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文档简介
期末提分练案复习1勾股定理3常考题型专练
勾股定理判定直角的五种常用方法方法1利用三边的数量关系判定垂直1.
如图，在正方形
ABCD
中，
E
是
BC
的中点，
F
在
AB
上，且
AF
∶
FB
＝3∶1.(1)请你判断
EF
与
DE
的位置关系，
并说明理由；23451
23451(2)若此正方形的面积为16，则
DF
的长为
.5
1.
如图，在正方形
ABCD
中，
E
是
BC
的中点，
F
在
AB
上，且
AF
∶
FB
＝3∶1.23451方法2利用转化为三角形法构造直角三角形2.
如图，△
ABC
的顶点都在边长为1的正方形网格的格
点上.(1)∠
ABC
＋∠
ACB
＝
；45°
23451(2)利用正方形网格，证明(1)中的结论.证明：如图，延长
BA
到格点
D
，连接
CD
，则
AD2＝12＋22＝5，
CD2＝12＋22＝5，
AC2＝12＋32＝10，所以
AD
＝
CD
，2.
如图，△
ABC
的顶点都在边长为1的正方形网格的格
点上.AD2＋
CD2＝
AC2.所以∠
ADC
＝90°.又因为
AD
＝
CD
，所以∠
DAC
＝∠
DCA
＝45°.所以∠
ABC
＋∠
ACB
＝∠
DAC
＝45°.23451方法3利用倍长中线法构造直角三角形3.
如图，在△
ABC
中，
D
为
BC
的中点，
AB
＝5，
AD
＝
6，
AC
＝13.求证：
AB
⊥
AD
.
23451证明：如图，延长
AD
至点
E
，使
DE
＝
AD
，连接
BE
.
因为
D
为
BC
的中点，所以
CD
＝
BD
.
又因为
AD
＝
ED
，∠
ADC
＝∠
EDB
，所以△
ADC
≌△
EDB
(SAS).所以
BE
＝
CA
＝13.在△
ABE
中，
AE
＝2
AD
＝12，
AB
＝5，所以
AE2＋
AB2＝122＋52＝169.又因为
BE2＝132＝169，所以
AE2＋
AB2＝
BE2.所以△
ABE
是直角三角形，且∠
BAE
＝90°，即
AB
⊥
AD
.
23451
23451解：将△
ABP
绕
A
点逆时针旋转90°得到△
ACQ
，连接
PQ
，则
AQ
＝
AP
＝1，
CQ
＝
PB
＝3，∠
QAP
＝90°，所以
PQ2＝
AQ2＋
AP2＝2，且∠
QPA
＝45°.在△
CPQ
中，
PC2＋
PQ2＝7＋2＝9＝
CQ2，所以∠
QPC
＝90°.所以∠
CPA
＝∠
QPA
＋∠
QPC
＝135°.23451方法5利用“三线合一”法构造直角三角形5.
如图，在△
ABC
中，
CA
＝
CB
，∠
ACB
＝90°，
D
为
AB
的中点，
M
，
N
分别为
AC
，
BC
上的点，且
DM
⊥
DN
.
求证：
AB2＝2(
CM
＋
CN
)2.23451证明：如图，连接
CD
，过点
D
作
DE
⊥
BC
于点
E
，则∠
DEC
＝∠
DEB
＝90°.因为
DM
⊥
DN
，所以∠
MDC
＋∠
CDN
＝90°.因为∠
ACB
＝90°，
AC
＝
BC
，
D
为
AB
的中点，所以
CD
⊥
AB
，∠
ACD
＝∠
BCD
＝45°，∠
A
＝∠
B
＝45°.所以∠
CDN
＋∠
NDB
＝90°.所以∠
MDC
＝∠
NDB
.
23451因为∠
BCD
＝∠
B
＝45°，∠
DEC
＝∠
DEB
，
DE
＝
DE
，所以△
DBE
≌△
DCE
.
所以
CD
＝
BD
.
所以△
CMD
≌△
BND
(ASA).所以
CM
＝
BN
.
所以
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