北师大版九下《哪种方式更合算》教案

4.2哪种方式更合算我们在日常生活中经常会遇到各种摇奖活动，通过以前的学习，学生可能已经认识到这些活动中获胜或获奖的可能性了，但还未必具有正确的评判能力和决策能力．因此应该给予学生一定的工具，让学生评判某项活动是否“合算”．本节设计了一个具体情境，力图让学生在具体情境中感受“合算”，并掌握一定的判断方法，提高其决策能力，从而对现实生活中一些类似的现象进行评判．当然，这本质上就是数学期望．因而该知识具有一定的思维要求．在选取素材时，教材注意知识的前后联系，选择了一个学生以前研究过的问题情境，以降低学生解决问题的难度；同时在解决问题的过程中，又强调了学生的体验，让学生首先通过实验获得初步的感受，再通过和前一节中加权平均数的联系，逐步获得对问题的理论解释．因此本节的重点是经历解决问题的活动过程，并在活动中进一步发展学生的合作交流意识与能力，增强学生的数学应用意识和能力；通过具体问题情境，让学生初步体会如何评判某件事情是否“合算”，并利用它对现实生活中的一些现象进行评判，进一步体会概率与统计之间的关系．教学时，要注重学生的活动，特别是小组合作的活动，在各种教学活动中，鼓励学生思维的多样性，避免评价的单一性．注重实验估算与理论计算相结合，要在两者之间巧妙的过渡，加强其与平均数的联系，从而既促进了学生的理解，同时也渗透了概率统计之间的联系．教学目标(一)教学知识点通过具体问题情境，让学生初步体会如何评判某件事情是否“合算”，并利用它对现实生活中的一些现象进行评判．(二)能力训练要求1.经历解决问题的活动过程，并在活动中进一步发展学生的合作交流意识和能力，增强学生的数学应用意识和能力．2．进一步体会概率与统计的联系，建立良好的随机观念．(三)情感与价值观要求1．积极参与数学活动，在活动中体验学习数学的快乐．2．锻炼学生克服困难的勇气和信心，通过对现实问题的理论解释，获得学习数学的成就感．教学重点通过具体问题情境，让学生初步体会如何评判某件事情是否“合算”，并利用它对现实生活中的一些现象进行评判．教学难点理论地计算每转动一次转盘所获购物券金额的平均数．教学方法实验——引导法．教具准备若干个学生自做的自由转动的转盘．教学过程Ⅰ．创设情境，建立“实验”平台[师]也许你曾被大幅的彩票广告所吸引，也许你曾经历过各种摇奖促销活动。你研究过获得各种奖项的可能性吗?你想知道每一次活动的平均收益吗?让我们一起来研究其中的奥秘吧!我先给大家讲一个集市上的故事：熙熙攘攘的集市上，某人在设摊“摸彩”，只见他手拿一袋，内装大小、形状、质量完全相同的4个绿球和4个红球，每次让“顾客”免费从袋中摸出4个球，输赢的规则是：所摸球的颜色顾客的收益4个全红得50元3红1绿得50元2红2绿失30元1红3绿得20元4个全绿得50元只见很多顾客围上前去，“免费”摸球，而且只有摸到“2红2绿”的情况才赔钱，其余情况都能得钱．而我在旁边观察的结果有一半以上的人都赔了钱，这种活动的欺骗性到底体现在什么地方呢?相信同学们经过这节课的学习，一定能揭开其中的“奥秘”，而不愿参加这一“免费”活动．Ⅱ．讲授新课[师]我们在日常生活中，经常会遇到各种摇奖活动，下面就是一例(多媒体演示)某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(如下图)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元，转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式更合算?[师]“合算”是指什么呢?[生]“合算”是指哪种方式拿到的购物券金额最大．[师]如果不转动转盘，可以直接获得购物券10元，如果转动转盘，就会出现多种可能的结果，会出现哪些结果呢?[生]可能指针指向红色，那么可以获得100元的购物券，可是转盘的红色区域很小，只有转盘的，也就是说，转动一次转盘，指针指向红色区域的概率只有0．05；指针也可能指向黄色区域，那么可以获得50元的购物券，可是转盘的黄色区域也很小，只有转盘的，也就是说，转动一次转盘，指针指向黄色区域的概率只有0．1；指针也可能指向绿色区域，那么可以获得20元的购物券，那也比不转动转盘“合算”，但转盘的绿色区域为整个转盘的，也就是说，转动一次转盘，指针指向绿色区域的概率为0．