2024-2025学年重庆市名校联盟高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市名校联盟高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x∈N|x≤10}，a=2A.a∉A B.a⊆A C.{a}∈A D.{a}⊆A2.记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量OA=(1,−3)，OB=(2,−1)，OC=(m+1,m−2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m不可以是A.−2 B.12 C.1 D.4.已知cos(75°+α)=13，则sin(α−15°)+A.13 B.23 C.−15.已知函数f(x)=lnx−1x在点(1,−1)处的切线与曲线y=ax2+(a−1)x−2只有一个公共点，则实数A.{1,9} B.{0,1,9} C.{−1,−9} D.{0,−1,−9}6.数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有(    )种．A.C123C93C63A7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0=60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为(

)

(精确到A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.98.若△ABC的内角满足sinB+sinC=2sinA，则(

)A.A的最大值为π3 B.A的最大值为2π3 C.A的最小值为π3 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知(5x−3x)n的展开式中，二项式系数之和为A.2，n，10成等差数列 B.各项系数之和为64

C.展开式中二项式系数最大的项是第3项 D.展开式中第5项为常数项10.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，则下列说法正确的是(

)A.甲、乙两队全部队员的平均体重是68kg B.甲、乙两队全部队员的平均体重是65kg

C.甲、乙两队全部队员的方差是296 D.甲、乙两队全部队员的方差是30611.若函数f(x)=sinπxx2−x+1A.y=f(x)的最大值是43 B.|f(x)|≤5|x|恒成立

C.y=f(x)存在对称轴 D.y=f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数z=(3+i)(1−4i)，则复数z的实部与虚部之和是______．13.若函数f(x)=2x2−lnx在其定义域的一个区间(2k−1,2k+1)内不单调，则实数k14.已知平面向量OA，OB，OC满足|OA|=23，|OB|=4，〈OA，OB〉=5π6四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知各项均为正数的等差数列{an}的前三项和为12，等比数列{bn}的前三项和为7b1，且a1=b1，a2=b2．

(1)求数列16.(本小题15分)

已知f(x)=sin2(x+π8)+2sin(x+π4)⋅cos(x+π4)−12．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)17.(本小题15分)

随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为23，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止．

(1)求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；

(2)若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望．18.(本小题17分)

据报道，2024年11月底重庆市某区县将举行马拉松赛.比赛某补给站平面设计图如图所示，根据比赛需要，在设计时要求AB=AD=4，BC=6．

(1)若A=2π3，C=π3，求cos∠BDC的值；

(2)若CD=2，四边形ABCD面积为419.(本小题17分)

已知函数f(x)=2x2x−1+1+ax+b(x−1)3(其中a，b∈R)．

(1)当a>0，b=0，记f(x)的导函数为f′(x)，证明：f′(x)>0恒成立；

(2)指出y=f(x)的对称中心，并说明理由；

(3)已知a≠0，设函数g(x)=2参考答案1.A

2.A

3.C

4.D

5.B

6.B

7.B

8.A

9.ABD

10.AC

11.ABC

12.−4

13.[114.−12

4+15.解：(1)设等差数列的公差为d，d>0，等比数列的公比为q，

由各项均为正数的等差数列{an}的前三项和为12，

可得a1+a2+a3=3a1+3d=12，即a1+d=4，

由等比数列{bn}的前三项和为7b1，a1=b1，

可得b1+b2+b3=a1+a1q+a1q2=7a1，即为q2+q−6=0，

解得q=2或16.解：(1)f(x)=sin2(x+π8)+2sin(x+π4)cos(x+π4)−12，

=1−cos(2x+π4)2+22sin(2x+π2)−12，

−24cos2x+24sin2x+22cos2x，

=12sin(2x+π4)．

由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，

故f(x)的单调递增区间为17.解：(1)设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为Pi，

则P1=23，P2=13×23=29，

所以学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为P=23+29=89；

(2)设ξ表示一天内模拟考试的次数，则ξ=1，2，3，4，5，

由题意知：P(ξ=1)=23，P(ξ=2)=118.解：(1)在△ABD中，因为AB=AD=4，A=2π3，

则∠ADB=π6，BD=2ADcos∠ADB=2×4×cosπ6=43，

在△BCD中，由正弦定理得：BCsin∠BDC=BDsinC，

即sin∠BDC=BCsinCBD=6×sinπ343=34，

因为BC<BD，C=π3，所以0<∠BDC<π3，

所以cos∠BDC=1−sin2∠BDC=1−(34)219.解：(1)证明：易知函数f(x)的定义域为R，

当a>0，b=0时，f(x)=2x2x−1+1+ax，

可得f′(x)=2xln2(2x−1+1)2+a>0恒成立；

(2)y=f(x)的对称中心为(1,1+a)，理由如下：

因为f(2−x)+f(x)=22−x22−x−1+1+a(2−x)+b(2−x−1)3+2x2x−1+1+ax+b(x−1)3

=22x−1+1+2x2x−1+1+2a=2(1+a)，

所以y=f(x)的对称中心为(1,1+a)；

(3)因为g(x)=2x2x−1+ex−f(x)+b(x−1)3+(b−1)，函数定义域为R，

可得g′(x)=ex−a，

当a<0时