2024-2025学年江苏省苏州市常熟市高二上学期期中考试数学试题含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省常熟市高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x−y−3=0的倾斜角是(

)A.π3 B.2π3 C.π42.等比数列{an}中，a1=2，a2A.8 B.16 C.32 D.643.直线l:x−2y−2=0与圆C:(x−1)2+(y−2)A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断4.已知数列{an}满足a1=12A.−1 B.2 C.3 D.15.若直线x+(1+m)y−2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为(

)A.−2 B.−2或1 C.1 D.−6.等差数列{an}的前n项和为Sn，当S11为定值时，2aA.11 B.13 C.15 D.不能确定7.若点P在直线x+y+3=0上，M是圆x2+y2=1上的动点，N是圆(x−9)A.13 B.11 C.9 D.88.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，aA.300 B.29 C.210 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.数列{an}的前n项和为SnA.若an=−2n+11，则数列{an}的前5项和S5最大

B.若等比数列{an}是递减数列，则公比q满足0<q<1

C.已知等差数列{an}的前n项和为10.下列结论中正确的是(

)A.已知直线l过点P(2,3)，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y−5=0

B.已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x−2)2+(y−3)2=1，则圆O和圆C有4条公切线

C.若直线l:x−y+m=0上存在点P，过点P作圆O:x2+y2=4的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为[−4,4]

D.已知圆C:(x−611.如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C，D，使得AC=DB=14AB，以CD为边在线段AB的上方作一个正方形，然后擦掉CD，就得到图2;对图2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图3;依此类推，我们就得到以下的一系列图，设为图1，图2，图3，⋯，图n，⋯，各图中线段的长度和为an，数列{an}的前n项和为A.S5=898 B.数列{an}是等比数列

C.存在正实数m三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线l1:x+my−2=0和直线l2:(m−3)x+2y+4=0垂直，则实数m的值为13.已知直线m:2x+y−1=0与直线n平行，且两条直线之间的距离为5，则直线n的方程为

．14.大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N: N>100且该数列的前N项和为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知点A的坐标为(−4,4)，直线l的方程为3x+y−2=0．(1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标;(2)求直线l关于点A的对称直线l′的方程．16.(本小题15分)已知数列{an}和数列{bn}，Sn为数列{an(1)求数列{an}和数列(2)若数列{cn}满足cn=14b17.(本小题15分)已知圆C过两点P(3,2)，Q(5,4)，圆心在直线x−y+1=0上．(1)求圆C的方程;(2)若过点A(4,1)的直线l1与圆C交于点M，N两点，且|MN|=23，求直线(3)若圆D的半径为3，圆心在直线x−y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．18.(本小题17分)设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N∗，都有S2n=kSn(k为非零常数)，则称数列{an}为“和等比数列”，其中k为和公比.已知{b(1)求数列{bn(2)若不等式Tn−3n+422n−1>(−119.(本小题17分)已知圆O:x2(1)过点M作圆O的切线，求切线的方程;(2)已知A(2,4)，设P为满足方程PA2+PO2=34的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得PB2PN(3)过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，D(线段CD不经过圆心O)，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程．

参考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.A

9.ACD

10.BCD

11.AD

12.1

13.2x+y+4=0或2x+y−6=0

14.440

15.解：(1)设点A′的坐标为(x′,y′)．

因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，

而直线l的斜率是−3，所以kAA′=13．

又因为kAA′=y′−4x′+4,所以y′−4x′+4=13…①．

再因为直线l的方程为3x+y−2=0，AA′的中点坐标是(x′−42,y′+42)，

所以3⋅x′−42+y′+42−2=0…②．

由①和②，解得x′=2，y′=6.所以A′点的坐标为(2,6)．

(2)关于点A对称的两直线l与l′互相平行，于是可设l′的方程为3x+y+c=0．

在直线l上任取一点M(0,2)，其关于点A对称的点为M′(x′,y′)，于是M′点在l′上，且MM′的中点为点A，16.解：(1)已知Sn=2an−2①，

当n=1时，S1=2a1−2，得a1=2，

当n≥2时，Sn−1=2an−1−2②，

①−②得：an=2an−2an−1，即an=2an−1，

又a1=2≠0，an≠0，则anan−1=2(n≥2,n∈N∗)，

所以{an}是首项为17.解：(1)依题意，设圆心C(a,a+1)，半径为r，则|PC|=|QC|=r，

即(a−3)2+(a+1−2)2=(a−5)2+(a+1−4)2，解得a=3，

所以C(3,4)，r=|PC|=2，得圆C:(x−3)2+(y−4)2=4．

(2)设圆C到直线l1的距离为d，由|MN|=2r2−d2=23，得d=1，

若直线l1的斜率不存在，即直线为x=4，符合题意，

若直线l1的斜率存在，设y−1=k(x−4)，即kx−y−4k+1=0，

由圆心C到直线l1的距离为1，即|3k−4−4k+1|k2+1=1，得k=−43，

所以直线方程为18.解：(1)设等差数列{bn}的公差为d，前n项和为An，

则An=nb1+n(n−1)2d=d2n2+(1−d2)n，

所以A2n=2dn2+(2−d)n．

因为{bn}是“和等比数列”，

所以A2n=kAn，即2dn2+(2−d)n=kd2n2+(k−kd2)n，对任意的n∈N∗都成立，

所以2d=kd2,2−d=k−kd2,解得k=4,d=2,，

即{bn}的和公比为4．

(2)可知bn=1+2(n−1)=2n−1，则cn19.解：(1)当切线斜率不存在时，显然x=1与圆O:x2+y2=1相切，

当切线斜率存在时，设切线为y=k(x−1)+3，由圆心到切线的距离为1，

所以|3−k|1+k2=1，解得k=33，

则y=33(x−1)+3，整理得x−3y+2=0，

综上，切线的方程为x=1和x−3y+2=0