江苏省常州市前黄高中2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年江苏省常州市前黄高中高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题（每小题5分，共70分）1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是______命题．（填“真”或“假”之一）2．已知复数z满足（i为虚数单位），则|z|=______．3．从1，2，…5这5个自然数中任意抽取2个数，抽到“至少有1个数是偶数”的概率为______．4．抛物线x2=﹣8y的焦点坐标为______．5．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的______条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）6．已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的一条渐近线方程为x+y=0，则m=______．7．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（1）=______．8．已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴．若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是______．9．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是______．10．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=ax•g（x）（a＞0，a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x）；若，则a=______．11．已知函数f（x）=ex﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是______．12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=a，CD=b（a＞b）．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m：n，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S1，S2，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m：n，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是______．13．设函数f（x）=|ex﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是______．14．已知A为椭圆的上顶点，B，C为该椭圆上的另外两点，且△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC只有一解，则椭圆的离心率的取值范围是______．二、解答题（共90分．请在答题纸上写出详细的解题过程）15．已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．16．已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，底面ABCD，SA=2，M为SA的中点．（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；（2）求直线AS与平面SCD所成角的正弦值；（3）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．18．如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均小于10m．（1）求x的取值范围；（运算中取1.4）（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．20．已知函数f（x）=cosx+ax2﹣1，a∈R．（1）当a=0时，求函数f（x）在处的切线方程；（2）当a=1时，求函数f（x）在[﹣π，π]上的最大值和最小值；（3）若对于任意的实数x恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．

2015-2016学年江苏省常州市前黄高中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是假命题．（填“真”或“假”之一）【考点】特称命题．【分析】先判断原命题的真假性，根据原命题与命题的否定真假相反的原则即可判断命题的否定的真假【解答】解：∵x2+2≥2∴命题“∀x∈R，x2+2＞0”是真命题∴原命题的否定是假命题故答案为：假2．已知复数z满足（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数求模．【分析】先求出复数z，然后利用求模公式可得答案．【解答】解：由iz=1+i得，==，故|z|=．故答案为：2．3．从1，2，…5这5个自然数中任意抽取2个数，抽到“至少有1个数是偶数”的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，…5这5个自然数中任意抽取2个数，结果数如下（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种结果，每种结果等可能出现，属于古典概率记“至少有1个数是偶数”为事件A，则A包含的结果有：（1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（4，5）共7种结果由古典概率公式可得P（A）=，故答案为：4．抛物线x2=﹣8y的焦点坐标为（0，﹣2）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线x2=8y中，p=4，由抛物线焦点坐标公式，计算可得答案．【解答】解：抛物线x2=﹣8y中，p=4，焦点在y轴上，则其焦点坐标为（0，﹣2）；故答案为（0，﹣2）．5．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要6．已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的一条渐近线方程为x+y=0，则m=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线x2﹣=1（m＞0）的一条渐近线方程为x+y=0，可得m=．【解答】解：∵双曲线x2﹣=1（m＞0）的一条渐近线方程为x+y=0，∴m=，故答案为：．7．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（1）=．【考点】导数的运算．【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），∴f′（x）=2x﹣2f′（1），令x=1，则f′（1）=2﹣2f′（1），则f′（1）=，故答案为：．8．已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴．若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】F（﹣c，0），A（a，0），把x=﹣c代入椭圆方程可得：y=±，可得|PF|，|AF|=a+c，利用|PF|=|AF|，即可得出．【解答】解：F（﹣c，0），A（a，0），把x=﹣c代入椭圆方程可得：y2==，解得y=±，∴|PF|=，AF=a+c，∵|PF|=|AF|，∴=（a+c），∴4（a2﹣c2）=a2+ac，化为：4e2+e﹣3=0，又0＜e＜1，解得e=．故答案为：．9．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是（0，2）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，结合已知条件，判断即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+2ax﹣（a+2）=，①a≤0时，ax﹣1＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故是函数的极小值点，不合题意，②0＜a＜2时，＜，令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f（x）在处取得极大值，符合题意，③a=2时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，④a＞2时，＞，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f（x）在x=处取得极大值，不符合题意，综上，a∈（0，2），故答案为：（0，2）．10．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=ax•g（x）（a＞0，a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x）；若，则a=．【考点】导数的几何意义；函数的值．【分析】先根据得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数的单调性求a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可．【解答】解：由得，所以．又由f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），即f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）＞0，也就是，说明函数是减函数，即，故．故答案为11．已知函数f（x）=ex﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是[2，3]．