2023届江苏省南通市高三第一次调研测试数学试题

高考模拟试题PAGEPAGE12023年江苏省南通市高考数学一调试卷一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（2，3〗 B．〖1，4） C．（﹣∞，4） D．〖1，+∞）2．（5分）已知向量a→，b→满足A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．23．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x﹣y＝0对称，若z1＝1﹣i，则|z1﹣z2|＝（）A．2 B．2 C．22 D．4．（5分）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面S1，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（）A．S1S2 BC．(S1+R)(S5．（5分）已知sin(α-π6)+cosα=A．-725 B．725 C．-246．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），有下列四个命题：甲：P（X＞m+1）＞P（X＜m﹣2）；乙：P（X＞m）＝0.5；丙：P（X≤m）＝0.5；丁：P（m﹣1＜X＜m）＜P（m+1＜X＜m+2）．如果只有一个假命题，则该命题为（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（x）＝f（x+1）﹣f（x+2），若f（1）＝2，则f（18）＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣28．（5分）若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1﹣x）ex的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2的取值范围是（）A．（0，4e﹣3） B．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣3） C．（﹣∞，4e﹣2） D．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则（）A．AD1∥平面BOC1 B．BD⊥平面COC1 C．C1O与平面ABCD所成的角为45° D．三棱锥C﹣BOC1的体积为2（多选）10．（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞A．ω＝2 B．φ=πC．f（x）的图象关于点(π12D．f（x）在区间(π，（多选）11．（5分）一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则（）A．P(A)=13 B．A，BC．P（B|A）=12 D．A，（多选）12．（5分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，以该抛物线上三点A，B，C为切点的切线分别是l1，l2，l3，直线l1，l2相交于点D，l3与l1，l2分别相交于点P，Q．记A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则（）A．DA→⋅DB→=0 B．x1+x2C．|AF|•|BF|＝|DF|2 D．|AP|•|CQ|＝|PC|•|PD|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f(x)=1+log2(2-x)，x＜12x-1，14．（5分）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝．①anan+1＜0；②|an|＜|an+1|15．（5分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设直线x+3y-3=0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上有且只有一个点P满足|AP|＝|BP|，则r的值为16．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上．过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形T，则T的边数至多为，T的面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①S1，S2，S4成等比数列，②a4＝2a2+2，③S8＝S4+S7﹣2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且满足_____，_____．（1）求{an}的通项公式；（2）求1a注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分．18．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA．（1）若c=3a，求cosB（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．（1）证明：PB⊥平面ABD；（2）若AD＝PB＝4，BD＝2，求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．21．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，（1）求C的方程；（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点．22．已知函数f(x)=xae（1）求实数a；（2）设直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有四个不同的交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），证明：x1x4＝x2x3．

