数字信号处理原理配套习题答案第7章IIR数字滤波器设计习题解答

7.1试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc解 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为A巴特沃斯低通滤波器的系统函数为HsHsH其零点都在s=∞处,它的极点为sk=−112NH其中K0由H在三阶巴特沃斯低通滤波器中,ΩcA其极点为SnS1=2则有H==因为Ha0=H7.2试导出二阶切比雪夫滤波器的系统函数，已知通带纹波为1dB，归一化截止频率为Ω解 根据滤波器的指标可知:带通波纹是δ1=1dB,N=2,ε所以ε因为a=s将ε=0.50884，N=2,ΩcssssHas由左半平面的极点s3、sH7.3已知某个模拟系统的传递函数为Ha试根据该系统求满足下列两个条件的离散系统的系统函数Hz(1)冲激不变条件，即ℎ(2)阶跃不变条件，即s式中s解 (1)因为H得极点为s代入冲激不变法计算公式得离散系统的系统函数为H(2)因为sS所以s令t=nT,由阶跃不变条件可得sS==由于snH7.4已知某个模拟滤波器的系统函数为H 采样周期T=2，试用双线性变换法将它转换为数字滤波器的系统函数Hz解 当T=2时,系统函数为

=7.5要求用双线性变换法从二阶巴特沃斯模拟滤波器导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz解 因为采样频率fs=1KHZ,截止频率求巴特沃斯模拟滤波器的系统函数，因为二阶巴特沃斯滤波器的系统函数为H则二阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数为H使用双线性变换求得数字滤波器得的系统函数为H7.6已知某个模拟滤波器的传递函数为H 试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数Hz，设T=0.5解 (1)使用冲激响应不变法因为Ha对Haℎ利用冲激响应不变法条件h(n)=ℎah对h(n)求Z变换得H将s1=-0.5,sH(2)使用双线性变换法H==7.7设ℎatℎ试用冲激响应不变法将该模拟滤波器转换成数字滤波器。若把T当作参量，证明T为任何正值时，数字滤波器都是稳定的，并说明此滤波器是近似低通滤波器还是近似高通滤波器。解 令t=nT,得

