中学生标准学术能力诊断性测试2025届高三上学期10月测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页中学生标准学术能力诊断性测试2025届高三上学期10月测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x14<2x<4A.{−1,0,1} B.{−2,−1,0,1,2} C.{0,1} D.{−1,1}2.若z+1z−1=i，则|zA.2 B.22 C.13.已知单位向量a和b，若a⊥a+2b，则A.2 B.1 C.2 D.4.已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为(

)A.1：2 B.1：1 C.3：4 D.2：35.已知sin(α+β)=13，tanαtanA.−13 B.−19 C.6.已知函数f(x)=2x,0<x≤112f(x−1),x>1A.2 B.0 C.3 D.无穷7.将y=sinx的图象变换为y=sin3x−A.将图象上点的横坐标变为原来的13倍，再将图象向右平移π6个单位

B.将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移π18个单位

C.将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的13倍

D.8.定义在R上的函数f(x)满足：f(−1+x)−f(−1−x)=0，且f(1+x)+f(1−x)=0，当x∈[−1,1]时，f(x)=ax−2，则f(x)的最小值为(

)A.−6 B.−4 C.−3 D.−2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.从{1,2,3}中随机取一个数记为a，从{4,5,6}中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是(

)A.事件“a+b为偶数”的概率为49

B.事件“ab为偶数”的概率为79

C.设X=a+b，则X的数学期望为E(X)=6

D.设Y=ab，则在Y10.在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，CD=3CC1=3A.若CP=λCB10<λ<13，则经过P，E，F三点的直棱柱的截面为四边形

B.直线B1C与A1C111.一条动直线l1与圆x2+y2=1相切，并与圆x2+y2=25相交于点A.存在直线l1，使得以AB为直径的圆与l2相切

B.|PA|2+|PB|2的最小值为150−202

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若1xx−xm的展开式中存在x2项，则由满足条件的所有正整数13.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为F，且F是抛物线Γ:y2=4x的焦点．过点F的直线l与抛物线Γ交于A，B14.已知f(x)=|lna−lnx−2|+|ax−1|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记▵ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2a(1)若b=c，cosA=34(2)记BC边的

中点为D，AD=x，若A为钝角，求x的取值范围．16.(本小题15分)如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA=AC=2，BC=1，AB=

(1)若AD⊥平面PAB，证明：AD//平面PBC；(2)若PA⊥底面ABCD，AD⊥CD，二面角A−CP−D的正弦值为63，求AD17.(本小题15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的下顶点为B，左、右焦点分别为F1和F2，离心率为12，过F2的直线l与椭圆(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与坐标轴不垂直，点E关于x轴的对称点为G，试判断直线DG是否过定点，并说明理由．18.(本小题17分)已知函数f(x)=ax+sinx，(1)若a=−1，证明：f(x)≤0；(2)若f(x)≤0，求a的取值范围；(3)若a≠0，记g(x)=1af(x)−ln19.(本小题17分)乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9.已知甲、乙两人共进行了mm∈N∗场比赛，请根据小概率值α=0.010(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：P(A)=P(B)．(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是p(p>0.5)，没有平局．若采用“赛满2n−1局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n).若采用“赛满2n+1局，胜方至少取得n+1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n+1)，试比较P(n)与P(n+1)的大小．附：K2=n(ad−bcP0.050.0250.010k3.8415.0246.635

参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.C

8.B

9.ABD

10.BCD

11.BCD

12.an13.3314.2

15.【小问1详解】因为b=c，所以2a又cosA=b2所以7b2=21所以S▵ABC【小问2详解】因为BC边的中点为D，所以AD=所以x=1又2a所以x2在三角形中，b+c>a，所以b2所以3b2+又A为钝角，则a2>b故由215<a所以x∈0,

16.【小问1详解】证明：∵AC=2，BC=1，AB=3，即∴∠ABC=90∘，即∵AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴AD⊥AB，∴AD//BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD//平面PBC；【小问2详解】∵PA⊥底面ABCD，CD,AD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，PA⊥AD，又AD⊥CD，以点D为原点，以DA,DC所在的直线为x,y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示：

令AD=t，则At,0,0DC=4−tAC=设平面ACP的法向量为n1∴令x1=∴n设平面CPD的法向量为n2∴令z2=t，则∴n∵二面角A−CP−D的正弦值为63，则余弦值为又二面角为锐角，∴解得t=2，所以

17.【小问1详解】由题意可知BF因为离心率为12所以OF所以∠BF1O=若直线l⊥BF1，则直线l垂直平分线段所以▵BDE≅▵F由于▵BDE的周长为8，故▵F1DE由定义可知：EF所以▵F1DE的周长为4a=8所以c=1，故b=所以椭圆C的方程：x2【小问2详解】由题意可设直线l的方程为x=my+1，Dx1,可得直线DG的方程为：y−y因为x1将其代入直线DG方程，可得y=y可整理得：y=y联立方程x=my+1x24则y1所以y1+y将其代入∗式中，可得直线DG方程为：y=y可见直线DG过定点4,0，所以直线DG过定点，坐标为4,0．

18.【小问1详解】由题设f(x)=−x+sinx且x∈[0,π]，则所以f(x)在x∈[0,π]上递减，故f(x)≤f(0)=0，得证；【小问2详解】由解析式，易知x=0时f(x)≤0恒成立，当x∈(0,π]，只需a≤−sin令φ(x)=−sinxx且x∈(0,π]令ℎ(x)=sinx−xcosx，则ℎ′(x)=xsin所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，故φ′(x)>0，即φ(x)在x∈(0,π]上递增，且对于y=x−sinx，x∈[0,π]，则故y=x−sinx在x∈[0,π]上递增，且x=0时综上，φ(x)∈(−1,0]，即a≤−1．【小问3详解】由题设g(x)=f(x)a−ln(x+1)令g(x)=0⇒a[ln(x+1)−x]=只需研究y=sinxa与φ(x)=若a<0，则y=sinxa在(0,π2)上递减，在而φ′x=−xx+1<0，即φ(x)又y′=cosxa，则y′|x=0=cos故y=sinxa与φ(x)=此时，g(x)在x∈[0,π]有两个零点；若a>0，y=sinxa≥0在故y=sinxa与φ(x)=此时，g(x)在x∈[0,π]有一个零点；综上，a<0时g(x)有两个零点；a>0时g(x)有一个零点．

19.【小问1详解】由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下，甲获胜场数乙获胜场数5局3胜0.8m0.2mm7局4胜0.9m0.1mm1.7m0.3m2m所以K2=2m(0.08当m≥170时，根据小概率值α=0.010的K2当m<170时，根据小概率值α=0.010的K2【小问2详解】由题意，P(A)===6pP(A)==10=10=6p综上，P(A)=P(B)，得证．【小问3详解】考虑赛满2n+1局的情况，以赛完2n−1局为第一阶段，第二阶段为最后2局，设“赛满2n+1局甲获胜”为事件C，结合第一阶段结果，要使事件C发生，有两种情况：第一阶段甲获胜，记为A1；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了n−1局，记为A则C=A1C+若第一阶段甲获胜，即赛满2n−1局