专题10圆（原卷版）-2021年初升高数学无忧衔接（人教A版2019）

专题10圆

考敢嫁述

平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的

本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条

件加以突破.

直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点.

常用的结论包括：

1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

5.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

锦程要靠

《初中课程要求》1、圆的基本性质

2、垂径定理

3、点与圆的位置关系

4、点、直线与圆的位置关系

5、正多边形与圆、弧长、扇形面积

《高中课程要求》1、握圆的标准方程与一般方程

2、能判断直线与圆、圆与圆的位置关系

3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题

高中必备知识点1：直线与圆的位置关系

设有直线/和圆心为。且半径为/■的圆，怎样判断直线/和圆0的位置关系？

图3.3-1

观察图3.3-1,不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离△＞厂时，直线和圆相离，

如圆。与直线4;当圆心到直线的距离4=r时，直线和圆相切，如圆。与直线4；当圆心到直

线的距离”时，直线和圆相交，如圆0与直线4.

图3.3-2

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、8.若直线经过圆心，则A8为直径；若直线不经过

圆心，如图3.3-2,连结圆心。和弦A8的中点M的线段垂直于这条弦A8.且在用VOM4中,

0A为圆的半径r,为圆心到直线的距离d,朋A为弦长AB的一半，根据勾股定理，有

2.2,A8、2

产-d-=(——)2.

当直线与圆相切时，如图3.3-3,为圆。的切线，可得PA=PB,_LB4.,且在放APOA

22

中，PO2=PA+OA.

如图3.3-4,PT为圆。的切线，Q46为圆。的割线，我们可以证得△RVT~AP78,因而

PT2^PAPB.

高中必备知识点2：点的轨迹

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.

例如，把长度为厂的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这

个圆上的每一个点到定点的距离都等于厂；同时，到定点的距离等于/■的所有点都在这个圆上.

这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹.

我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意

思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图

形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.

下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.

从上面对圆的讨论，可以得出：

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端

点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：

和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

'典例周所

高中必备知识点1：直线与圆的位置关系

【典型例题】

在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2.-2).

X

(1)画出AABC的外接圆。P,并指出点D与。P相的位置关系；

(2)E点是y轴上的一点，若直线DE与。P相切，求点E的坐标.

【变式训练】

在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到

x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为"等距点"，如图中的P、Q两点即为"等距点”.

②若点B在直线y=x+6上，且A、B两点为"等距点"，则点B的坐标为；

(2)直线/：y=kx-3(k>0)与x轴交于点C,与y轴交于点D.

①若71(-1,ti)、T2(4,t2)是直线/上的两点，且71、万为"等距点”，求k的值；

②当k=l时，半径为r的。。上存在一点M,线段CD上存在一点N,使得M、N两点为“等距点”，直接写

出r的取值范围.

【能力提升】

如图，在平面直角坐标系中，已知点4(1,3)、B(3,3)、C(4,2).

(1)请在图中作出经过点A、8、C三点的G)M,并写出圆心M的坐标;

(2)若。(1,4),试判断直线8D与0M的位置关系，并说明理由.

高中必备知识点2：点的轨迹

【典型例题】

如图，点4(-4,3),将/ABC绕点。旋转180。得到A4'B'C'.

(1)请在图中画出ZJA'B'C',并写出点4'的坐标；

(2)求旋转过程中a点的轨迹长.

【变式训练】

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点p、Q的坐标分别是p(X1,yi)>

Q(x2,丫2)，贝UP、Q这两点间的距离为|PQ|=J(Xi-❷)2+01-丫2/.如P(1-2),Q(3,4),则

IPQ|=7(1-3)2+(2-4)2=2V2.

对于某种儿何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.如平

面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx6交y轴于点A,点A关于x轴的对称点为点B,

过点B作直线I平行于x轴.

(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是;

(2)若动点C(x,y)满足到直线I的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；

问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx弓交于E、F两点，分别过E、F作直线I的垂线，垂

足分别是M、N,求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②右+之为定值.

【能力提升】

在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹.例如：动点P的坐标满

足(m,m-1),所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x-1的图象.即

点P的轨迹就是直线y=x-1.

(1)若m、n满足等式mn-m=6,则(m,n-1)在平面直角坐标系xOy中的轨迹是；

(2)若点P(X,y)到点A(0,1)的距离与到直线y=-l的距离相等，求点P的轨迹；

(3)若抛物线y=[/上有两动点M、N满足MN=a(a为常数，且a24),设线段MN的中点为Q,求点Q

到x轴的最短距离.

对点端称

1.如图，将回0沿弦A8折叠，AB恰好经过圆心°，若回。的半径为6,则AB的长为()

o

AB

A.44B.RC.2〃D.6兀

2.如图，AB为。。的直径，直线E尸与相切于点O,直线AC交取于点”、交。。于点C,连

接A。、0D,则下列结论第误的是（）

A.希AHIIOD,则A3平分N84H；B.若AO平分N8AH，则b;

C.若AH_LEF，则AO平分NBAH；D.若DH2=CH-AH，则A”,所.