求h(n)的Z变换,得数字滤波器的系统函数为H由于系统函数的极点为z=e−0.9T.,无论T为任何正值,恒有|z|=|e令z=ejωH因此,滤波器的幅度响应为H在[0,π]区间,随着ω的增加,He7.8图P7.8表示了一个数字滤波器的频率响应。(1)试用冲激响应不变法,求原型模拟滤波器的频率响应;(2)再用双线性变换法,求原型模拟滤波器的频率响应。解：（1）该滤波器的频率响应可表示为H因为ω大于折叠频率时,HeH又由Ω=Ha下图给出了该原型模拟滤波器的频率响应（2）根据双线性变换公式,可得H即由ω所以,原型模拟滤波器的频率响应为H下图给出了该原型模拟滤波器的频率响应7.9用冲激响应不变法设计一个满足以下指标的巴特沃斯数字低通滤波器:幅度响应在通带截止频率ωP=0.2613π处的衰减不大于0.75dB解（1）根据滤波器的指标得20设T=1,将数字域指标转换成模拟域指标得20lg将巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数H代人上两式得1+1+解这两个方程得N=7.2786,取整数N=8,且Ωc=0.9206。显然,按上述值设计的滤波器满足通带指标要求,且阻带指标将超过给定值。(2)把N=8,0.Ωc=0.9206代入式sk求得;平面左半平面的4对极点分别为:极点对1:-0.1796士j0.9029;极点对2:-0.5115士j0.7655;极点对3:-0.7655士j0.5115;极点对4:-0.9029±j0.1796由这4对极点构成的滤波器的传递函数为H=(3)将HaH(4)验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ejω代入系统函数H(z)表达式，求解幅度响应Herp=0.75;rs=20;wp=0.2613*pi;ws=0.4018*pi;Fs=1;[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s')[z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wp)Ts=1,fs=0.5;[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs/2)[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs);subplot(211)plot(w,abs(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('幅值')subplot(212)plot(w,180/pi*angle(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('相位(度)');由图中可以看出,设计的滤波器完全满足规定的技术指标,因为高阶模拟巴特沃斯滤波器是充分带限的,所以不会有很大的混叠失真。如果得到的滤波器不满足技术指标,可以试用更高阶的滤波器;若想保持阶数N不变,可适当调整滤波器的系数加以解决。7.10使用双线性变换法设计一个满足以下指标的巴特沃斯数字低通滤波器。假定取样频率fs=10kHz,在通带截止频率fP=1kHz处的衰减不大于1解：（1）将模拟截止频率转换成数字截止频率因为Ωp=2πfp=2000π,ΩT=2πfT=3000π,T=1/fs=0.0001s,所以ωp=T*Ωp=0.2π，ωT=T*ΩT=0.3π(2)计算N和Ωc将模拟截止频率进行预畸变,即Ω将其代入20并令T=1，得20将巴特沃斯滤波器的幅度平方函数代人以上两式得到1+1+解以上两方程得N取整数N=4,可得Ωc=0.71684。可以验算这个Ωc值所对应的阻带指标刚好满足要求,而通带指标已经超过要求(3)由N和Ωc。求模拟巴特沃斯滤波器的极点,并由左半平面的极点构成Ha(s),将N=4和Ωc=0.71684代入式s求得s平面左平面的4个极点分别为:极点1、2:−0.27432±极点3、4:−0.66227±由此得传递函数为:H(4)使用双线性变换求得数字巴特沃斯滤波器的系统函数为HH(5)验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ejω代入系统函数H(z)表达式，求解幅度响应wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1.8;As=12;Fs=1;T=1/Fs;OmegaP=(2/T)*tan(wp/2);OmegaS=(2/T)*tan(ws/2);ep=sqrt(10^(Rp/10)-1);Ripple=sqrt(1/(1+ep*ep));Attn=1/(10^(As/20));N=ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(OmegaP/OmegaS)))OmegaC=OmegaP/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)))[B,A]=butter(N,OmegaC,'s');W=(0:500)*pi/500;[H]=freqs(B,A,W);mag=abs(H);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[b,a]=bilinear(B,A,T);[h,w]=freqz(b,a,1000,'whole');h=(h(1:501))';w=(w(1:501))'m=abs(H);db2=20*log10((m+eps)/max(m));subplot(221);plot(W/pi,mag);title('幅度|dB|');ylabel('模拟滤波器')subplot(222);plot(W/pi,db1);title('幅度dB')subplot(223);plot(w/pi,m);xlabel('频率(w/pi)');ylabel('数字滤波器')subplot(224);plot(w/pi,db2);xlabel('频率(w/pi)')7.11使用双线性变换法设计一个切比雪夫数字低通滤波器，各指标与题7.10中的相同解 将数字截止频率转换成模拟截止频率因为ΩP=2πf 所以ωP=按照双线性变换法有ΩΩ因为δ1=1.8dB，δ2所以εN≥所以取整数N=3。αa=b=因此a代入得左半平面得极点为-0.09875±j0.4732,-0.1975H因为N为奇数，HaHH7-12使用双线性变换法设计一个切比雪夫数字高通滤波器。指标要求：取样频率fs=2.4kHz，在通带截止频率fP=160Hz处的衰减不大于3dB，在阻带截止频率解（1）将高通数字滤波器的频率指标SKIPIF1<0和SKIPIF1<0折合成数字频率SKIPIF1<0设T=2，按照双线性变换法，将高通数字滤波器的数字域频率转换为高通模拟滤波器的频率SKIPIF1<0将高模拟滤波器的频率指标映射成模拟低同滤波器的频率指标SKIPIF1<0（2）根据模拟低同滤波器的指标求SKIPIF1<0和NSKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0取N=3。（3）求模拟低通滤波器的平方幅度函数令SKIPIF1<0，将其代入3阶切比雪夫多项式的平方中SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，3阶切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅度函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）求模拟低通滤波器的传输函数将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0由上式求出SKIPIF1<0的极点：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是左半s平面的3个极点，由他们构成一个稳定的3阶切比雪夫模拟低通滤波器，其传输函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0因N=3为奇数，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0最后得SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意，模拟低通滤波器的传输函数在左半s平面的3个极点也可以用下式求出：SKIPIF1<0，k=0,1,…,2N-1其中常量a和b用下列公式计算SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值代入计算极点的公式，得左半s平面的极点如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0这里的结果与前面的数值基本相同。（5）将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器用1/s代换模拟低通滤波器的传输函数中的s，得到模拟高通滤波器的传输函数SKIPIF1<0（6）用双线性变换法将模拟高通滤波器映射成数字高通滤波器设T=2。将SKIPIF1<0代入模拟高通滤波器的传输函数，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0Matlab程序如下Wp=2*pi/15;Ws=pi/30;Rp=3;Rs=48;fs=0.5;T=2;OmegaP=tan(Wp/2);OmegaS=tan(Ws/2);[N,OmegaC]=cheb1ord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=cheby1(N,Rp,OmegaC,'high','s');[h,w]=freqs(b,a);mag=abs(h);pha1=angle(h);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[B,A]=bilinear(b,a,fs);[H,W]=freqz(B,A);mag=abs(H);pha2=angle(H);db2=20*log10((mag+eps)/max(mag));subplot(2,2,1);plot(w,db1);title('模拟滤波器幅频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,2);plot(w,pha1);title('模拟滤波器相频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('相位（rad）');subplot(2,2,3);plot(W,db2);title('数字滤波器幅频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,