2023年江苏省南通市高考数学一调试卷▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁与试题〖解析〗一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（2，3〗 B．〖1，4） C．（﹣∞，4） D．〖1，+∞）〖祥解〗根据交集概念计算出〖答案〗．〖解答〗解：A∩B＝{x|2＜x≤3}＝（2，3〗．故选：A．2．（5分）已知向量a→，b→满足A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2〖祥解〗根据向量的数量积的性质与定义，即可求解．〖解答〗解：根据题意可得a→故选：C．3．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x﹣y＝0对称，若z1＝1﹣i，则|z1﹣z2|＝（）A．2 B．2 C．22 D．〖祥解〗根据对称性得到z2＝﹣1+i，从而计算出z1﹣z2＝2﹣2i，求出模长．〖解答〗解：z1＝1﹣i对应的点为（1，﹣1），其中（1，﹣1）关于x﹣y＝0的对称点为（﹣1，1），故z2＝﹣1+i，故|z故选：C．4．（5分）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面S1，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（）A．S1S2 BC．(S1+R)(S〖祥解〗根据椭圆的远地点和近地点的距离可得a+c＝S1+R，a﹣c＝S2+R，进而可得b2，求得b，可得〖答案〗．〖解答〗解：由题意得a+c＝S1+R，a﹣c＝S2+R，∴b2＝a2﹣c2＝（S1+R）（S2+R），故b=(∴2b=2(故选：D．5．（5分）已知sin(α-π6)+cosα=A．-725 B．725 C．-24〖祥解〗先利用和差角及辅助角公式进行化简，然后结合二倍角公式即可求解．〖解答〗解：因为sin(α-π所以32所以sin（α+π6）则cos(2α+π3)=1﹣2sin2（α+π6）＝故选：B．6．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），有下列四个命题：甲：P（X＞m+1）＞P（X＜m﹣2）；乙：P（X＞m）＝0.5；丙：P（X≤m）＝0.5；丁：P（m﹣1＜X＜m）＜P（m+1＜X＜m+2）．如果只有一个假命题，则该命题为（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁〖祥解〗根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．〖解答〗解：命题乙，丙同真假，由题意可知，四个命题只有一个为假命题，故乙，丙均为真命题，所以μ＝m，P（X＞m+1）＝P（X＜m﹣1）＞P（X＜m﹣2），故甲正确，P（m﹣1＜X＜m）＝P（m＜X＜m+1）＞P（m+1＜X＜m+2），故丁错．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（x）＝f（x+1）﹣f（x+2），若f（1）＝2，则f（18）＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2〖祥解〗设f(x)=2sin(π〖解答〗解：因为f（2x+1）为偶函数，所以f（2x+1）＝f（﹣2x+1），所以f（x+1）＝f（﹣x+1），则f（x）关于x＝1对称，设f(x)=2sin(π3x+π6)，f(x)+f(x+2)=2sin(π3x+π6)+2sin〖π3(x+2)+π6〗=2〖sin(π3即f(x)=2sin(1所以f(18)=2sin(6π+π故选：A．8．（5分）若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1﹣x）ex的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2的取值范围是（）A．（0，4e﹣3） B．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣3） C．（﹣∞，4e﹣2） D．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2）〖祥解〗设切点(x0，(1-x0)ex0)，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点P（t，0），结合韦达定理可得x〖解答〗解：设切点(x则切线方程为y-(1-x0)ex∴-(1-x0)ex0=-x0ex0(t-x∴x0-1=-tx0+x0其中x1x2=1，x1+xy1令g（t）＝（1﹣t）et+1，t＞1或t＜﹣3，g'（t）＝﹣tet+1，当t＜﹣3时，g'（t）＞0，当t＞1时，g'（t）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，﹣3）上递增，在（1，+∞）上递减，又g（﹣3）＝4e﹣2，g（1）＝0，当t→﹣∞时，g（t）→0，当t→+∞时，g（t）→+∞，∴g（t）∈（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2），即y1故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则（）A．AD1∥平面BOC1 B．BD⊥平面COC1 C．C1O与平面ABCD所成的角为45° D．三棱锥C﹣BOC1的体积为2〖祥解〗根据线面平行判定定理判断A，利用线面垂直判定定理判断B，利用线面夹角的定义判断C，根据等体积法判断D．