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文档简介
第十七章特殊三角形专项突破练5构造等腰三角形的常用方法类型1
利用平行线构造等腰三角形1.
如图，点
E
在△
ABC
的
AC
边的延长线上，点
D
在
AB
边
上，
DE
交
BC
于点
F
，
DF
＝
EF
，
BD
＝
CE
.
求证：
△
ABC
是等腰三角形.231
231
231证明：如图，延长
BE
交
AC
于点
F
.
∵
BF
⊥
AD
，∴∠
AEB
＝∠
AEF
＝90°.∵
AD
平分∠
BAC
，∴∠
BAE
＝∠
FAE
.
∴△
ABE
≌△
AFE
(ASA)，∴∠
ABF
＝∠
AFB
，
AB
＝
AF
，
BE
＝
EF
.
231∵∠
C
＋∠
CBF
＝∠
AFB
＝∠
ABF
，∠
ABF
＋∠
CBF
＝∠
ABC
＝3∠
C
，∴∠
C
＋2∠
CBF
＝3∠
C
，∴∠
CBF
＝∠
C
.
231类型3
截长补短构造等腰三角形3.
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且
∠ABC＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC.
231证明：【截长法】如图①，在AC上截取AE＝AB，连接
DE.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.
∴△ABD≌△AED(SAS)，∴∠B＝∠AED，BD＝DE.
又∵∠ABC＝2∠C，∴∠AED＝2∠C.
∵∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB＋BD＝AE＋DE＝AE＋CE＝AC.
231【补短法】如图②，延长
AB
到点
F
，使
BF
＝
BD
，连接
DF
.
∵
BF
＝
BD
，∴∠
F
＝∠
BDF
，∴∠
ABC
＝∠
F
＋∠
BDF
＝2∠
F
.
∵∠
ABC
＝2∠
C
，∴∠
C
＝∠
F
.
又∵∠
CAD
＝∠
BAD
，
AD
＝
AD
，∴△
ADF
≌△
ADC
(AAS)，∴
AC
＝
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