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文档简介
安徽省休宁县临溪中学2024年高三第六次月考试卷(数学试题理)试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为得到函数的图像,只需将函数的图像()A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位2.如图在一个的二面角的棱有两个点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱,且,则的长为()A.4 B. C.2 D.3.设,,,则、、的大小关系为()A. B. C. D.4.已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且,则()A.9 B.5 C.2或9 D.1或55.若数列满足且,则使的的值为()A. B. C. D.6.如图,设为内一点,且,则与的面积之比为A. B.C. D.7.若复数满足,复数的共轭复数是,则()A.1 B.0 C. D.8.设,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.已知随机变量X的分布列如下表:X01Pabc其中a,b,.若X的方差对所有都成立,则()A. B. C. D.10.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为()A. B.C. D.11.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是()A.B.C.D.12.在区间上随机取一个实数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列是各项均为正数的等比数列,若,则的最小值为________.14.设集合,,则____________.15.从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是________(结果用最简分数表示)16.已知椭圆Г:,F1、F2是椭圆Г的左、右焦点,A为椭圆Г的上顶点,延长AF2交椭圆Г于点B,若为等腰三角形,则椭圆Г的离心率为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,且,其中p为常数.(1)求p的值;(2)求证:数列{an}为等比数列;(3)证明:“数列an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1,且y=2”.18.(12分)2019年12月以来,湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测,发现多起病毒性肺炎病例,均诊断为病毒性肺炎/肺部感染,后被命名为新型冠状病毒肺炎(CoronaVirusDisease2019,COVID—19),简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.为了预测在未釆取强力措施下,后期的累计确诊人数,建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型,根据1月15日至1月24日的数据(时间变量t的值依次1,2,…,10)建立模型和.(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2根据(1)的判断结果及附表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据,根据(2)的结果回答下列问题:时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累计确诊人数的真实数据19752744451559747111(ⅰ)当1月25日至1月27日这3天的误差(模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值)都小于0.1则认为模型可靠,请判断(2)的回归方程是否可靠?(ⅱ)2020年1月24日在人民政府的强力领导下,全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施,若采取措施5天后,真实数据明显低于预测数据,则认为防护措施有效,请判断预防措施是否有效?附:对于一组数据(,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.参考数据:其中,.5.53901938576403152515470010015022533850719.(12分)某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展,灯光展涉及到10000盏灯,每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为,并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位:),得到下面的频数表:亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.(1)试估计的值;(2)设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.①求的数学期望和方差;②若随机变量满足,则认为.假设当时,灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计,在一场灯光展中,处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).附:①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商;②若,则,,.20.(12分)已知.(1)若曲线在点处的切线也与曲线相切,求实数的值;(2)试讨论函数零点的个数.21.(12分)如图,在四棱柱中,底面为菱形,.(1)证明:平面平面;(2)若,是等边三角形,求二面角的余弦值.22.(10分)管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图2所示,一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,).(1)请用角表示清洁棒的长;(2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】,所以要的函数的图象,只需将函数的图象向左平移个长度单位得到,故选D2、A【解析】
由,两边平方后展开整理,即可求得,则的长可求.【详解】解:,,,,,,.,,故选:.【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.3、D【解析】
因为,,所以且在上单调递减,且所以,所以,又因为,,所以,所以.故选:D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小,难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小,还可以根据中间值“”比较大小.4、B【解析】
根据渐近线方程求得,再利用双曲线定义即可求得.【详解】由于,所以,又且,故选:B.【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程,涉及双曲线的定义,属基础题.5、C【解析】因为,所以是等差数列,且公差,则,所以由题设可得,则,应选答案C.6、A【解析】
作交于点,根据向量比例,利用三角形面积公式,得出与的比例,再由与的比例,可得到结果.【详解】如图,作交于点,则,由题意,,,且,所以又,所以,,即,所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合,三角形面积公式,属基础题,作出合适的辅助线是本题的关键.7、C【解析】
根据复数代数形式的运算法则求出,再根据共轭复数的概念求解即可.【详解】解:∵,∴,则,∴,故选:C.【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则,考查共轭复数的概念,属于基础题.8、D【解析】令,可得.在坐标系内画出函数的图象(如图所示).当时,.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点,则有,解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时,有,解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时,实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时,实数的取值范围是.选D.点睛:已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解,对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.9、D【解析】