〖解答〗解：∵AD1∥BC1，AD1⊄平面BOC1，BC1⊂平面BOC1，∴AD1∥平面BOC1，A对；因为BD⊥CO，又CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CC1，CD∩CC1＝C，CD，CC1⊂平面COC1，∴BD⊥平面COC1，B对；因为C1C⊥平面ABCD，C1O与平面ABCD所成角为∠C1OC，因为tan∠C1OC=22≠1，∴∠C1因为VC-BOC1故选：ABD．（多选）10．（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞A．ω＝2 B．φ=πC．f（x）的图象关于点(π12D．f（x）在区间(π，〖祥解〗根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得φ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确〖答案〗．〖解答〗解：T2∴T=π=2π∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ），f(π由于-π所以φ+2π3=π2f(x)=sin(2x-π当k＝0时，得x=π12，所以f（x）关于(π-π当k1＝1时，得f（x）在(56π，43π)上递增，则f故选：ACD．（多选）11．（5分）一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则（）A．P(A)=13 B．A，BC．P（B|A）=12 D．A，〖祥解〗结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析．〖解答〗解：P(A)=1A，B可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A，B不互斥，B错误；在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为12P(B)=2故A，B不独立，D错误；故选：AC．（多选）12．（5分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，以该抛物线上三点A，B，C为切点的切线分别是l1，l2，l3，直线l1，l2相交于点D，l3与l1，l2分别相交于点P，Q．记A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则（）A．DA→⋅DB→=0 B．x1+x2C．|AF|•|BF|＝|DF|2 D．|AP|•|CQ|＝|PC|•|PD|〖祥解〗利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出D的坐标可判断B，根据向量数量积的坐标运算判断A，并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C，D．〖解答〗解：A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则可设A(x1，x1由抛物线x2＝4y，可得y=14x2，求导得y'=12x，所以所以l1：y-同理可得l2直线l1，l2方程联立y=12x1x-14x12y=12x2D（x1+x则DA→⋅DB→=(|DF|2=(x1+x2)24+（x1x24-1P（x1+x02，x1x|AP|=(|CQ|=(|PC|=(|PD|=(∴|AP|⋅|CQ|＝|PC|⋅|PD|，D正确，故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f(x)=1+log2(2-x)，x＜12x-1，〖祥解〗根据分段函数的〖解析〗式先求f（﹣2），进而求解即可．〖解答〗解：因为f(x)=1+所以f（﹣2）＝1+log2（2﹣（﹣2））＝1+log24＝3，所以f（f（﹣2））＝f（3）＝23﹣1＝22＝4．故〖答案〗为：4．14．（5分）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝（﹣2）n．①anan+1＜0；②|an|＜|an+1|〖祥解〗可构造等比数列，设公比为q，由条件，可知公比q为负数且|q|＞1，再取符合的值即可得解．〖解答〗解：可构造等比数列，设公比为q，由anan+1＜0，可知公比q为负数，因为|an|＜|an+1|，所以|q|＞1，所以q可取﹣2，设a1＝﹣2，则an故〖答案〗为：（﹣2）n．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设直线x+3y-3=0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上有且只有一个点P满足|AP|＝|BP|，则r的值为〖祥解〗根据|AP|＝|BP|可得P在AB的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解．〖解答〗解：根据题意易得A(3∴P在AB的垂直平分线上，又kAB∴AB中垂线的斜率为3，又AB的中点为(3由点斜式方程得y-1化简得y=3又P在圆O：x2+y2＝r2满足条件的P有且仅有一个，∴直线y=3x-1与圆相切，∴故〖答案〗为：1216．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上．过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形T，则T的边数至多为5，T的面积的最大值为23〖祥解〗数形结合，作平面与平面BDF平行，能求出截面多边形T的边数至多有几条；令SESF=λ，得EP=32λ，SP＝λ，PB＝1﹣λ，BQ＝1﹣λ，PQ＝1﹣λ，NQ＝MP＝λBD=2λ，推导出cos∠DFB=-13，sin∠DFB=223，从而得到〖解答〗解：取SC中点F，BF⊥SC，DF⊥SC，DF∩BF＝F，∴SC⊥平面BDF，作平面与平面BDF平行，截面至多为五边形，如图，令SESF=λ，∴EP＝λBF=32λ，SP＝∴PB＝1﹣λ，BQ＝1﹣λ，PQ＝1﹣λ，NQ＝MP＝λBD=2∴cos∠DFB=34+3∴S△EMP∵MN与NQ的夹角，而SA与BD垂直，∴SPMNQ∴S=2当λ=23时，S取最大值为故〖答案〗为：5；23四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①S1，S2，S4成等比数列，②a4＝2a2+2，③S8＝S4+S7﹣2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且满足_____，_____．