3.如图，在。0中，点C在优弧AB上，将弧BC沿折叠后刚好经过AB的中点£）.若。0的半径为

5,AB=4也,则AC的长是（）

25410万

B.-------C.-------D.4%

43

4.如图，已知AABC,。为AC上一点,以。8为半径的圆经过点A,且与8C、OC交于点E、D,

设NC=e，/A=〃，则（）

A.若。+/=80°,则弧OE的度数为10。

B.若a+〃=80°,则弧。石的度数为20。

C.若a/=80°,则弧。七的度数为30。

D.若a/=80°,则弧。七的度数为40。

5.如图，AB为的直径，C为圆上一点，过点C的切线与直径AB的延长线交于点D,若ZADC=20°,

则的度数为（）

6.如图，MBC是等腰直角三角形，AC=8C=2,以斜边AB上的点。为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、

F,与AB分别相交于点G、H,且EH的延长线与CB的延长线交于点D,则8的长为（）

7.如图，已知回。的半径为10,A、8是囱。上的两点，0406=90°,C是射线。8上一个动点，连结AC并延

长交回。于点。，过点。作。A3。。交。B的延长线于点E.当班从30。增大到60。时，弦AD在圆内扫过的面

积是（)

100万._/-50万64万，，rr50万__/r

A.----------25V3B.-------C.---------16V3D.----------25V3

3333

8.如图，在矩形ABC。中，BC=8,以AB为直径作回。，将矩形ABC。绕点8旋转，使所得矩形A8C'。'的边

C,。与回。相切，切点为E,边AB与回。相交于点F.若BF=8,则CD长为（）

A.9B.10C.873D.12

9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的与X轴的负半轴交于点A，点B是OO

4

上一动点，点尸为弦AB的中点，直线丁=一§尤+4与x轴、y轴分别交于点C,E，则APCE面积的

10.如图，AA6C内接于。0,其外角平分AD交。0于D,OM_LAC于M,则结论①=②

AC+AB=2aV^③AC—AB=2AM④S△A加=S△A8c中正确的是()

A.①B.①②③C.③④D.①②③④

11.如图，在扇形BCO中，N88=15()。，以点B为圆心，长为半径画弧交于弧6。点A，得扇形84C,

若BC=4,则图中阴影部分的面积为.

12.如图，内接于回。，E是边8C的中点，连接0E并延长交回。于点D,连接CD,若团88=26。，则回

A=°.

D

13.如图，在边长为4的正方形中，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以为直径画半圆,

若阴影部分的面积分别为、，与，贝汁邑―5=.

DC

14.如图，AB是OO的直径，弦CD_LA6,NC=30。，CD=273.则图中阴影部分的面积为S阴影=

15.如图，在扇形。钻中，已知NAOB=90°,0A=2,过的中点C作，CELOB,垂

足分别为。、E，则图中阴影部分的面积为

16.己知，如图，A8是回。的直径，点P在8A的延长线上，弦CD交AB于E,连接。D、PC、BC,QAOD=2

MBC,E1P=0D,过E作弦G甩8C交圆于G、F两点，连接CF、BG.则下列结论：

①CDMB；②PC是回。的切线；③。DI3GF；④弦CF的弦心距等于gBG.其中正确的是—（只需填序号）

B

17.如图，锐角AABC内接于。。，AH_13c于点”，直径MN_LBC,MN交AB于点、D,

A£>:30=5:12,连结AM，BM，已知圆的半径为13,5c=24,贝iJCH=,四边形AMBC的面

积为_______

18.如图，的弦A3、8相交于点E，C为弧AB的中点，过点。作。。的切线交AB的延长线于

253

点、F,连接AC,若ACUDF,的半径为——，BE=-AE,则CE=.

19.如图，在半径为3亚的国。中，AB是直径，AC是弦，。是AC的中点，AC与BD交于点E.若E是BD

的中点，则AC的长是

20.如图，己知的半径为2,弦A8=2有，点P为优弧APB上动点，点/为△PAB的内心，当点P

从点A向点3运动时，点/移动的路径长为

21.如图，四边形A5C。内接于OO,AC是直径，AB=BC,过点8作BF//AC交。。的延长线于

点、F.

（1）求证：8尸是的切线；

（2）若AC=26，CD=‘A£）,求8厂的值.

2

22.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段AB的最小覆盖圆就是

以线段A6为直径的圆.锐角三角形的最小覆盖圆是该三角形的外接圆.

（1）分别在图1，图2中作出的最小覆盖圆.（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）根据（1）中的作图，钝角三角形的最小覆盖圆是

H

（3）某地要修建一个5G基站，服务四个村庄E、F、G、H（其位置如图3所示），为使信号可以覆盖四个

村庄，且基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请说明理由.

23.已知，如图，AB是回。的直径，点C为囱。上一点，OF0BC于点F,交回。于点E,AE与8c交于点H,点

。为。E的延长线上一点，且I3ODB=MEC.

（1）求证：BD是回。的切线；

3

（2）若回。的半径为5,sin^=-,求的长.

24.如图，A0是。。的半径，04_149且04=40，8是半圆。上一点，连接AB，作过

点C作半圆O的切线CE，交A。的延长线于点P，切点为E，连接

（1）当跖回"时，求证：CE=OP；

（2）当NR4P=度时，oABCO为菱形.

25.如图，已知以AB为直径的。。中，点。，。在AB的同侧，点。是AC的中点，连接8。，过点O

作。E_L8C于点E，。尸_LA3于点F.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)已知A5=l(),30=8,求8C的长.

26.如图，在四边形A8CD中，AB=AC,/ADB=90°,过人民