2024八年级数学上册阶段拔尖专训10平行线间的拐点问题习题课件新版北师大版

北师版八年级上阶段拔尖专训10平行线间的拐点问题

构造截线1.

如图，

AB

∥

CD

，

BF

，

DF

分别平分∠

ABE

和∠

CDE

，

BF

∥

DE

，∠

F

与∠

ABE

互补，求∠

F

的度数.

123456

【解】延长

FB

交

CD

于点

G

，如图.∵

BF

，

DF

分别平分∠

ABE

和∠

CDE

，∴∠

FBA

＝∠

FBE

，∠1＝∠2.∵

AB

∥

CD

，∴∠

FBA

＝∠3.123456∵

BF

∥

DE

，∠

F

与∠

ABE

互补，∴∠3＝∠

EDC

＝2∠2，∠

F

＝∠1，∠

F

＋∠

ABE

＝

180°.设∠

F

＝

x

°，则∠1＝∠2＝

x

°，∴∠3＝2

x

°，∴∠

ABE

＝4

x

°，∴

x

＋4

x

＝180，解得

x

＝36，即∠

F

的度数为36°.123456

构造三角形2.

[新趋势·跨学科2024芜湖期末]如图所示是汽车灯的剖面

图，从位于

O

点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线

BA

，

CD

都是水平线，若∠

ABO

＝α，∠

DCO

＝60°，

则∠

BOC

的度数为(

C

)A.180°－αB.120°－αC.60°＋αD.60°－α(第2题)

C1234563.

如图，在五边形

ABCDE

中，

AB

∥

CD

，∠1，∠2，∠3

分别是∠

BAE

，∠

AED

，∠

EDC

的外角，则∠1＋∠2＋

∠3等于(

B

)A.90°B.180°C.210°D.270°(第3题)B1234564.

如图，

AB

∥

CD

，点

P

为平面内一点.当点

P

在点

B

右上

方时，∠

ABP

，∠

CDP

，∠

BPD

之间存在怎样的数量关

系？请证明.123456

【解】∠

ABP

＝∠

BPD

＋∠

CDP

.

证明：如图，延长

AB

交

PD

于点

H

，则∠

ABP

是△

PBH

的一个外角.∴∠

ABP

＝∠

BPD

＋∠

BHP

.

∵

AH

∥

CD

，∴∠

CDP

＝∠

BHP

.

∴∠

ABP

＝∠

BPD

＋∠

CDP

.

123456

构造平行线5.

(1)问题背景：如图①，已知

AB

∥

CD

，线段

AD

与

BC

相

交于点

E

，点

B

在点

A

右侧.若∠

ABC

＝41°，∠

ADC

＝78°，求∠

AEC

；

123456【解】过点

E

作

EP

∥

AB

，如图①，∴∠

ABC

＝∠

PEC

＝41°.∵

AB

∥

CD

(已知)，∴

PE

∥

CD

，∴∠

AEP

＝∠

ADC

＝78°，∴∠

AEC

＝∠

AEP

＋∠

PEC

＝78°＋41°＝119°.123456(2)类比探究：如图②，若∠

ABC

与∠

ADC

的平分线相交

于点

F

，探究∠

BFD

与∠

AEC

之间的数量关系.123456

【解】由(1)知∠

AEC

＝∠

ABC

＋∠

ADC

.

∵

BF

，

DF

分别是∠

ABC

与∠

ADC

的平分线，∴∠

ABC

＝2∠

ABF

，∠

ADC

＝2∠

FDC

，∴∠

AEC

＝2(∠

ABF

＋∠

FDC

).过点

F

作

FP

∥

AB

，如图②，则∠

ABF

＝∠

BFP

.

∵

AB

∥

CD

，∴

FP

∥

CD

，∴∠

PFD

＝∠

FDC

，∴∠

BFD

＝∠

BFP

＋∠

PFD

＝∠

ABF

＋∠

FDC

，∴∠

AEC

＝2∠

BFD

.

1234566.

[2024遂宁期末]已知：

AB

∥

CD

.

(1)如图①，试探究∠

B

，∠

BED

，∠

D

之间的数量关

系，并说明理由；123456【解】∠

BED

＝∠

B

＋∠

D

.

理由：如图①，过点

E

作

EM

∥

AB

.

∵

AB

∥

CD

，∴

EM

∥

CD

∥

AB

，∴∠

B

＝∠

BEM

，∠

MED

＝∠

D

.

∵∠

BED

＝∠

BEM

＋∠

MED

，∴∠

BED

＝∠

B

＋∠

D

.

123456(2)利用上述结论，回答问题.①如图②，试探究∠

E

，∠

G

，∠

B

，∠

F

，∠

D

之

间的数量关系，并说明理由；123456【解】∠

BEF

＋∠

FGD

＝∠

B

＋∠

EFG

＋∠

D

.

理由如下：如图②，过点

E

作

EM

∥

AB

，过点

F

作

FN

∥

AB

，过点

G

作

GH

∥

AB

.

∵

AB

∥

CD

，∴

AB

∥

CD

∥

EM

∥

FN

∥

GH

，∴∠

B

＝∠

BEM

，∠

MEF

＝∠

EFN

，∠

NFG

＝∠

FGH

，∠

HGD

＝∠

D

，∴∠

BEM

＋∠

MEF

＋∠

FGH

＋∠

HGD

＝∠

B

＋∠

EFN

＋∠

NFG

＋∠

D

，即∠

BEF

＋∠

FGD

＝∠

B

＋∠

EFG

＋∠

D

.

123456②如图③，请直接写出∠

B

，∠

D

，∠

E1，∠E2，…，∠

En

，∠

F1，∠

F2，…，∠

Fn＋1之间的数量关系.【解】∠

B

＋∠

BF1

E1＋∠

F2＋…＋∠

Fn

＋∠

EnFn＋1

D

＋∠

D

＝∠

E1＋∠

E2＋…＋∠

En

＋360°.123456【点拨】如图③，过点

F1作

F1

N

∥

AB

，过点

Fn＋1作

Fn＋1

R

∥

CD

.

∵

AB

∥

CD

，∴

NF1∥

RFn＋1.∴∠

B

＋∠

BF1

N

＝∠

D

＋∠

DFn＋1

R

＝180°，由①得∠

NF1

E1

＋∠

F2＋…＋∠

Fn

＋∠

EnFn＋1

R

＝∠

E1＋

E2＋…＋

∠

En

，∴∠

B

＋∠

BF1

N

＋∠

NF1

E1＋∠

F2＋…＋∠

Fn

＋∠

EnFn＋1

R