黑龙江省佳木斯市富锦市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案

2024-2025学年度高一学年上学期期中考试试卷数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断．【详解】因为全集，所以，根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确．故选：C．2.命题，，则命题的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．【详解】命题，，为全称量词命题，则该命题的否定为：，.故选：C．3.下列命题中正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】根据不等性质分别判断各选项.【详解】A选项：当时，，A选项错误；B选项：当，时，成立，，B选项错误；C选项：，，，所以，C选项错误；D选项：，则，又，所以，D选项正确；故选：D.4.已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可.【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为．当时，的值域为，但不是正偶数．故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．故选：A5.已知是定义在上的奇函数，若，则（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数的性质，进而求出.【详解】由是定义在上的奇函数，得，即，令，则，而，所以.故选：C6.若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得，即求，利用基本不等式，可解得，进而得到，进而可求解.【详解】至少存在一组使得成立，即，又由两个正实数满足，可得，当且仅当，即时，等号成立，，故有，解得，故，所以实数的取值范围是故选：C.7.已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解.【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且又因，所以，又因在为增函数，在上，在上，又因在为减函数，所以上，综上，当时，，当时，当时，则，所以，则，当时，则，所以，则，不等式可化简变形为，综上所述可知当时，.故选：D8.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”，故其值域为；而，则值域为；当时，，当时，，此时函数在上单调递增，则，故由函数是“函数”可得，解得，即实数的取值范围是，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若的定义域为，则的定义域为B.表示同一个函数C.函数值域为D.函数满足，则【答案】ACD【解析】【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用同一函数得定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法判断D.【详解】解：对于A，因为的定义域为，对于函数，则，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，定义域为，定义域为，不是同一函数，故B不正确；对于C，令，则，，所以，，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，，，化简得，两式相加得，解得，故D正确．故选：ACD．10.已知关于x的不等式的解集为，则（）A.B.点在第二象限C.的最小值为2D.关于的不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，由原不等式的解集可得，，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C.【详解】原不等式等价于，因为其解集为，所以且，，故A正确；因为，则点在第一象限，故B错误；由可得，，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确；由可得，不等式即为，化简可得，则其解集为，故D正确；故选：ACD11.已知函数，的图象分别如图1，2所示，方程，的实根个数分别为，则（）A B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据图象，确定，，的值，代入验证即可．【详解】由图，方程，，此时对应4个解，故；方程，得或者，此时有2个解，故；方程，取到4个值，如图所示：即或或或，则对应的的解，有6个，故.

根据选项，可得A，B成立.

故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】根据分式、根式以及零次方的意义列式求解即可.【详解】令，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：.13.“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】求解一元二次不等式和一元一次不等式，根据充分不必要性，列出不等式，则问题得解.【详解】由，解得；由，即，解得x>2或；又“”是“”的充分不必要条件，故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查由命题之间的充分性和必要性求参数范围，属基础题.14.定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个.【答案】15【解析】【分析】由新定义可得集合的子集中，、、、一定成组出现，再由子集的概念即可得解.【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现，当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个；当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个；当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个；当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个；当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个；当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个.当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个.则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个.故答案为：15.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，．（1）求集合；（2）求，．【答案】（1）（2）或，或【解析】【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合即可；（2）由集合的交集与补集的运算求解即可.【小问1详解】因为，所以解不等式可得：，故集合【小问2详解】由（1）可知：，又，所以，所以或.或，或.16.已知命题：“，使等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解.【小问1详解】由题意，方程在−1,1上有解，令，只需在的值域内，当时，，当时，，所以值域为，的取值集合为；【小问2详解】由题意，，显然不为空集.①当，即时，，，；②当，即时，，不合题意舍去；③当，即时，.，；综上可得或.17.某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为万元（今年为第一年）.（1）试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？（2）该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.试问哪一种方案较为划算？请说明理由.【答案】（1）从第三年开始盈利.（2）两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.【解析】【分析】（1）列出纯收入的函数表达式，解纯收入大于0的不等式即可.（2）分别计算两种方案盈利和时间，比较后得结论.【小问1详解】由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入，，解得，由，所以从第三年开始盈利.【小问2详解】方案①：纯收入，则5年后盈利总额达到最大值9万元，以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；方案②：年均盈利，由，，当且仅当，即时等号成立，，当4年后年均盈利达到最大值2万元时，以2万元的价格卖出该设备，共盈利万元.两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.18.已知函数经过，两点.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）在上单调递减，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解.【小问1详解】，，，解得，.【小问2详解】在0,1上单调递减，证明如下：任取，且，则，，且，，，∴，，即，所以函数在0,1上单调递减.【小问3详解】由对任意恒成立得，由（2）知在0,1上单调递减，函数在上的最大值为，，所求实数的取值范围为.19.若函数y=fx与y=gx满足：对任意，，都有，则称函数y=fx是函数y=gx在集合上的“约束函数”.已知函数y=fx是函数y=gx（1）若，，判断函数y=gx的奇偶性，并说明理由；（2）若，，，求实数a的取值范围.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）【解析】【分析】对于（1），先分析得到，然后根据得到，的关系，由此完成证明；对于（2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行