根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论.【详解】由X的分布列可得X的期望为,又,所以X的方差,因为,所以当且仅当时,取最大值,又对所有成立,所以,解得,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望、方差的求法,结合了概率、二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.10、B【解析】
列出循环的每一步,进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图,执行循环前:,,,执行第一次循环时:,,所以:不成立.继续进行循环,…,当,时,成立,,由于不成立,执行下一次循环,,,成立,,成立,输出的的值为.故选:B.【点睛】本题考查的知识要点:程序框图的循环结构和条件结构的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.11、D【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥,表面积为,故选D.12、D【解析】
利用直线与圆相交求出实数的取值范围,然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线与圆相交,则,解得.因此,所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算,同时也考查了利用直线与圆相交求参数,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、40【解析】
设等比数列的公比为,根据,可得,因为,根据均值不等式,即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为,,,等比数列的各项为正数,,,当且仅当,即时,取得最小值.故答案为:.【点睛】本题主要考查了求数列值的最值问题,解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14、【解析】
先解不等式,再求交集的定义求解即可.【详解】由题,因为,解得,即,则,故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.15、【解析】
依据古典概型的计算公式,分别求“任取两个数”和“任取两个数,和是质数”的事件数,计算即可。【详解】“任取两个数”的事件数为,“任取两个数,和是质数”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3个,所以任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是。【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法。16、【解析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边,设,由题可得的长,在三角形中,三角形中由余弦定理可得的值相等,可得的关系,从而求出椭圆的离心率【详解】如图,若为等腰三角形,则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t,则|BF1|=2a−t,所以|AB|=a+t=|BF1|=2a−t,解得a=2t,即|AB|=|BF1|=3t,|AF1|=2t,设∠BAO=θ,则∠BAF1=2θ,所以Г的离心率e=,结合余弦定理,易得在中,,所以,即e==,故答案为:.【点睛】此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)p=2;(2)见解析(3)见解析【解析】
(1)取n=1时,由得p=0或2,计算排除p=0的情况得到答案.(2),则,相减得到3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn,再化简得到,得到证明.(3)分别证明充分性和必要性,假设an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数,计算化简得2x﹣2y﹣2=1,设k=x﹣(y﹣2),计算得到k=1,得到答案.【详解】(1)n=1时,由得p=0或2,若p=0时,,当n=2时,,解得a2=0或,而an>0,所以p=0不符合题意,故p=2;(2)当p=2时,①,则②,②﹣①并化简得3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn③,则3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1④,④﹣③得(n∈N*),又因为,所以数列{an}是等比数列,且;(3)充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次为,,,满足,即an,2xan+1,2yan+2成等差数列;必要性:假设an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数,又,所以,化简得2x﹣2y﹣2=1,显然x>y﹣2,设k=x﹣(y﹣2),因为x、y均为整数,所以当k≥2时,2x﹣2y﹣2>1或2x﹣2y﹣2<1,故当k=1,且当x=1,且y﹣2=0时上式成立,即证.【点睛】本题考查了根据数列求参数,证明等比数列,充要条件,意在考查学生的综合应用能力.18、(1)适宜(2)(3)(ⅰ)回归方程可靠(ⅱ)防护措施有效【解析】
(1)根据散点图即可判断出结果.(2)设,则,求出,再由回归方程过样本中心点求出,即可求出回归方程.(3)(ⅰ)利用表中数据,计算出误差即可判断回归方程可靠;(ⅱ)当时,,与真实值作比较即可判断有效.【详解】(1)根据散点图可知:适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型;(2)设,则,,,;(3)(ⅰ)时,,,当时,,,当时,,,所以(2)的回归方程可靠:(ⅱ)当时,,10150远大于7111,所以防护措施有效.【点睛】本题考查了函数模型的应用,在求非线性回归方程时,现将非线性的化为线性的,考查了误差的计算以及用函数模型分析数据,属于基础题.19、(1)(2)①,,②72【解析】
(1)将每组数据的组中值乘以对应的频率,然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数,将此平均数除以(个小时),即可得到的估计值;(2)①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解;②先根据条件计算出的取值范围,然后根据并结合正态分布概率的对称性,求解出在满足取值范围下对应的概率.【详解】(1)平均时间为(分钟)∴(2)①∵,∴,②∵,,∴∵,,∴∴即最佳时间长度为72分钟.【点睛】本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型(长度模型)、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算,属于综合性问题,难度一般.(1)如果,则;(2)计算正态分布中的概率,一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.20、(1)(2)答案不唯一具体见解析【解析】
(1)利用导数的几何意义,设切点的坐标,用不同的方式求出两种切线方程,但两条切线本质为同一条,从而得到方程组,再构造函数研究其最大值,进而求得;(2)对函数进行求导后得,对分三种情况进行一级讨论,即,,,结合函数图象的单调性及零点存在定理,可得函数零点情况.【详解】解:(1)曲线在点处的切线方程为,即.令切线与曲线相切于点,则切线方程为,∴,∴,令,则,记,于是,在上单调递增,在上单调递减,∴,于是,.(2),①当时,恒成立,在上单调递增,且,∴函数在上有且仅有一个零点;②当时,在R上没有零点;③当时,令,则,即函数的增区间是,同理,减区间是,∴.ⅰ)若,则,在上没有零点;ⅱ)若,则有且仅有一个零点;ⅲ)若,则.,令,则,∴当时,单调递增,.∴又∵,∴在R上恰有两个零点,综上所述,当时,函数没有零点;当或时,函数恰有一个零点;当时,恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识,求解切线有关问题时,一定要明确切点坐标.以导数为工具,研究函数的图象特征及性质,从
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