2024-2025学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）VIP

-2025学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：共8个小题，每小题3分，共24分．1．（3分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．2．（3分）用配方法解方程，变形后结果正确的是A． B． C． D．3．（3分）图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后，能与自身重合，则的值至少是A． B． C． D．4．（3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为A．4 B． C． D．25．（3分）将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是A． B． C． D．6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中、、分别和、、对应，则旋转中心的坐标是A． B． C． D．7．（3分），，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为A． B． C． D．8．（3分）四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线；乙同学发现当时，；丙同学发现函数的最小值为；丁同学发现是一元二次方程的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题：共8个小题，每小题3分，共24分．9．（3分）方程的根是．10．（3分）请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式是．11．（3分）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数．12．（3分）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解是．13．（3分）杭州亚运会的吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为，则可列方程为．14．（3分）若一元二次方程有一个解为，则．15．（3分）汽车刹车后行驶的距离（单位：关于行驶的时间（单位：的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了米．16．（3分）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如表：车床代号修复时间（分钟）15829710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．三.解答题：共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）解方程：．

18．（5分）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值．

19．（5分）如图，是直角三角形，，将绕点顺时针旋转．（1）试作出旋转后的，其中与是对应点；（2）在作出的图形中，已知，，求的长．20．（5分）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：0123500（1）并画出图象；（2）求此抛物线的解析式；（3）结合图象，直接写出当时的取值范围．

21．（5分）已知关于的一元二次方程是．（1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求的值．

22．（5分）景区内有一块米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，求的值．23．（5分）数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒（如图，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：（1）设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含的代数式表示长方体的高为，根据长方体的表面积公式：长方体表面积底面积侧面积．得到与的关系式：；（2）列出与的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）0.511.522.5380.542.031.228.531.3（3）在图2的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为时，需要的材料最省．

24．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点，，，在抛物线上．（1）当时，直接写出与的大小关系；（2）若对于，都有，求的取值范围．

25．（6分）在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．（1）如图1，当时，则（用含有的式子表示）；（2）如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点．交于点，连接．①依题意在图2中补全图形，并求的度数；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．26．（6分）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，点P′落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．（1）在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点是线段AB关于原点O的“伴随点”；（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；（3）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．

参考答案一、选择题：共8个小题，每小题3分，共24分．1．（3分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．解：的顶点坐标为．故选：．2．（3分）用配方法解方程，变形后结果正确的是A． B． C． D．解：．故选：．3．（3分）图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后，能与自身重合，则的值至少是A． B． C． D．解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转的度数至少为，故选：．4．（3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为A．4 B． C． D．2解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得．故选：．5．（3分）将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是A． B． C． D．解：抛物线的顶点坐标为，向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后的抛物线的顶点坐标为，得到的抛物线是．故选：．6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中、、分别和、、对应，则旋转中心的坐标是A． B． C． D．解：如图，点即为所求，．故选：．7．（3分），，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为A． B． C． D．解：二次函数的图象开口向下，对称轴为，点，，在对称轴的左侧，由随的增大而增大，有，由，，离对称轴的远近可得，，，因此有，故选：．8．（3分）四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线；乙同学发现当时，；丙同学发现函数的最小值为；丁同学发现是一元二次方程的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线时，，即；当乙同学的结论正确，即当时，时，，可得；当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为时，，可得；当丁同学的结论正确，即当时，一元二次方程的一个根时，，可得；根据和不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，假设丁同学的结论错误，联立和，得，，不满足，故假设不成立；假设乙同学的结论错误，联立和，得，，此时满足，故假设成立；故选：．二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．9．（3分）方程的根是0或6．解：即，得或．10．（3分）请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式是（答案不唯一）．解：抛物线的解析式为．故答案为：（答案不唯一）．11．（3分）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数．解：，，将绕点逆时针旋转，得到，，，，，故答案为：．12．（3分）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解是或8．解：二次函数与一次函数的图象相交于点，，方程的解是或8，故答案为：或8．13．（3分）杭州亚运会的吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为，则可列方程为．解：根据题意得：．故答案为：．14．（3分）若一元二次方程有一个解为，则．解：一元二次方程的一个解为0，且，解得．故答案为：．15．（3分）汽车刹车后行驶的距离（单位：关于行驶的时间（单位：的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了米．解：，汽车刹车后到停下来前进了米．故答案为：．16．（3分）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如表：车床代号修复时间（分钟）15829710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是①（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．解：（1）要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，然先修复时间短的，即按7、8、10、15、29分钟顺序修复，故选：①；（2）一名修理工修8分钟和15分钟，共需23分钟，一名修理工修7分钟和10分钟和29分钟共需46钟，五台机器停产的总时间为：（分钟），（元故答案为：1010．三.解答题：共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）解方程：．解：原方程可变形为或，．18．（5分）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值．解：将代入得，，．19．（5分）如图，是直角三角形，，将绕点顺时针旋转．（1）试作出旋转后的，其中与是对应点；（2）在作出的图形中，已知，，求的长．解：（1）如图所示；（2），，，．由旋转而成，，．20．（5分）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：0123500（1）并画出图象；（2）求此抛物线的解析式；（3）结合图象，直接写出当时的取值范围．解：（1）根据列表画出抛物线图象如下，（2）设二次函数的解析式为，由题意得：当时，，，时，，当时，，，解得，抛物线的解析式为；（3），当时，当时，，当时，，由图象可得，当时，．21．（5分）已知关于的一元二次方程是．（1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求的值．【解答】（1）证明：△，无论取何值，此方程总有两个实数根；（2）解：设方程有两个实数根，，，，且，，，或．22．（5分）景区内有一块米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，求的值．解：根据题意，得，整理，得，解得：，，园地的宽为5米，而，不合题意，舍去．答：的值为1．23．（5分）数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒（如图，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：（1）设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含的代数式表示长方体的高为，根据长方体的表面积公式：长方体表面积底面积侧面积．得到与的关系式：；（2）列出与的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）0.511.522.5380.542.031.228.531.3（3）在图2的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为时，需要的材料最省．解：（1）由题意，；故答案为：；（2）当时，；故答案为：28.0；（3）函数图象如图所示：（4）观察图象可知，当约为时，需要的材料最省．故答案为：2.2．24．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点，，，在抛物线上．（1）当时，直接写出与的大小关系；（2）若对于，都有，求的取值范围．解：（1）由题意，当时，对称轴为直线．又抛物线，抛物线开口向上．抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又此时，，．点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离．．（2）由题意，对于，都有，又抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于点到对称轴的距离，．①当时，．若，．又，且．．若，．．又，且．且．此时无解．②当时，．若，．．又，．．若，．．又，且．且．此时无解．综上，或．25．（6分）在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．（1）如图1，当时，则（用含有的式子表示）；（2）如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点．交于点，连接．①依题意在图2中补全图形，并求的度数；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．解：（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，，，，，，，故答案为：；（2）①如图所示：，，，，；②，理由如下：如图2，过点作于，，平分，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，．26．（6分）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，点P′落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．（1）在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点P2和P3是线段AB关于原点O的“伴随点”；（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；（3）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．解：（1）∵A（1，1），B（3，1），∴AB∥x轴，如图1，点P1（﹣2，0），P2（﹣