第五节景别造型功能和作用

集合相等：，记为交集：A，B中的公共元素，记为并集：属于A或者属于B，记为全集：所考察对象的全体，记为I补集：全集中除A外剩余的元素，记为2．绝对值定义：性质：1）2）若，则3）若，则3．区间开区间：闭区间：半开半闭区间：，半无穷区间：，无穷区间：集合为点，由得到把写成区间解：§2映射与函数反函数映射概念：函数概念：，则称为定义在集合D上的函数。记为其中D为定义域，B为值域，称为自变量，称为因变量。例4．设，求解：（直接代入即可）例5．若，求解：令于是定义域的求法①分母②被开方数③对数真数例6．求下列函数的定义域①②③函数的表示方法①解析法：②描述法：如是的2倍③图象法：用图形描述与的关系反函数：由得：是的反函数例6．求的反函数解：是的反函数练习：P42、8p910、13、14作业：P41、4p99、11对数函数：三角函数：反三角函数：二、复合函数即型例1．下列函数是怎样复合而成的？①②解：①②三、初等函数概念：基本初等函数经过加、减、乘、除和复合进行有限次运算所得到的函数称为初等函数。例如：§4函数的简单形态1．有界性若，2．单调性①增函数②减函数3．奇偶性①为奇函数②为偶函数以上两条不符合，为非奇非偶函数。例2判断下列函数的奇偶性①②③解：（略）4．周期性为周期，周期中最小的成为最小正周期。如：，为周期，为最小正周期。§5函数作图主要有描点法、叠加法等（略）。练习：P1224P1427、29作业：P1221、22P1426、28则称该数列的极限为。记作或此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释为：（）存在一个充分大的正整数N,使得时，都落在点的领域内。从定义可以看出，上例中1，2，5是收敛的。3，4是发散的。练：1.2.3.4.二、函数极限对于自变量变化有六种形式先来研究在一点处的极限定义：如果当无限接近于时，恒有，则称当自变量趋向于时，函数趋向于A。记作：左极限与右极限左极限：（从左边趋向）右极限：（从右边趋向）定理：例1.给定函数讨论时，的极限是否存在解：=-1=1显然所以不存在注：函数极限的存在与否与在这点处是否有定义无关练：1.设，判断在处是否存在极限2.设，判断在处的极限3.设，求4.设，讨论时，的左右极限，且是否存在？5.求第二节无穷小量与无穷大量一、无穷小量及其运算定义：若，函数，则称函数为时的无穷小。注：（1）强调一个过程中（2）极限值为0也可通俗地描述为：极限值为0的量为无穷小量。因此不能说一个函数是无穷小；除0以外的任意小的数也不是无穷小。无穷小是一个极限的过程。练：判断在过程中，以下哪些是无穷小。，0，0.0001性质：1、有限个无穷小量的和为无穷小量2、有限个无穷小量的积为无穷小量3、常数与无穷小量的积为无穷小量4、有界函数与无穷小量的积为无穷小量例：二、无穷大量定义：若函数的绝对值在的某种趋向下无限增大，则称为在的这种趋向下的无穷大量，简称为无穷大例：注：1、切不可把无穷大量理解为很大的一个数。它是描述函数的一种状态2、函数为无穷大,必定无界.但反之不真定理：在自变量的同一个过程中，若为无穷大，则为无穷小小结：1.了解数列极限与函数极限的关系2.重点掌握利用左右极限来判断在一点处函数极限的存在性思考题：若存在，是否有？练习P241、2、3、4、5、8、9、10作业：P246、7练习与讲解：求下列极限1．2.3.4.5.67.例3、求极限解：时，分子，分母（抓大头）（同时除以原式=一般有如下结论：练习与讲解：1、2、3、4、已知，求K值5、6、求值小结：1．极限的运算法则2．练习题：P3020、22、24、26作业题：P3019、21、23、25例3、求极限解：原式===例4、求极限解：原式=1练习与讲解：1、2、3、小结：第一重要极限的应用即：然后熟练应用此公式进行计算。练习：P3634、35、37、38作业：P3632、33、36、39例2、计算解：原式===例3、计算解：原式===例4、计算解：原式===同理：=练习与讲解:求下列极限的值1、2、3、4、例5、计算解：原式===由例3知：例6、计算解：原式==例7、计算解：原式==练习：P3646、48作业：P3640、45、47定义：设是自变量同一变化过程中的无穷小,若，则称是比的高阶无穷小。