计算机程序设计基础-第十四讲编程例题

求定积分

1、用梯形公式计算面积的近似值。

一＜b—a

面积、/⑷+"))

这样计算面积误差太大。

b-a

2

2、改进：将区间b-a划分成2n等分。用变步长的梯形

法，定义Tn为将积分区间n等分时求出的近似面积。

n=1时，

b—a

丁—+…))

令"=b-a

二「

____T___72hh

+—2L于"k+—)

2/々=0/

昌H=1日寸

Txh'hx

T；=—+一于(a-------)

2

(i)(2)

3

(1)为按公式算出的面积的二分之一；

(2)为等分中线的函数值/在7+历力与〃的乘积，得出

面积的二分之一。

当n=2时,

T2

/n

；2

rri2Thh

2,7一十；2”4+7）

2/k=0N

当〃二1时

rri2

h2h23.

T；二q+丁［/（。+丁）+/（"+二犷）］

2

⑶

5

(3)代表面积

解释如下：将好区间分成两段

0111

h=­h=­(b—Q)

22

积分面积用矩形acde~\~矩形场b来近似

h2

ac的长度取/(a+—)

3

牙的长度取/(〃+—/)

2

力23

这两块的面积之和为=%*"(。+—)+〃。+—〃？)]

再取一半就是

)2"1

一£/(4+(左+0・5)*『)

2k=o

3、用辛普生公式计算积分的近似值

1

/2n=-。('4K2n-Tn)>

当I2n-In<£认为达到了近似要求。

如未达此精度要求，则让

n<------2%h<-------h/2

2x2

例：求定积分/=1-——Jdx

Jo1+x3

7

#include<stdio.h>〃预编译命令

#include<math.h>〃预编译命令，数学函数

doublef(doublex);〃定义被调用函数f

voidmain()〃主函数

〃主程序开始

intk,n=l;〃声明整型变量k,n,并初始化n

doublex,xl=0,x2=2;〃声明双精度变量x,和xLx2

doubles,h,tn,t2n,InJ2n;〃声明计算中使用的中间变量

constdoubleeps=le-6;〃声明双精度变量eps作为阈值

//计算n=l时的tn和In,为便于编程

//分别将它们赋给t2n和I2n

h=x2-xl;

t2n=I2n=(h*(f(xl)+f(x2)))/2;

printf("第一次近似计算梯形面积值为

In=0;8

while(fabs(I2mJn)>=eps)//当型循环，精度未达要求则继续

(〃循环体开始，

//将上一次计算结果转存入m和In

tn=t2n;

In=I2n;

〃计算k从0至If(xl+(k+0.5)*h)的和

s=0.0;力求和变量s清零

for(k=0;k<n;k=k+l)//循环求和

{、〃循环体开始

x=xl+(k+0.5)*h;

s=s+f(x);

)〃循环体结束

//计算t2n和I2n

t2n=(tn+h*s)/2.0;

I2n=(4^t2n-tn)/3.0;9

〃更新n和h,用于下一次计算

n=2*n;

h=h/2;

}〃循环体结束

printf「积分值为％m11八,1211);//输出结果

)〃主函数结束

doublef(doublex)//被调用函数f,用于计算积分项

{、〃函数体开始▼

〃计算并返回积分项

return((exp(x)+x*x)/(l+x*x*x));

)〃函数体结束

运行结果：第一次近似计算提醒面积值为2.265451

积分值为3.138948

while(fabs(I2mJn)>=eps)//当型循环，精度未达要求则继续

(〃循环体开始，

//将上一次计算结果转存入m和In

tn=t2n;

In=I2n;

〃计算k从0至If(xl+(k+0.5)*h)的和

s=0.0;力求和变量s清零

for(k=0;k<n;k=k+l)//循环求和

{、〃循环体开始

x=xl+(k+0.5)*h;

s=s+f(x);

)〃循环体结束

//计算t2n和I2n

t2n=(tn+h*s)/2.0;