（1）求{an}的通项公式；（2）求1a注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分．〖祥解〗（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，即可得出〖答案〗；（2）由（1）得an＝4n﹣2，可得1ana〖解答〗解：（1）选①②，设等差数列{an}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，a4＝2a2+2，∴a1(4a1+6d)=(2a1+d)2∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；选①③，设等差数列{an}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，S8＝S4+S7﹣2，∴a1(4a1+6d)=(2a1+d)2∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；选②③，设等差数列{an}的公差为d，∵a4＝2a2+2，S8＝S4+S7﹣2，∴a1+3d=2(a1+d)+28a1+28d=4a∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；（2）由（1）得an＝4n﹣2，则1a∴1a18．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828〖祥解〗（1）利用独立性检验的方法求解；（2）根据独立事件的概率公式和离散型随机变量的分布列的定义求解．〖解答〗解：（1）2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200K2故有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．（2）3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=(1P(ξ=2)=C故ξ的分布列如下：ξ0123P1185184929故ξ的数学期望：E(ξ)=1×19．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA．（1）若c=3a，求cosB（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．〖祥解〗（1）由正弦定理得出c＝2b，再由余弦定理，即可得出〖答案〗；（2）设∠BAD＝θ，把△ABC表示成两个三角形的面积和，表示出AD，即可得出〖答案〗；〖解答〗解：（1）∵acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA，∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB﹣2sinAcosC＝（2sinC﹣sinB）cosA，∴sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosC+2cosAsinC，∴sin（A+B）＝2sin（A+C），∴sinC＝2sinB，即c=2b，∴b=3∴cosB=a（2）由（1）得c＝2b，b＝1，则c＝2，设∠BAD＝θ，如图所示：∴S△ABC∴AD=43cosθ∴AD∈(0，20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．（1）证明：PB⊥平面ABD；（2）若AD＝PB＝4，BD＝2，求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．〖祥解〗（1）先证明出线面垂直，得到AD⊥PB，进而证明出PB⊥平面ABD；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值，进而求出正弦值．〖解答〗（1）证明：∵AD是BC边上的高，∴PD⊥AD，AD⊥BD，∵PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，∴AD⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴AD⊥PB，又∵PB⊥AB，AD，AB⊂平面ABD，AD∩AB＝A，∴PB⊥平面ABD；（2）解：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴，建立空间直角坐标系，AD＝PB＝4，BD＝2，则B（0，2，0），P（0，2，4），A（4，0，0），D（0，0，0），∴BP→设平面BPA与平面PAD的一个法向量分别为n1故n1→⋅BP→=4z1=0n1→⋅PA→=4则n1→=(1，2，0)，n2→⋅PA→=4x2-2故n1设二面角B﹣PA﹣D平面角为θ，显然θ为锐角，∴cosθ=|∴sinθ=1-即二面角B﹣PA﹣D的正弦值为3521．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，（1）求C的方程；（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点．〖祥解〗（1）根据题意，可得|PF|=b2a（2）设PQ方程为x＝my﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线和双曲线方程组，可得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0，以PQ为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，进而得到x2﹣（x1+x2）x+x1x2+y1y2＝0，进而得证．