记作若，则称是比的低阶无穷小若，则称是比的同阶无穷小若，则称是比的等价无穷小、记作常用的无穷小量的替换当时，～，～，～，～，～例4、计算解：原式==因为当时，～，～例5、计算解：原式==练习题：7、8、9、讨论时，函数极限存在情况10、讨论时，函数极限存在情况11、讨论，时，函数极限存在情况12.13、14、15、16、证明：当时，与同阶无穷小小结：掌握第二重要极限的计算方法和无穷小量的应用替换作业：P3952-55==因为所以函数在处不连续若在某区间上每一点都连续,则称称它在该区间上连续，或称它为该区间上的连续函数.练：1、设讨论其在的连续性2、设函数为连续函数，求值3、设函数在处连续，求A值4、设讨论其在的连续性。定义2.设函数在的一个领域有定义，如果或即，则称函数在处连续。注：此定义用来证明连续性较多练：1、证明函数在其定义域内连续。可见，判断在处连续，必须具备下列条件：1.在处有定义，即存在2.存在3.=左连续与右连续若函数在处有=（=）则分别称函数在处是右连续（左连续）函数在处连续函数在处既左连续又右连续==二、连续函数的运算定理1.若函数和在处连续，则和、差、积在该点亦连续。又若，则商也在处连续。定理2.函数在处连续，函数在处连续，且，则复合函数在处连续。定理3.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增（初等函数的连续性）定理4.基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例2、求（解：原式=说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.练：1、设函数，已知处处连续，求2、设=，问为何值时，为连续函数3、根据连续性求三、闭区间上连续函数的性质1、（最值性）在闭区间上连续的函数，在该区间上一定有最大值和最小值。注意:若函数在开区间上连续,或在闭区间内有间断点，结论不一定成立。推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界2、（介值性）（零点定理）若在上连续，且，则至少存在一个，使。例3、证明方程在（0，1）内至少有一个实根证明：设显然在的闭区间连续根据零点定理得，至少存在一点，使。这也说明了所给方程在内至少有一个实根。四．函数间断点及其分类定义：函数在处不连续，则称是函数的间断点。分类：第一类间断点：和均存在，若=，则称为可去间断点若，则称为跳跃间断点第二类间断点：及至少有一个不存在，若其中有一个为，则称为无穷间断点例是可去间断点是无穷间断点练：1、设函数求（1）指出定义域（2）求的连续区间2、设（求（1）当为何值时，是连续点（2）当为何值时，是间断点（3）时，求函数的连续区间小结：1.函数在一点处连续性的判定2.零点定理的应用3、间断点的分类作业：P4760、61、64、70说明：这两个共性问题是：所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似的问题：加速度是速度增量与时间增量之比的极限角速度是转角增量与时间增量之比的极限线密度是质量增量与长度增量之比的极限等等，这些都是变化率问题。二、导数的定义和几何意义定义：设函数在的一个领域内有定义，（见上页图）若存在，则称此极限值为函数在处的导数。记作或，。即：=若极限不存在，则函数在处不可导。可知：引例1，在的瞬时速度为引例2，在点处的切线斜率为（也就是导数的几何意义）可以写出切线方程法线方程求函数在处的导数（）解：练：求函数在处的导数求函数在处的切线和法线方程解：例1中已经求得切线方程为法线方程为三、可导与连续的关系定理：在处可导在处连续注：反之不成立证：略左右导数：若函数在的一个左（右）领域内有定义，若极限存在，则称此极限值为在处的左（右）导数。定理：函数在处可导讨论函数在处的连续性和可导性解：连续性，所以在处连续可导性，所以处不可导。练：P554-6小结：1、导数的实质：增量比的极限2、可导的充要条件：（函数在处可导）3、导数的几何意义：切线的斜率4、可导与连续的关系5.、求导公式6、判断可导性：（1）不连续一定不可导（2）直接应用导数定义（3）看左右导数是否存在并相等。