I2n=(4^t2n-tn)/3.0;11

随机数

说明：

1、要产生随机数需要在预编译中加入库函数

#include<stdlib.h>

2、rand()是产生随机数的函数，它可生成0至32767的

整数\

3、最大随机数为RAND_MAX,值为32767

4、产生随机数需要设置种子

srand((unsigned)time(NULL));

因为时间每分每秒不同，第一个随机数就不会固

定。你可以做试验，如去掉这条，产生十个随机数，

每次都会是一样的。…

产生的随机数：

41

18467

6334

26500

11478\

29358

26962

24464

加上这条之后，你再观察，每一次出的十个数都不同。

13

下面的程序是产生十个小数（随机函数4.c）

#include<stdio.h>〃预编译命令

#include<math.h>〃预编译命令

#include<stdlib.h>〃预编译命令

voidmain(void)〃主函数

(〃主函数开始

intk；〃定义整型变量k

srand((unsigned)time(NULL));〃设置

for(k=0;k<10;k=k+l)//循环

(

〃输出随机小数

printfC6%^nf\(float)rand()/RANDMAX);

力输出最大随机数

printf(n最大随机数为％d\iT,RAND_MAX);

)〃主函数结束

说明

1、用rand()/RAND_MAX来产生大于0而小于1的

小数。

2、因为rand()是整型数，RAND_MAX是整型常数,

两者相除，如不作特殊处理得不出小数，只能为0。

因为被除数小于除数。因此需要强制转换数据类型,

在除式前加(float),即

(float)rand()/RANDMAX

伪随机数的应用——蒙特卡罗法求几何面积

例：求九的近似值。

如右图，正方形的面积A=l；1/4圆的面积B=TT/4。我们

想象有一个容器在正方形中夹有一个极薄的圆弧隔板。

下小雨时搬至屋外，经一定时间后，称1/4圆的容器内的

水重C,与作为一个整体的正方形中的水重D。C与D之

比应该等于B与A之比，、t

4DD16

我们让计算机产生伪随机数X和y,让x的值的范围在0〜

1之间；让y的值的范围也在0〜1之间，模拟雨点落在正

方形中，当然会有的雨点落在1/4圆中，数以百万计雨点

可以累计得到C和D,从而上述公式算出江的近似值。这

里关键是落入扇形区的判据：

如果满足了上述条件，则让C=C+L

参考程序见“随机函数Lc”

17

#include<stdio.h>〃预编译命令

#include<math.h>〃预编译命令

#include<stdlib.h>〃预编译命令

voidmain(void)〃主函数

〃主函数开始

longk,c=0,d=0;〃定义长整型变量

floatpai,x,y;〃定义浮点类型变量

srand((unsigned)time(NULL));//设置

for(k=l;k<=100000000;k=k+l)//循环

//循环体开始

d=d+l;//累加正方形中落入的一个雨点

x=(float)rand()/32767;〃雨点在x方向的位置

y=(float)rand()/32767;〃雨点在y方向的位置

if(sqrt(x*x+y*y)v=l)

c=c+l;//累加扇形中落入的一个雨

点

pai=4.0^(float)c/d;//计算pai的值

printf(npai=%f\nf\pai);//输出pai的值18

・・•,,―/―L

下面可演化为计算图形的面积。如图所示计算有阴影

线的图形的面积，乍看似乎有些难，但仔细分析即可

在上面程序的基础上来做了。

从思路上考+y2

虑落在阴影这块面

积上的雨点数g与+y2=i

落在正方形整体上

的雨点数d的比就

是这块面积s的近

似值。

1

19

此题的关键是如何判断雨点是落在阴影线的区域内。这

就要用到解析几何的知识：对于以原点x=0,y=0为圆心,

半径为1的圆弧，阴影线中的每个点应满足

I2+/>1〈公式1〉

对于以x=Ly=0为圆心的圆弧，阴影线中的每个点应满

d(X-if+J>](公式2>

当然这个条件在产生随机数时就已经保证了,

故可以不再考虑了。

因此，要同时满足公式1和公式2,雨点才能落入阴影线

区域，语句2。

if((sqrt(x^x+y^y)>l)&&(sqrt((x-l)^(x-l)+y^y)>l))

