正弦函数余弦函数的图象教学设计

5.4.1正弦函数，余弦函数的图象教学设计教学目标教学目标：1.借助正弦函数的定义和单位圆，经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的“五点法”；2.在分析正弦函数、余弦函数相互关系的基础上，经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想．教学重点：正弦函数、余弦函数的图象以及“五点法”．教学难点：掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象．教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟（一）规划研究方案，形成研究思路问题1：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来我们应该研究什么问题？师生活动：明确学习三角函数定义后，应该继续研究三角函数的图象和性质．追问1：之前研究指数函数、对数函数的图象和性质的思路是怎样的？预设：研究思路是：函数的定义、函数的图象、函数的性质．追问2：绘制一个新函数图象的基本方法是什么？预设：绘制一个新函数图象的基本方式是描点法．追问3：根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？预设：根据三角函数的定义，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示：，，其中．根据公式一，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程．方便起见，我们可以先画函数，的图象，再画出正弦函数，的图象．设计意图：规划研究方案，构建本单元及本节课的研究路径，以便从整体上掌握整个单元的学习过程，形成整体观念．10分钟（二）正弦函数的图象问题2：描点法是画函数图象的基本方法，对于正弦函数，大家想取哪些点、怎样描点画图呢？学生活动：学生可能会说，对于自变量在上随意取一些值，然后利用计算器算出函数值，再在平面直角坐标系上描点连线．教师提示：这样作图应该能够得到正弦函数图象的大致形状，但是三角函数中会出现无理数，这样作图明显不够精确，而且也没有利用到三角函数的定义，缺少了三角函数定义和图象之间的内在联系，所以需要寻求更精确、并且利用到三角函数定义的方法．问题3：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正弦函数，在上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并准确画出点？预设：请大家看图，在平面直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，且单位圆与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点．根据弧度制的定义,既是的大小，也是弧的长度；根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点．在没有信息技术的情况下，可以用“手工绕线法”完成，同学们可以课下思考．设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解；通过分析点的坐标的几何意义，准确描点．问题4：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，你能类比指数函数、对数函数图象的画法，画出，的图象吗？师生活动：师生共同讨论方案，教师指导并完善方案．方案1：在区间内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．教师点评：随意取值，横坐标可能会出现比较多的无理数，不容易在轴上准确定位；而且根据弧度制的定义，的值是弧的长度，不容易平移，所以在单位圆上定位弧度的角的终边时，存在一定困难．方案2：取1、2、3等值，再按照上述方式绘制图像．教师点评：1、2、3等弧度数在轴上可以准确定位，但是在单位圆上定位这些弧度的角的终边时，仍然存在上述的问题．方案3：取比较熟悉的特殊角，如、、等．教师点评：内的这些特殊角是大家比较熟悉的，在轴上比较容易定位，但是在单位圆上怎样确定点的位置呢？究竟取哪些、怎样取特殊角，才能即简便又准确呢？方案4：在区间内取等分点，最为简便准确．预设：如图，把轴上这一段分成12等份，即每个象限3等分，从而使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点同样将圆周12等分，再按照上述方法依次画点，就能准确定位出每个在单位圆上所对应的终边位置，从而可以准确地画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．师生活动：学生用上述方法绘制图象．教师用几何画板演示上述图象的生成过程，初步得到，的图象，再借助信息技术取任意多的点，并连续成线．设计意图：确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施；利用信息技术得到更多图象上的点，达到点动成线的直观效果，使学生进一步理解任意一点与整体图形之间的关系，理解图象形成的内在道理．问题5：根据函数，的图象，你能想象正弦函数，的图象吗？依据是什么？请画出该函数的图象．预设：根据公式一，其中，可知函数，，且的图象与，的图象形状完全一致．因此将函数，的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象．如图所示．教师指出：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．设计意图：绘制函数，的图象，让学生体会从有限到无限的推广过程，并培养学生说理的习惯．问题6：对函数的研究，能够快速又比较准确的做出其简图，往往起重要的作用．你能画出函数，图象的简图吗？在确定图象形状时，应抓住哪些关键点？师生活动：教师引导学生观察图象，共同确定关键点．预设：在函数，图象上，以下五个点：，，，，在确定函数图象时起关键作用，它们是函数图象的最大值点、最小值点以及零点．描出这五个点，函数，的图象形状就基本确定了．因此，在精度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑曲线连接起来，得到正弦函数的简图，这种方法非常实用，方便有效，称为“五点法”．设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便方法．5分钟（三）余弦函数的图象问题7：我们已经能够做出正弦函数的图象，你能做出余弦函数的图象吗？师生活动：此时学生可能会跃跃欲试，想用类似的方法画余弦函数的图象．对此教师应予以肯定，并进一步追问．追问1：如果仍然采用之前的方法，如图，此时单位圆上点的横坐标为，那么将它作为点的纵坐标，还容易平移吗？显然不太方便．追问2：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数．诱导公式已经表明，余弦函数和正弦函数可以互化．所以你能否通过已经得到的正弦函数的图象，通过变换得到余弦函数的图象？师生活动：学生比较容易想到，教师要引导学生分析，此时的图象变换比较困难，要选择比较简洁的公式．预设：通过比较进行选择．从数的角度和操作性上，可以选择诱导公式，得：，．而函数，的图象可以通过正弦函数，的图象向左平移个单位长度而得到．所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就能得到余弦函数的图象．教师指出：余弦函数，的图象叫余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线．追问3：你能利用点的坐标，解释这种平移变换吗？预设：设函数图象上任意一点为，即．则在函数上，当，即时，函数值也为，所以函数图象上有对应点，是将点向左平移了个单位得到的，所以只要将图象上的点向左平移个单位，即可得到的图象．设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象得到余弦函数的图象；增强对两个函数图象之间联系性的认识，并且通过坐标变换加深对图象变换的理解．问题8：类似于“五点法”作正弦函数的图象，如何做出余弦函数的简图？追问：根据余弦曲线的特点，你认为选取哪个区间研究比较合理？师生活动：师生共同讨论，余弦曲线可以从正弦曲线平移得到，也是周而复始的，所以也需要选取长度为的区间；可以发现余弦曲线的图象关于轴对称，所以选取区间比较合理．预设：选取，，，，这五个点为关键点．设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”．5分钟（四）例题例1：画出下列函数的简图：（1），；（2），．追问：你能利用函数，的图象，通过图象变换得到，的图象吗？同样，利用函数，的图象，通过怎样的变换就能得到，的图象？设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函