2024八年级数学上册第七章平行线的证明专题十五利用平行线的性质求角度的常见帮手习题课件新版北师大版

北师版八年级上第七章平行线的证明专题十五利用平行线的性质求角度的常见帮手帮手1对顶角与邻补角1.

如图，直线

l1∥

l2，直线

l1，

l2被直线

l3所截，

AD

平分∠

CAB

，若∠1＝110°，则∠2的度数为(

B

)A.35°B.55°C.70°D.110°(第1题)B123456789101112132.

如图所示，

AB

∥

CD

，若∠1＝146°，则∠2的度数

是

⁠.(第2题)34°

12345678910111213帮手2垂直(余角)3.

[2024无锡一模]如图，已知

a

∥

b

，点

A

在直线

a

上，点

B

，

C

在直线

b

上，∠

BAC

＝90°，∠1＝30°，则∠2的

度数是(

C

)A.30°B.45°C.60°D.75°(第3题)C123456789101112134.

如图，

AB

∥

CD

，

FE

⊥

DB

，垂足为

E

，

GH

⊥

AB

，

垂足为

H

，若∠1＝45°，则∠3的度数是(

C

)A.30°B.35°C.45°D.40°(第4题)C123456789101112135.

[2024广安期末]如图，直线

m

∥

n

，且分别与直线

l

交于

A

，

B

两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置

摆放，若∠2＝98°，则∠1＝(

C

)A.58°B.56°C.52°D.62°C123456789101112136.

[情境题·生活应用]如图是一种躺椅的简化结构示意图，扶

手

AB

与底座

CD

都平行于地面，靠背

DM

与支架

OE

平

行，前支架

OE

与后支架

OF

分别与

CD

交于点

G

和点

D

，

AB

与

DM

交于点

N

，当∠

EOF

＝90°，∠

ODC

＝

30°时，人躺着最舒服，求此时扶手

AB

与支架

OE

的夹

角∠

AOE

和扶手

AB

与靠背

DM

的夹角∠

ANM

的度数.12345678910111213【解】∵扶手

AB

与底座

CD

都平行于地面，∴

AB

∥

CD

，∴∠

BOD

＝∠

ODC

＝30°.又∵∠

EOF

＝90°，∴∠

AOE

＝60°.∵

DM

∥

OE

，∴∠

AND

＝∠

AOE

＝60°，∴∠

ANM

＝180°－∠

AND

＝120°.12345678910111213帮手3角平分线7.

[2024广州番禺区校级二模]将一个长方形纸片按如图所示

的方式折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是

⁠.(第7题)70°

123456789101112138.

[新考法·分类讨论法]如图，已知

AB

∥

CD

，∠

ACD

＝

110°，∠

BAC

的平分线交

CD

于点

E

，在直线

AB

上取点

F

，使∠

ACF

＝∠

AEC

，则∠

AFC

的度数是

⁠

⁠.35°或

75°

(第8题)12345678910111213【点拨】∵

AB

∥

CD

，∴∠

BAE

＝∠

AEC

.

∵

AE

平分∠

BAC

，∴∠

BAE

＝∠

CAE

，∴∠

AEC

＝∠

CAE

.

在△

ACE

中，∠

ACE

＝110°，

∴∠

AEC

＝∠

CAE

＝∠

BAE

＝35°.下面分两种情况讨论：12345678910111213如图①，当点

F

位于点

A

的右侧时，∵∠

ACF

＝∠

AEC

＝35°，∴∠

AFC

＝180°－∠

BAE

－∠

CAE

－∠

ACF

＝180°

－35°－35°－35°＝75°.如图②，当点

F

位于点

A

的左侧时，∵∠

ACF

＝∠

AEC

＝35°，∴∠

AFC

＝∠

BAC

－∠

ACF

＝∠

BAE

＋∠

CAE

－∠

ACF

＝35°＋35°－35°＝35°.综上，∠

AFC

的度数是35°或75°.123456789101112139.

[2024杭州期末]如图，∠

MON

＝50°，

OE

平分∠

MON

，点

A

，

B

，

C

分别是射线

OM

，

OE

，

ON

上的动

点(点

A

，

B

，

C

不与点

O

重合)，且

AB

∥

ON

，连接

AC

交射线

OE

于点

D

.

(1)求∠

ABO

的度数；

12345678910111213(2)当△

ADB

中有两个相等的角时，求∠

OAC

的度数.【解】当∠

BAD

＝∠

ABD

＝25°时，∵∠

AOB

＝25°，∠

ABO

＝25°，∴∠

OAC

＝180°－∠

AOB

－∠

ABO

－∠

BAD

＝180°－25°－

25°－25°＝105°；12345678910111213

12345678910111213帮手4三角形的外角10.

一张小马扎的结构如图所示，凳面

AB

与地面

CD

互相平

行，一位同学量得∠3＝86°，他还发现∠1＝∠2，则∠

ADC

的度数是

⁠.(第10题)43°

1234567891011121311.

如图，在△

ABC

中，

EF

∥

BC

，∠

ACG

是△

ABC

的外

角，∠

BAC

的平分线交

BC

于点

D

，若∠1＝150°，∠2

＝110°，则∠3＝

⁠.70°

(第11题)12345678910111213【点拨】∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAC

＝2∠

DAC

.

∵∠1＝∠2＋∠

DAC

，∠1＝150°，∠2＝110°，∴∠

DAC

＝40°，∴∠

BAC

＝80°.∵∠1＝∠

BAC

＋

∠

B

，∴∠

B

＝70°.∵

EF

∥

BC

，∴∠3＝∠

B

＝70°.1234567891011121312.

如图，点

E

是△

ABC

的内角与外角的平分线的交点，点

F

是

CB

延长线上一点，

AF

∥

EC

，∠

ABF

＝80°，∠

FAB

＝∠

EAC

＋10°，则∠

F

＝

⁠.70°

12345678910111213【点拨】

12345678910111213∵∠

FAB

＝∠

EAC

＋10°，∴设∠

EAC

＝

x

°，则

∠

FAB

＝

x

°＋10°，∠1＝∠2＝

x

°.∵∠

ABF

＝80°，

∴∠

F

＝180°－∠

ABF

－∠

FAB

＝180°－80°－(

x

°＋10°)＝(90－

x

)°.∵∠

GCB

＝∠

F

＋∠

FAC

，∠

F

＝∠4＝∠3，∴∠

F

＋∠

F

＝∠

F

＋

x

°＋10°＋

x

°＋

x

°，∴∠

F

＝(3

x

＋10)°，∴90－

x

＝3

x

＋10，解得

x

＝20，∴3

x

＋10＝70，∴∠

F

＝70°.1234567891011121313.

[2024烟台福山区期末]如图，

AB

∥

CD

，∠

ABE

＝

120°.(1)如图①，写出∠

BED

与∠

D

的数量关系，并证明你的结论；【解】结论：∠

BED

＋∠

D

＝120°.证明：延长

AB

交