2：指针最大的可能会指向白色区域，因为白色区域是整个转盘的，也就是说，转动一次转盘，指针指向白色区域的概率为0．65．如果这样的话，就不如不转动转盘“合算”．[师]很好!听了大家的分析，看来大家处于“两难”之中．如果放弃转动转盘，就意味着放弃了获得100元、50元、20元购物券的机会．如果不放弃，就意味着有可能连获得10元购物券的机会也没有了．怎么办呢?下面我们先来做一个实验，也许你会从中找到解决这个问题的办法．(多媒体演示)做一做(1)组成合作小组，仿照上图制作一个转盘，用实验的办法(每组实验100次)分别求出获得100元、50元、20元购物券以及未能获得购物券的频率，并据此估计每转动一次转盘所获购物券金额的平均数．看看转转盘和直接获得购物券，哪种方式更合算．(2)全班交流，看看各小组的结论是否一致，并将各组的数据汇总，计算每转动一次转盘所获得购物券金额的平均数．实验目的：让学生亲自体验，看看转转盘和直接获得购物券，哪种方式合算．实验方式：小组或全班合作研讨实验步骤：1．仿照上图制作一个转盘．2．小组内分工，一个人自由转动转盘，一个人观察指针指向区域(在交界处的重新试验，不计次数)，一个人记录，把实验的结果填入下表(实验100次)获得100元购物券获得50元购物券获得20元购物券未能获得购物券频数频率3．根据上表估算每转动一次转盘所获购物券金额的平均数，看看转转盘和直接获得购物券，哪种方式更合算．4．全班交流，看看各小组的结论是否一致，并将各组数据汇总，计算每转动一次转盘所获购物券金额的平均数．看看哪种方式更合算．[师]你在实验中是如何计算每转动一次转盘所获购物券金额的平均数呢?[生]当做100次实验时，设获得100元购物券的频率为a1，获得50元购物券的频率为a2，获得20元的购物券的频率为a3，未能获得购物券的频率为a4，根据加权平均数的定义，可得，每转动一次转盘所获购物券金额的平均数为100a1+50a2+20a3+0a4＝100a1+50a2+20a3．[师]当试验次数很大时，a2、a2、a3、a4会怎么样呢?[生]当试验次数很大时，a1、a2、a3、a4表示的实验频率将稳定于一个值，我们把它叫做概率．也就是说，当实验次数很大时，我们可以用实验频率估计理论概率．[师]同学们表现得真棒，我们再来完成“想一想”(多媒体演示)想一想(1)如果把上图的转盘改为下图的图(1)的转盘，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客仍分别获得100元、50元、20元的购物券，与上图的转盘比，哪一个转盘对顾客更合算?如果改用下图中的图(2)呢?(2)不用实验的方法，你能求出每转动一次转盘所获得购物券金额的平均数吗?(通过转盘的“变式”，让学生理性地思考影响所获购物券金额的平均数的因素，为学生得出后面的理论计算方法打下基础)[生]图(1)和原来的转盘对顾客而言结果是一样的．因为指针落在红色区域、黄色区域和绿色区域的可能性没有变．[生]图(2)和原来的转盘对顾客而言结果不一样，图(2)的结果对顾客来说更合算．因为未获购物券和获得50元购物券的可能性没有变化，获得20元购物券的可能性减少，获得100元购物券的可能性增加．[师]如果不用试验的方法，你能求出每转动一次转盘所获购物券金额的平均数吗?[生]由图(1)我们知道，每转动一次转盘，获得100元购物券的概率为，获得50元购物券的概率为，获得20元购物券的概率为，根据概率与频率的关系，可以认为转动n次转盘，获得100元购物券的次数为n次，获得50元购物券的次数为n次，获得20元购物券的次数为n次，所以每转动一次转盘所获购物券金额的平均数应该为(元)．（100×n+50×n+20×n）÷n=100×+50×+20×=14(元)．同理，使用图(2)的转盘，每转动一次转盘所获购物券金额的平均数应该是100×+50×+20×=18(元)[师]这种算法你曾用过吗?[生]用过，其实这种算法与上一节小明估算农村居民的人均纯收入的方法是一致的，我们可以把转动转盘时指针落在红色区域、黄色区域、绿色区域的概率分别看作100元、50元、20元的权，计算每转动一次转盘所获购物券金额的平均数就可以用加权平均数的计算公式．