g=g+l；

就是依据上述的思路。

为了比较所得结果是否有效，程序中给出了s的精确值,

这个值是用几何的解法计算出的，见图

兀73兀

A+B+A=——+^―+——

12412

s=1-(A+B+A)30°

21

参考程序如下（随机函数6.c）

#include<stdio.h>〃预编译命令

#include<math.h>//预编译命令

#include<stdlib.h>〃预编译命令

voidmain(void)〃主函数

(〃主函数开始

longk,d=0,g=0;〃定义长整型变量

floats汉y;〃定义浮点类型变量

srand((unsigned)time(NULL));〃设置

22

for(k=l;k<=10000000;k=k+l)//循环

{〃循环体开始

d=d+l;//累加正方形中落入的一个雨点

x=(float)rand()/32767;//雨点在x方向的位置

y=(float)rand()/32767;//雨点在y方向的位置

if((sqrt(x*x+y*y)>l)&&(sqrt((x-l)*(x-l)+ywy)>l))

g=g+l;//累加阴影亩积中落入%勺一个布点

}、//循环体结束

s=(float)g/d;//计算s的值

printf(ns=%Rn",s);//输出s的值

〃输出s的精确值

printfjs的精确值为%f\nf\1.0-(3.14159/6.0+1.73205/4.0));

整数分拆

题目：有一个整数n,将n分解成若干个整数之和，问如

何分解能使这些数的乘积最大，输出这个乘积m。

分析：分解出的数既不是越多越好，也不是越大越好。

例n=12

(1)分解为1+1+1+…+1,12个

m=1*1*1・・・

(2)分角星为2+2+.・・+2,6个2

m=26=64

24

(3)分解为3+3+3+3,4个3

m=34=81

(4)分解为4+4+4,3个4

m=43=64

(5)分解为6+6,2个6

m=62=36

(6)分角星为5+7

m=5*7=35

(7)分角翠为4+8

=4*8=3225

显然，3最好。

算法：见与或结点图。

26

图的说明：

1.当n可以被3整除时，就让n分解成k个3,k=n13。

之后，调用一个算3的k次方的函数p(k),输出p(k)。

2.当n除3余1时，可分解为1,3,3,…,3。从使乘积最大

的角度出发，我们不希望分解出1来，这时，宁可让1

与其中的一个3合并，为4。让左=(〃—4)/3,接着

调用p(k),但输出时再将原来减去的4当作一个乘数

乘进来，即输出4*p(k)。▼

3.当n除3余2时，可分解为2,3,3,…,3。可以沿用上诉

思路让左=(〃-2)/3,求p(k)。最后输出时将2乘

入，即输出2*p(k)。

4.这个程序我们采用多分支选择语句，格式为“

switch（表达式）

（

case常量表达式1:{语句块1;}

case常量表达式2:{语句块2;}

case常量表达式n:{语句块n;}

}

switch后面括弧中的表达式的值与case后面的常量

表达式的值相等时，就执行其后的语句。比如

28

switch(a)

case0{b=1;break;}

case1{b=10;break;}

case2{b=100;break;}

case3{b=1000;break;}

case4{b=10000;}

实践上完成的任务是

29

1a=0

10—■1

b=\10Qa=2

1000a=3

10000,q=4

注音-

不可以没有break。如果没有的话，不管a为0,还

是为1,为2或为3,b的值均为10000。

30

参考程序如下（n的分解.c）

#include<stdio.h>〃预编译命令

longp(int);〃声明函数p为长整型,

//形参为整型

voidmain()//主函数

(//主程序开始

intn,k;〃整型变量

longm;