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】求出函数f（x）的导数，可得f（x）递增，解得f（x）=0的解为1，由题意可得x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，求得（x+1）+﹣2的范围，即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=ex﹣1+x﹣2的导数为f′（x）=ex﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）=0，可得f（x1）=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）=0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，令t=x+1（1≤t≤3），则t+﹣2在[1，2]递减，[2，3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2，3]．故答案为：[2，3]．12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=a，CD=b（a＞b）．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m：n，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S1，S2，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m：n，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据平行判断三角形相似，从而可得面积之比，利用已有的结论，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥DC，EF∥AB∴△OCD∽△OEF∽△OAB∴，∴，∴=∵∴∴∴故答案为：13．设函数f（x）=|ex﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：当x≥2a时，f（x）=|ex﹣e2a|=ex﹣e2a，此时为增函数，当x＜2a时，f（x）=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a，此时为减函数，即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1，∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=ex1•（﹣ex2）=﹣ex1+x2=﹣1，则ex1+x2=1，即x1+x2=0，∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，∴2a＜1，解得a＜，综上﹣＜a＜，故答案为：（﹣，）．14．已知A为椭圆的上顶点，B，C为该椭圆上的另外两点，且△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC只有一解，则椭圆的离心率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可设：直线AB的方程为y=kx+1，（k＞0），直线AC的方程为y=﹣x+1，分别与椭圆方程联立解出B，C的坐标，利用|AB|=|AC|，即可得出．【解答】解：由题意可设：直线AB的方程为y=kx+1，（k＞0），直线AC的方程为y=﹣x+1，联立（a＞1），化为：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，解得xB=，yB=．|AB|=．同理可得：xC=，yC=．|AC|=．∵|AB|=|AC|，∴=．化为：a2（k2﹣k）=k3﹣1，当k=1时不满足条件，舍去．当k≠1时，a2==k++1＞3，∴1＞e=＞，故答案为：．二、解答题（共90分．请在答题纸上写出详细的解题过程）15．已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，由于命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假．即可得出．【解答】解：命题p：f′（x）=3x2+2ax+a+，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值，∴f′（x）=0有两个不等实数根，∴△=4a2﹣4×3（a+）=4a2﹣4（3a+4）＞0，解得a＞4或a＜﹣1；命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），为真命题，则∈（1，2），解得0＜a＜15．∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q必然一真一假，则或，解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1．16．已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．【考点】数列递推式；用数学归纳法证明不等式．【分析】（1）此问根据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s2；当n=2时，f（2）=s4﹣s1=a2+a3；当n=3时，f（3）=s6﹣s2．（2）当n=1时，≥1．当n≥2时，f（n）中没有a1，因此都小于1．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．下面用数学归纳法证明：（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即，那么===，所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，底面ABCD，SA=2，M为SA的中点．（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；（2）求直线AS与平面SCD所成角的正弦值；（3）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（1）在平面ABCD中，过点A作AF⊥AB，交CD与F，以A为原点，AB，AF，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与MD所成角．（2）求出平面SCD的法向量，利用向量法能求出直线AS与平面SCD所成角的正弦值．（3）求出平面SCD的法向量和平面SAB的法向量，利用向量法能求出平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）在平面ABCD中，过点A作AF⊥AB，交CD与F，以A为原点，AB，AF，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），M（0，0，1），D（﹣，，0），=（1，0，0），=（﹣，，﹣1），设异面直线AB与MD所成角为α，则cosα===，∴．∴异面直线AB与MD所成角为．（2）S（0，0，2），C（1﹣，，0），=（0，0，2），=（1﹣，，﹣2），=（﹣，，﹣2），设平面SCD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），设直线AS与平面SCD所成角为β，则sinβ=|cos＜＞|===，∴直线AS与平面SCD所成角的正弦值为．（3）∵平面SCD的法向量=（0，2，1），平面SAB的法向量=（0，1，0），∴cos＜＞==，∴平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．18．如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均小于10m．（1）求x的取值范围；（运算中取1.4）（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）根据题目中的不等关系列出关于x的不等式组，求解即可；（2）建立“环岛”的整体造价y与x的关系，然后利用导数求出y取最小值时x的取值即可．【解答】解：（1）由题意可知，，解得，，又由﹣x2≥10，解可得﹣14≤x≤14，即9≤x≤14．（2）记“环岛”的整体造价为y元．则由题意得，=．令，则=﹣4x．由f′（x）=0得，x=10或x=15．∴当x=10时，y取最小值．答：当x=10m时，可使“环岛”的整体造价最低．19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可；（2）由直线AB与CD向量存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，进而表示出M坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可；（3）根据P坐标，得到OP的长，由OF﹣OP表示出PF长，三角形MNF面积等于三角形PMF面积加上三角形PNF面积，利用基本不等式求出面积的最大值即可．【解答】解：（1）由题意：c=1，=，∴a=，b=c=1，则椭圆的方程为+y2=1；（2）∵AB，CD斜率均存在，∴设直线AB方程为：y=k（x﹣1），再设A（x1，y1），B（x2，y2），则有M（，k（﹣1）），联立得：，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，∴，即M（，），将上式中的k换成﹣，同理可得：N（，），若=，解得：k=±1，直线MN斜率不存在，此时直线MN过点（，0）；下证动直线MN过定点P（，0），若直线MN斜率存在，则kMN===×，直线MN为y﹣=×（x﹣），令y=0，得x=+×=×=，综上，直线MN过定点（，0）；（3）由第（2）问可知直线MN过定点P（，0），故S△FMN=S△FPM+S△FPN=×||+×|=×，令t=|k|+∈[2，+∞），S△FMN=f（t）=×=×，∴f（t）在t∈[2，+∞）单调递减，当t=2时，f（t）取得