7.5.2三角形的内角和定理（2）（共21）八年级数学上册同步课堂（北师版）

7.5.2三角形的内角和定理（2）数学（北师大版）八年级

上册第七章平行线的证明学习目标1.会识别三角形的外角，并能运用三角形内角和定理及其两个推论进行简单的计算和证明.

2.通过小组合作的方式，探索、证明与三角形外角有关的定理，体会一题多解的思维多样性和转化思想，提高总结概括和逻辑推理的能力.

导入新课1、回顾三角形内角和定理.2、三角形的边、角关系有哪些？三角形边的关系角的关系任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边三角形三个内角的和等于180°

导入新课在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？想一想讲授新课三角形的外角的概念一观察：∠1的两条边与△ABC的两条边有什么关系？CBAD1观察：∠1的顶点与△ABC的顶点有什么关系？①顶点是三角形的顶点；②一条边是三角形内角的一边；③另一条边是该内角另一条边的反向延长线.讲授新课CBAD1△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.∠1

是△ABC的一个外角讲授新课问题1延长AC到E，∠2是△ABC的一个外角吗？

∠3是△ABC的一个外角吗？E在三角形每个顶点处都有两个外角.对顶角，∠1=∠2；CBAD∠2是△ABC的一个外角，∠3不是△ABC的一个外角.问题2三角形每个顶点处有几个外角？它们有怎样的关系？12321讲授新课三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.∠ACD是△ABC的一个外角CBAD

每一个三角形都有6个外角．总结归纳讲授新课FABCDE如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪两个三角形的外角？练一练讲授新课三角形的外角的性质二ACBD∠1=∠A+∠B你能证明此结论吗？观察：∠1与△ABC的三个内角之间有什么关系？∠1与∠2互补12

∠1+∠2=180°(平角的定义).∠1＞∠A

，

∠1＞∠B讲授新课已知：△ABC.求证：∠ACD=∠A+∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性质），∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义）∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性质）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.讲授新课定理：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

ABC符号语言：归纳三角形内角和定理有关外角的两个推论：∵∠1

是△ABC的外角∴∠1=∠B+∠C符号语言：∵∠1

是△ABC的外角∴∠1＞∠B，

∠1＞∠C1定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

讲授新课

在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.

像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.讲授新课例

如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.

求证:AD∥BC.ACDBE例题运用了定理“内错角相等,两直线平行”证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C(已知),231∴∠C=∠EAC(等式的性质).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).∴∠DAC=∠C(等量代换).∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).讲授新课例

如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B=∠C.求证:∠BPC＞∠A.证明:如图，延长BP，交AC于点D.∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角定义),∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∴∠BPC>∠A.（不等式的性质）ABCPD还有其他证明方法吗？当堂检测1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于()A.60°B.70°C.80°D.90°【解析】根据三角形外角的性质可得，∠ACD=∠B+∠A，所以∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°.C当堂检测2.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是()A.∠3=2∠1+∠2B.∠3=2∠1-∠2C.∠3=∠1+∠2D.∠3=180°-∠1-∠2【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，∠3是△COD的外角，∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.C当堂检测3.如图，直线a∥b,则∠ACB=_______.【解析】延长BC交直线a于点D，∵直线a∥b,∴∠ADC=∠B=50°.∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB=∠A+∠ADC=28°+50°=78°.78当堂检测4.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.证明:∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2∵∠BAC＞