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文档简介
第十七章特殊三角形专项突破练5构造等腰三角形的常用方法类型1
利用平行线构造等腰三角形1.
如图,点
E
在△
ABC
的
AC
边的延长线上,点
D
在
AB
边
上,
DE
交
BC
于点
F
,
DF
=
EF
,
BD
=
CE
.
求证:
△
ABC
是等腰三角形.231
231
231证明:如图,延长
BE
交
AC
于点
F
.
∵
BF
⊥
AD
,∴∠
AEB
=∠
AEF
=90°.∵
AD
平分∠
BAC
,∴∠
BAE
=∠
FAE
.
∴△
ABE
≌△
AFE
(ASA),∴∠
ABF
=∠
AFB
,
AB
=
AF
,
BE
=
EF
.
231∵∠
C
+∠
CBF
=∠
AFB
=∠
ABF
,∠
ABF
+∠
CBF
=∠
ABC
=3∠
C
,∴∠
C
+2∠
CBF
=3∠
C
,∴∠
CBF
=∠
C
.
231类型3
截长补短构造等腰三角形3.
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,且
∠ABC=2∠C,求证:AB+BD=AC.
231证明:【截长法】如图①,在AC上截取AE=AB,连接
DE.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∴△ABD≌△AED(SAS),∴∠B=∠AED,BD=DE.
又∵∠ABC=2∠C,∴∠AED=2∠C.
∵∠AED=∠C+∠EDC,∴∠C=∠EDC,∴DE=CE,∴AB+BD=AE+DE=AE+CE=AC.
231【补短法】如图②,延长
AB
到点
F
,使
BF
=
BD
,连接
DF
.
∵
BF
=
BD
,∴∠
F
=∠
BDF
,∴∠
ABC
=∠
F
+∠
BDF
=2∠
F
.
∵∠
ABC
=2∠
C
,∴∠
C
=∠
F
.
又∵∠
CAD
=∠
BAD
,
AD
=
AD
,∴△
ADF
≌△
ADC
(AAS),∴
AC
=
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