数字信号处理原理配套习题答案 第3章离散时间信号的频域分析习题解答

3.1设Xeiω和Yeiω分别是xn1xn−n05x解2DTFTx∗34所以DTFT5=n=−∞+∞xn=或者DTFT6dX所以DTFT(7)因（DTFT3.2已知X求Xejω的傅里叶反变换解:因为当ω0<ω<ω0时,所以x=3.3线性非移变系统的频率响应Hejω=Hejωy证明:假设输人信号xn=eiωy上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定系统的频率响应，即有xy=上式中Heiω是ω的偶函数，相位函数是ω的奇函数，即Hejωy3.4试求以下序列的傅里叶变换。13xn=解2==343.5已知xn=解:序列xDTFT=DTFTx03.6若序列ℎn是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式求序列ℎn及其傅里叶变换H解：因为

HℎH3.7若序列ℎn是实因果序列，ℎ0=1，其傅里叶变换的虚部为H1ejω解而DTFT则ℎ所以H3.8设系统的单位冲激响应ℎn=x完成下面各题：12分别求出解:(1)系统输出为

y由2DTFTDTFTDTFT=3.9已知xat=2cos2πf0t，式中f0=1写出2写出3分别求出解:X=2πδω−2π=2πδ2xxn3===800而3.10求下列序列的Z变换，指出收敛域，并画出零极点图。1an41nn≥15解:1由Z变换的定义可知X=极点为z=a,z=a−1，零点为z=0,z=∞，因为az<1，且az−1<1，即得Z变换的收敛域为aMatlab实现程序如下：cleara=0.5;b=0c=1−zplaneb,c图3.1零极点图2极点为z=12，收敛域为z>图3.2零极点图3Z极点为z=12，零点为z=0，收敛域为z<1图3.3零极点图4由Z变换的定义可知X因为则X极点为z=1,z=0，零点为z=∞，而Xz的收敛域和dXzdz的收敛域相同，所以Xz收敛域为z图3.4零极点图5Y所以X极点为z=ejω0,z=图3.5零极点图6y=cosφ⋅cos则

Y=而

x则

X极点为z=reiω0,z=re−jω图3.6零极点图3.11求序列xn=n解令再令i=nX3.12用长除法、留数定理法和部分12X3解：1长除法：由于是右边序列，所以按降幂级数排列，X所以x留数法:xn=12πjc11+当在c内有z=−12一个极点，则有x由于xn为因果序列,故n<0时，xn部分分式法：由题得，因为zx2长除法：由于极点为z=14，收敛域为z<14，X所以x留数法：xn=12πjc1−2当nx当nx当nx综上所述，有部分分式法：X则Xz=8−71−14z−1，x3长除法：因为极点为z=1a，由z>1a可知Xx留数法：xn=12πjcz−a1−azzx当n=0时，Xzzn−1在cx当n<0x部分分式法：X3.13已知一个线性非移变系统，用差分方程描述如下y求系统的系统函数Hz，求系统的单位冲激响应。可以看出系统为一个不稳定系统，求满足上述差分方程的一个稳定（但非因果）系统的冲激响应。解：(1)差分方程两边取Z变换得：Y系统函数为

H零点为z=0,极点为z1=1+52,图3.7 零极点图（2）H3H得到ℎ此时系统稳定，但非因果。3.14设一个线性非移变系统的因果系统，其系统函数为Hz23证明这个系统是一个全通系统。解：1由题意可得系统函数有一个极点z=a，若要求它是一个稳定系统，该系统函数的极点应全部在单位圆内，因此a<1，因为a为实数，所以一1<2系统函数的零点为z=a−1,极点为z=aa0a01/aRe(z)Im(z)图3.83H因此，此系统是一个全通系统。3.15设线性非移变系统的差分方程为y试求它的单位冲激响应，并判断它是否为因果系统，是否为稳定系统。解：在差分方程两边求Z变换得1所以该系统的系统函数为HH该系统的极点有z=13当|z|<1/3时，ℎ(n)=−3/8∗[因为收敛域不含∞，所以是非因果系统；收敛域不含单位圆，不是稳定系统。(2)当1/3<|z|<3因为收敛域不含∞，所以是非因果系统；收敛域含单位圆，是稳定系统。当3<|z|时，因为收敛域包含∞，所以是因果系统；收敛域不含单位圆，不是稳定系统。3.16某系统的差分方程为y求输人为xn=12解:对差分方程的两边取单边Z变换，得Y将初始条件代人上式整理得YY=故零输入响应y由xY=故零状态响应为y综上所述，系统的相应为y3.17设确定性序列xn的自相关函数为

