2024八年级数学上册第一章勾股定理专题二利用勾股定理解决最短路径问题习题课件新版北师大版

北师版八年级上第一章勾股定理专题二利用勾股定理解决最短路径问题一、依据“两点之间线段最短”求最小距离【高分秘籍】遇到不在同一直线上的两条变化的线段，且欲

求它们的和的最小值时，常需要将其转化到同一直线上，利

用“两点之间线段最短”来确定线段，并构建直角三角形，

运用勾股定理来解答.123456781.

如图，一探险者在某海岛探宝，登陆后，从

A

点出发，先往东走了8千米，又往北走了2千米，又向西走了3千米，再又向北走了6千米，往东一拐，仅走了1千米就在

B

点处找到了宝藏，试问：他走的是最近的路吗？如果是，请求出这个路线长；如果不是，请在图上画出最近的路线，并

求出最近的路线长.【解】他走的不是最近的路.最近的路线如图所示.过点

B

作

BC

⊥

AD

，易知

AC

＝6千米，

BC

＝8千米.由勾股定理得：

AB2＝62＋82＝100，所以

AB

＝10千米.所以最近的路线长为10千米.123456782.

[新考法对称找点法]如图，直线

l

是一条河，

A

，

B

两地

到

l

的距离

AC

和

BD

分别为5

km，7

km，且

CD

＝5

km，

欲在

l

上的某点

M

处修建一个水泵站，向

A

，

B

两地供

水，求铺设最短的管道长.12345678【解】如图，作点

A

关于直线

l

的对称点

E

，连接

BE

，

交

l

于点

M

，连接

AM

，

MA

＋

MB

的值即为所求最短管

道长.12345678因为

MA

＝

ME

，所以

MA

＋

MB

＝

ME

＋

MB

＝

BE

，则

线段

BE

的长度即为所求，过

E

作

EF

∥

CD

，交

BD

的延

长线于

F

，由题易知，

EF

＝

CD

＝5

km，

BF

＝

BD

＋

DF

＝

BD

＋

AC

＝7＋5＝12(km)，所以

BE2＝

EF2＋

BF2

＝52＋122＝169，所以

BE

＝13

km.故铺设最短的管道长

是13

km.12345678二、依据“垂线段最短”来求最小距离【高分秘籍】遇到“点到直线的最短距离”问题时，常要利

用“垂线段最短”来确定最短的路径，并构建直角三角形，

运用勾股定理来解答.123456783.

如图，小明在某泳池沿泳道

l

练习游泳，点

A

处有一个攀

梯.游了一段时间后，小明到达

B

处.已知

BD

＝14米，

AD

＝13米，

AB

＝15米，求攀梯

A

到泳道

l

的最近距离.12345678【解】过点

A

作

BD

的垂线，垂足为

C

，则

AC

的长是攀

梯

A

到泳道

l

的最近距离.设

BC

＝

x

米，则

CD

＝(14－

x

)

米，根据题意，可得

AB2－

BC2＝

AD2－

CD2，所以152－

x2＝132－(14－

x

)2，解得

x

＝9.所以

AC2＝

AB2－

BC2＝152－92＝144.所以

AC

＝12米.答：攀梯

A

到泳道

l

的最近距离为12米.123456784.

[情境题·生活应用2024西安第三中学期末]如图，某小区有

两个喷泉

A

，

B

，两个喷泉的距离为125

m.现要为喷泉铺

设供水管道

AM

，

BM

，供水点

M

在小路

AC

上，供水点

M

到

AB

的距离

MN

的长为60

m，

BM

的长为75

m.(1)求供水点

M

到喷泉

A

，

B

需要铺设的管道总长；12345678【解】在Rt△

MNB

中，

BN2＝

BM2－

MN2＝752－602＝2

025，所以

BN

＝45

m.所以

AN

＝

AB

－

BN

＝125－45＝80(m).在Rt△

AMN

中，

AM2＝

AN2＋

MN2＝802＋602＝10

000，所以

AM

＝100

m.所以供水点

M

到喷

泉

A

，

B

需要铺设的管道总长为100＋75＝175(m).12345678(2)求喷泉

B

到小路

AC

的最短距离.【解】因为

AB

＝125

m，

AM

＝100

m，

BM＝75

m，所以

AB2＝

BM2＋

AM2，所以△

ABM

是直角三角形，所以

BM

⊥

AC

，所以喷泉

B

到小路

AC

的最短距离是

BM

＝75

m.12345678三、将立体图形转化为平面图形求最短距离【高分秘籍】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形

转化为平面图形，在平面图形中构建直角三角形，运用勾股

定理来解答.123456785.

[2024龙岩月考]如图，有一圆柱形油罐，要从

A

点环绕油

罐侧面搭梯子，正好到

A

点正上方的

B

点.梯子最短需要

多少米？(已知油罐底面的周长是12

m，高

AB

是5

m)12345678【解】油罐的侧面展开图如图所示.因为AA'＝12

m，A'B'＝

AB

＝5

m，所以AB'2＝AA'2＋A'B'2＝122＋52＝169.所以AB'＝13

m.答：梯子最短需要13

m.123456786.

如图，圆柱形容器的高为120

cm，底面周长为100

cm，在

容器内壁离容器底部40

cm的点

B

处有一蚊子，此时一只

壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40

cm与蚊子相对的点

A

处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离.12345678【解】如图，将容器侧面的一半展开，作

A

关于

EC

的对

称点A'，连接A'B交

EC

于

F

，连接

AF

，易知

AF

＝A'F，所以

AF

＋

FB

＝A'F＋

FB

＝A'B，易知A'B的长即为最短距离.过点A'作A'D⊥

BC

交

BC

延长线于

D

，由题易得，A'D＝50

cm，

BD

＝120

cm，在Rt△A'DB中，A'B2＝A'D2＋

BD2＝502＋1202＝16

900，

所以A'B＝130

cm.故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130

cm.123456787.

[母题教材P15习题T4

2024广州月考]一只蚂蚁沿图①中立

方体的表面从顶点

A

爬到顶点

B

，图②是图①立方体的表

面展开图，设立方体的棱长为1.(1)在图②中标出点

B

的位置.【解】如图所示.(答案不唯一)12345678(2)若蚂蚁从点

A

到点

B

爬行的最短路径长为

m

，求

m2.【解】如图，连接

AB

，因为立方体的棱长为1，所以

AC

＝2，

BC

＝1，所以

m2＝

AB2＝12＋22＝5.123456788.

[新考法展开法]

如图，在一个长为2米，宽为1米的长方

形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地宽

AD

平行且长度大于

AD

长，木块从正面看是边长为0.2米

的正方形，求蚂蚁从点

A

处开始，到达

C

处时走的最短路