作业：P559、11解：==设，求解：=例2、求证：证：练：1、求下列函数的导函数（1）（2）（3）（4）2、已知，求3、设，求二、复合函数的微分法定理2.在处可导，在处可导复合函数在处可导，且（）证：略推广：关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.设，求解：（法一）设，（法二）设，求解：(法一)设（法二）练：求下列函数的导数1、2、3、4、5、例4、设，求解：=注：当有加、减、积、除和复合在一起时，要分清楚先后顺序，再按对应的法则进行运算。练：求下列函数的导数1、2、3、4、5、小结：求导公式和求导法则注：积的导数导数的积商的导数导数的商搞清楚复合函数的结构，由外向内求导作业：P6413、15、19、23、2634、36、39、40、45即设，求在处的微分解：（法一）定义法根据定义得（法二）定理法练：1、求在的微分2、求在的微分注：当时，记为，所以以后的微分都写成的形式。微分的几何意义：切线纵坐标的增量二、微分的运算法则设可微，则有（）设，求解：（法一）微分法（法二）可导法练：求下列函数的微分1、2、三、复合函数的微分定理：设均可微，则也可微，且或（一阶微分不变性）设，求解：设，求解：=练：求下列函数的微分1、2、3、4、四、微分在近似计算中的应用当很小时，即使用原则：1、好算2、与靠近例5、计算的近似值解：练：计算的近似值小结：1、微分的定义和几何意义2、可微与可导的关系3、微分运算法则（一阶微分不变性）作业.P7573、74、76、87二、对数求导法：研究对象：函数是由幂、指函数或连乘、连除或乘方、开方表示的表达式设，求解：两边同时取对数，得两边同时对求导（或微分）练：1、设求2、设，求三、高阶导数如果可以对再求导，得到一个新函数，称为函数的二阶导数。记作同理，可以定义三阶导数（）所以阶导数设求解：注：，有练：试求下列函数的N阶导数1、2、求由方程所确定的隐函数的导数解：（法一）方程两边同时对求导，得解得（法二）方程两边同时微分解得求由方程所确定的隐函数的导数解：方程两边同时对求导，得解得求由方程所确定的隐函数的导数解：（法一）方程两边同时对求导，得解得（法二）方程两边同时微分解得求由方程所确定的隐函数的导数解：方程两边同时对求导，得解得练：求下列隐函数的导数1、2、3、4、求由方程所确定在处的导数5、求由曲线在处的切线和法线方程6、已知方程求练：求下列隐函数的导数1、2、3、4、求由方程所确定在处的导数5、求由曲线在处的切线和法线方程6、已知方程求四、由参数方程所确定的函数微分法参数方程的一般形式为这个方程确定了是的函数所以有小结：隐函数的求导法则对数求导法的应用高阶导数的求法作业：p7992、95、98、103求的单调区间解：定义域为R令，解得无导数不存在的点划分区间（-1，3）单调增区间有单调减区间有（-1，3）注：1）单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点2）如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例练：求下列函数的单调区间1、2、也可利用导数来证明不等式。例如：证明有不等式提示：设（证单调递增）二、函数的极值及其求法：1.定义：设函数在的一个领域内有定义，若当时，有（1），则称为的极大值，为的极大值点。（2），则称为的极小值，为的极小值点。极大值点和极小值点统称为极值点例如：例1中，极大值，极小值注：1)函数的极值是函数的局部性质.2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.定理1、设函数在的一个空心领域内连续且可导，有（1）“左正右负”，为极大值（2）“左负右正”，为极小值注：就是判断分界点两边的单调性练：求下列函数极值1、