rxx=n=−∞∞xnxn+m

，试用xn解:Z令n+m=iZ所以Z由于Xeiω是单位圆上的Z变换，所以3.18已知线性因果网络用下面差分方程描述y1求网络的系统函数2写出频率响应He3设输入解:1对差分方程两边取Z变换得Y系统函数为H因为H所以ℎ2

系统的零点为z=−0.9，极点为z=0.9，如图3.9所示。将系统的幅频响应记为He①当②随ω的增大，由0变到π，B越来越小,A越来越大，则∣Hejω∣越来越小；④随ω的继续增大，由π变到2π,B越来越大,A越来越小⑤当ω=2π时0Re(z)0Re(z)Im(z)-110π2πHω19图3.9幅频特性图3X其中,Y所以，当输入为xny3.19研究一个线性非移变的系统，其差分方程为y判断该系统是否稳定，是否因果没有限制；研究这个差分方程的零极点图，求系统单位冲激响应的三种可能的选择方案，验证每一种方案都满足差分方程。解:对所给的差分方程的两边作Z变换得YH则系统函数为可求得极点为z1=2,z21当收敛域ℎ经验证，将以上的单位抽样响应代入原方程计算，两边相等，即满足差分方程。(2)ℎ3当收敛区域为ℎ经验证，将以上的单位抽样响应代入原方程计算，两边相等，即满足差分方程。2.20若序列ℎnH求序列ℎn及其傅里叶变换H解：因为H令z=H求上式逆Z变换，得序列ℎn的共轭对称序列ℎ则F因为ℎn是因果序列,ℎe当n≥1ℎ当n=0F所以ℎ又因为ℎ所以ℎℎ其对应的傅里叶变换为H3.21试用Matlab编程计算习题3.8和3.9。解：（1）3.8题编程。求系统输出yncloseall;clear;a=0.5;n=100;x=[102];h=a.^[0:n-1];%(a)卷积输出y=conv(x，h);figure(1)，plot(0:length(y)-1，y)图3.10卷积结果图计算x(n)，h(n)，y(n)的傅里叶变换，代码如下。%代码中，有一个可替换的参数，其中对于x(n)，BBB=1+2*exp(-2*j*w)，结果参看图3.11；%对于h(n)，BBB=1./(1-0.5*exp(-j*w))，结果参看图3.12;对于y(n)，BBB=1./(1-%0.5*exp(-j*w))+2*exp(-2*j*w)./(1-0.5*exp(-j*w))，结果参看图3.13。closeall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=BBB;%计算复数的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('频率')ylabel('幅值')%计算相位phase=angle(func);%将相位转换为度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('频率')ylabel('相位/度')图3.11x(n)的频谱图3.12h(n)的频谱图3.13y(n)的频谱（2）3.9题编程。x由奈奎斯特采样定理：XajΩcloseall;clear;figure;w=[-2000:1:2000];func=zeros(1，length(w));fori=-100:100func=func+dirac(w-800*i-200)+dirac(w-800*i+200);endfunc=800*pi*func;%计算复数的幅值magnitude=abs(func);magnitude(magnitude==inf)=3;plot(w，magnitude)xlabel('频率')ylabel('幅值')图3.14xaX(n)傅里叶变换：Xejωcloseall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=zeros(1，length(w));fori=1:1000func=func+exp(j*(pi/2-w)*i)+exp(-j*(pi/2-w)*i);end%计算复数的幅值magnitude=abs(func);subplo