=BD=IO,

是80的中点，点尸为BC中点，

Z.EF=-DC^5,

2

故答案为：5.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的

关键.

31.（2023•福建・统考中考真题）如图，在菱形ABC。中，AB=10,N5=60。，则AC的长为

【答案】10

【分析】由菱形A8CD中，/5=60。，易证得443c是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解.

【详解】解：•••四边形ABC。是菱形，

，AB=BC=\0,

'：N5=60°,

；是等边三角形，

AC=10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的

关键.

32.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）如图，在菱形ABC。中，ZDAB=40°,连接AC,以点A为圆心，AC

长为半径作弧，交直线AO于点E,连接CE,则NAEC的度数是.

【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得NC4D=g/ZM8=20。，再进行分类讨论：当点£在点

A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答.

【详解】解：；四边形ABC。为菱形，ZDAB=4O°,

：.^CAD=-ADAB=2Q0,

2

连接CE,

①当点E在点A上方时，如图居，

VAC=AEt,ZCAEt=20°,

/AE\C=；（180。-20。）=80°,

②当点E在点A下方时，如图

VAC=AEt,NCAE|=20。，

ZAE2C=-ZCAEt=10°,

故答案为：10°或80。.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题

的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为180。；三角形的一个外

角等于与它不相邻的两个内角之和.

33.（2023•甘肃武威・统考中考真题）如图，菱形ABC。中，ZDAB=60°,BEVAB,DFVCD,垂足分别

为B,D,若A3=6cm,则上尸=cm.

【答案】26

【分析】根据菱形的性质，含30。宜角三角形的性质，及三角函数即可得出结果.

【详解】解：在菱形ABCQ中，ZZMB=60°,

ZDAB=/DCB=60°,ABAC=NDAC=/DCF=-4DAB=30°,

2

QDF工CD,

/DFC=9O0,

/.ZDFC=90°-/DCF=60°,

在RlZ\C。/中，DF=-CF

2f

QZADF=ZDFC-ZDAF=60°-30°=30°,

ZFAD=ZADF,

/.AF=DF=-CF=-AC,

23

同理，CE=-AC,

:.EF=AC-AF-CE=-AC,

3

:.EF=-AE,

2

AB6/T

.,AE=--------=—j=r=4,3,

在RtzX/WE中，cos30°