2、定理2、设函数在处的二阶导数存在，若，则为极小值若，则为极大值例如:例1也可以先求二阶导数，所以有结论小结：1、函数单调区间的判定2、函数极值的求法练习：求下列函数极值1、2、3、作业：P911、2特别：当在【a,b】只有一个极值可疑点时，若在此点取极大（极小）值,则也是最大（最小）值.当在【a,b】上单调时，最值必在端点处到达对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.例1、求函数在【-3，4】上的最大值和最小值解：令解得所以最大值为142，最小值为7求函数在上的最值解：令，解得有唯一的可疑极值点是极小值点是最小值，无最大值练：P9361，63例3、铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20km,AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货物从B运到工厂C的运费最省,问D点应如何取?解：设AD=x(公里)令所以设在距A15公里处，最省练：有一边长为48CM的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形边长多大时，所得容器的容积最大？最大容积多少？小结：1、连续函数的最值（1）最值点应在极值点和边界点上找;（2）应用题可根据问题的实际意义判别.作业：P911-4=例2、求解：原式=（=（=练：求下列函数极限1、2、3、4、5、6、小结：注意洛必达法则的应用条件作业：P9816、17、19、23、27例2、求极限解：原式=（）=（）=练：求下列极限1、2、3、二、型极限的求法方法：通分（目地就是为了化为）例3、求极限解：原式=（）=（）=练：求下列极限1、2、3、求下列函数的极限1、2、3、4、5、6、7、8、9、小结：型极限的求法作业：P9818、20、22、26判断的凹凸性解：当时，所以是凹的练：讨论的凹凸区间和拐点注：凹凸性与一阶导数无关，与二阶导数有关渐近线：垂直渐近线：若，则称直线为的垂直渐近线水平渐近线：若，则称直线为的水平渐近线例：为垂直渐近线为水平渐近线练习：求极限1、2、3、4、求极值1、2、3、小结：1、掌握曲线的凹凸性的判定注：拐点与一阶导数无关2、了解垂直和水平渐近线作业：P10231,32问题：在什么条件下，原函数存在？定理：若函数在区间I上连续，则在区间I上存在原函数。我们现在研究的都是初等函数，所以都存在原函数一般地，F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)的所有原函数都在F(x)+C内（C为任意常数）例，的一个原函数为二、不定积分1、定义：设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C称为f(x)的不定积分。记作为积分号f(x)为被积函数为积分变量C积分常数注：求不定积分问题就是求原函数问题2、几何意义：f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线的图形为——f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族.例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解：因为所以又因为过（1，2）点，所以所以曲线的方程为3、不定积分性质(1)（2）（3）（4）4、基本积分表（略）注：幂函数先化为次方的形式，但例外求解：原式===练：求下列积分1、2、3、4、5、例2、求解：原式===例3、求解：原式===练：求下列积分1、2、3、4、5、6.小结：1.不定积分的概念（1）原函数与不定积分的定义（2）不定积分的性质（3）基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,积分性质及基本积分公式进行积分。常用恒等变形方法（1）分项积分（2）加项减项（3）利用三角公式,代数公式等。作业：P1121、4、10、11例1、求解：原式==注：是一个复合函数，例2、求解：原式==注：是一个复合函数，练：求下列积分1、2、3、4、5、6、7、8、9、总结：（1）注：有复合函数，要找到那个中间变量求解：原式===例3、求解：原式===注：练：求下列积分1、2、3、4、5、6、总结：（2）例4、求解：原式===注：练：求下列积分1、2、3、总结：（3）例5、求解：原式==注：补充公式：小结：掌握三个类型的凑微分法作业：P12013、17、23、30解：原式===例2、求解：原式===例3、求解：原式===注：对于有理分式积分问题，要因题而异，注意观察其特点。