议一议小亮根据图(1)的转盘，绘制了一个扇形统计图，(如下图)，据此他认为，每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是100×5%+50×10％+20×20%＝14(元)．你能解释小亮这样做的道理吗?[生]根据当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率．由图(1)可知，自由转动转盘，指针落在红色区域、黄色区域、绿色区域的可能性大小即概率分别为、、我们可以把、、看作实验n次(n很大)时，指针落在红色区域、黄色区域、绿色区域的频率，因此可绘制小亮所得的扇形统计图，反映了转盘每转动一次，指针落在各种区域的比例的大小，也反映了转盘转动时，指针指向红色区域、黄色区域、绿色区域、白色区域的权重．由加权平均数的计算公式就可求出转盘每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是100×5+50×10%+20×20%＝14(元)．我认为小亮的算法是有道理的．[生]但是我觉得小亮的方法不对．按小亮的算法我们组转了100次，总共获得购物券应为1400元，可我们总共获得购物券是1320元[生]我认为小亮的算法有道理，正如实验频率和理论概率的关系一样，实验次数很多时，实验结果应该和理论值相近，但实验次数再多，也很难保证实验结果与理论值相等，因为用小亮的方法计算的平均数是用概率估算出来的，这是我们实际生活中存在不确定现象时的一种合理的决策和评判．[师]看来，在同学们头脑中已建立了良好的随机观念．Ⅲ．随堂练习1．改用另一个转盘进行上面的活动，小颖根据实验数据绘制出下面的扇形统计图，求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数．解：根据扇形统计图，可知每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是100×10%+50×15%+20×25%＝22．5(元)．2．与同伴合作，估计每摸一次球的平均收益，你愿意参加这一“免费”摸球活动吗?(分组实验，让学生通过一定次数的实验，感受到该活动的欺骗性，而不再愿意参加这一“免费”活动)事实上，从袋中摸出4个球，4个全红的概率为，3红1绿的概率为，2红2绿的概率为，1红3绿的概率为，4个全绿的概率为，因此每摸一次球的平均收益是50×+20×-30×+20×+50×=-（元）.Ⅳ．课时小结这节课我们继续经历解决问题的活动过程，在具体情境中感受“合算”并掌握了一定的判断方法，提高了决策能力，从而对现实生活中的一些类似现象评判，进一步体会到概率与统计之间的联系，更好地建立了随机观念．Ⅴ．课后作业习题4．3第2、3题．Ⅵ．活动与探究用习题4．3第2题的转盘(如图)做游戏，每次游戏游戏者需交游戏费1元．游戏时，游戏者先押一个数字，然后快速地转动转盘，若转盘停止转动时，指针所指格子中的数字恰为游戏者所押数字，则游戏者将获得奖励36元．该游戏对游戏者有利吗?转动多少次后，游戏者平均每次将获利或损失多少元?[过程]在此游戏中，指针落在37个区域的可能性是一样的，而游戏者押中的概率为，押错的概率为.[结果]每押中一次获得奖金(36-1＝)35元，押错损失1元，因此转动多次后，游戏者平均每次将获利35×-1×＝-(元)．因此，该游戏对游戏者不利，游戏者平均每次损失元．板书设计§4．2哪种方式合算一、顾客每购买100元的商品，就获得购物券，获购物券的方式有两种：1．获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红、黄、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券在商场购物．2．不愿意转转盘，可直接获购物券10元．问题：哪种方式合算?二、1，实验，分组，全班交流，2．不用实验：求出每转动一次转盘所获购物券金额的平均数．备课资料参考练习1．小明在游乐场看到别人正在玩一种游戏．玩这种游戏需要用一张票，游戏者掷两个塑料的圆柱形瓶子．如果两个瓶子都是底朝上站住的，游戏者可以得到10张票玩其他游戏．小明看别人玩了一会，并把结果记录在表格中．两个都是边朝上一个底朝上一上底朝下两个都是底朝上24次14次2次(1)基于小明的记录结果，赢得游戏的实验概率是多少?(2)基于上述概率，如果小明