总结有以下方法（1）拼凑法。如例1（2）因式分解法。如例3（3）配方法。如例2（4）综合法。练：求积分凑微分的公式：例4、求解:原式==总结：（4）练：求下列积分1、2、3、例5、求解：原式==总结：（5）练：求下列积分1、2、3、练：求下列积分1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、补充练习：求下列积分1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、,则13、14、15、16、小结：掌握凑微分法的积分原理以及各个类型的积分是如何凑出来的。作业：P12031、34、37、41练：求下列积分1、2、三角换元例2、求解：设==原式=注：利用三角形找关系练;求下列积分1、2、例3、求解：原式===根据结论可得原式=练：求下列积分1、2、3、4、小结：掌握第二换元积分法作业：P12470、72解：原式==例2、求解：原式==练：求例3、求解：设原式==练：求下列积分1、2、3、4、例4、求解：设原式==原式=注：当有根号时，先用第二换元把根号去掉。练：求下列积分1、2、小结：分部积分公式使用原则：容易求得，易积分使用经验:“反对幂指三”,前u后补充作业：求下列积分1、2、3、4、习题：若的一个原函数为则若曲线在点处的切线斜率为，且过点（2，5），则该曲线方程为求设，则设是连续函数，且，则下列各式正确的是ABCD6、求7、求8、求9、设为连续函数，则10、则11、（）12、求13、若则=14、求15、求16、求17、求18、若19.若则=20、则21、若是的一个原函数，则22、求下列积分（1）（2）（3）（4）此类问题的共性：解决问题的方法步骤相同：“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限定积分的概念1、定义：设函数在【a,b】上有定义，若对【a,b】上任意一种分法，任取，若存在，则称此极限I为函数在【a,b】上的定积分，记作此时称f(x)在[a,b]上可积.注：定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即==2、几何意义：=A表示曲边梯形的面积=-A曲边梯形的面积的负值有正有负时，等于代数和3、可积的充分条件：函数在【a,b】上连续函数在【a,b】上可积函数在【a,b】上有界，且只有有限个间断点函数在【a,b】上可积定积分的性质1、=-2、3、=4、5、=+6、如果有则有7、如果在[a,b]上有那么8、如果函数在【a,b】上连续，，使=例1、比较下列各对积分值的大小1、与大于2、与大于注：比较积分值大小时，需要注意:1、积分区间是否相同2、被积函数是否相同小结：定积分定义—乘积和式的极限定积分的性质作业P14933、34、37、41例2、求极限解：原式==练：1、求2、求3、设在内连续，且，证明：在内单调增加二、牛顿–莱布尼茨公式定理：设是连续函数在【a,b】上的一个原函数，那么=计算下列函数的定积分1、解：原式==2、解：原式==练：求下列定积分1、2、3、设求4、5、6、小结：1、微积分基本公式（N-L）2、变限积分求导公式作业：P1409-13解：原式====求定积分解：原式===注：在定积分的计算中，也不一定要换元，也可以用求原函数的方法来解例3、求定积分解：设，x=5,t=2:x=1,t=0原式=练：求下列定积分1、2、二、定积分的分部积分法不定积分的分部积分公式为定积分的分部积分公式为例4、求定积分解：原式===练：求下列定积分1、2、3、补充练习：设，则的大小关系利用定积分的几何意义可知=设可导，则=======下列式子中正确的是（）ABCD11、设，则12、13、14、15、16、17、18、19、20、设的一个原函数是求小结：掌握定积分的换元积分法和分部积分法的应用基本积分方法换元必换限，配元不换限，边积边代限作业：P14417-28若是的一个原函数，引入记号==计算反常积分解：原式==练：计算下列反常积分1、2、3、证明反常积分，当p>1时，收敛;p时，发散二、无界函数的反常积分定义：设函数在(a,b】上连续,且取，如果有极