〖解答〗解：（1）当PQ⊥x轴时，P，Q两点的横坐标均为﹣c，代入双曲线方程，可得yP=b2a由题意，可得(b解得a＝1，b=3，c＝2∴双曲线C的方程为：x2（2）证明：设PQ方程为x＝my﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程{以PQ为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0，x2由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令y＝0，可得x2﹣（x1+x2）x+x1x2+y1y2＝0，而x1+x∴x2-43m2-1x+-3m2-43m2-1+93m2-1=0⇒(3m2-1)∴x＝1，∴以PQ为直径的圆经过定点（1，0）．22．已知函数f(x)=xae（1）求实数a；（2）设直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有四个不同的交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），证明：x1x4＝x2x3．〖祥解〗（1）利用导函数分别讨论两个函数的单调性和最值即可求解；（2）构造函数F(x)=xex-1-b和〖解答〗解：（1）f'(x)=1a⋅ex-1-ex-1⋅x(ex-1∵f（x）有最大值，∴a＞0且f（x）在（0，1）上单调递增；（1，+∞）上单调递减，∴f(x)max=f(1)=1a．a当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝a，∴1a=a，即a＝（2）由f(x)=b⇒xex-1令F(x)=x当0＜x＜1时，F'（x）＞0，当x＞1时，F'（x）＜0，所以F（x）在（0，1）上单调递增；（1，+∞）上单调递减，∴F（x）至多两个零点，令G(x)=1+lnx当0＜x＜1时，G′（x）＞0，当x＞1时，G′（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上单调递增；（1，+∞）上单调递减；∴G（x）至多两个零点．令F(x)=G(x)⇒x当x∈(0，1e〗时，lnx≤﹣当x∈（1，+∞）时，由xe设m（x）＝x﹣lnex，m'(x)=1-1所以当x∈（1，+∞）时，m'(x)=1-1所以m（x）＝x﹣lnex在x∈（1，+∞）单调递增，所以m（x）＞m（1）＝0，所以x＞lnex，且lnex＞lne＝1，所以x＞lnex＞1，设φ(x)=x当0＜x＜1时，φ'（x）＞0，当x＞1时，φ'（x）＜0，所以φ（x）在（1，+∞）上单调递减，∴φ（x）＜φ（lnex）方程无解，当x∈(1e，1〗时，由1≥x≥lnex∴φ（x）≥φ（lnex）方程有唯一解x＝1，当0＜b＜1时，注意到F（0）＝﹣b＜0，F（1）＝1﹣b＞0，设n（x）＝x﹣2lnx（x＞2），n'(x)=1-2x=x-2x所以n（x）＞n（2）＝2﹣2ln2＞0，所以当x＞2时，x＞2lnx，即ex＞x2，因为0＜b＜1，所以1b＞1，1所以F(1∴F（x）在（0，1）和(1，1b+2)上各有一个零点x1，x3，f（x），注意到G（1e）＝﹣b＜0，G（1）＝1﹣b＞0，G（4b2）=b24（令u（x）＝1+2lnx﹣2x，x＞2，u'(x)=2x-2＜0，即函数u（x因此u（x）＜u（2）＝2ln2﹣3＜0，即有G(4∴G（t）在(1e，1)和(1，4b由f(x1)=g(x2)=x1ex1-1而φ(x)=xex在（0由φ（x1）＝φ（lnex2）可得x1＝lnex2，故ex由f(x3)=g(x4)⇒x3e而φ(x)=xex在（1，+∞）上单调递减，由φ（x3）＝φ（lnex4）⇒x3＝∴ex于是得x2∴x1高考模拟试题PAGEPAGE12023年江苏省南通市高考数学一调试卷一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（2，3〗 B．〖1，4） C．（﹣∞，4） D．〖1，+∞）2．（5分）已知向量a→，b→满足A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．23．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x﹣y＝0对称，若z1＝1﹣i，则|z1﹣z2|＝（）A．2 B．2 C．22 D．4．（5分）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面S1，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（）A．S1S2 BC．(S1+R)(S5．（5分）已知sin(α-π6)+cosα=A．-725 B．725 C．-246．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），有下列四个命题：甲：P（X＞m+1）＞P（X＜m﹣2）；乙：P（X＞m）＝0.5；丙：P（X≤m）＝0.5；丁：P（m﹣1＜X＜m）＜P（m+1＜X＜m+2）．如果只有一个假命题，则该命题为（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（x）＝f（x+1）﹣f（x+2），若f（1）＝2，则f（18）＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣28．（5分）若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1﹣x）ex的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2的取值范围是（）A．（0，4e﹣3） B．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣3） C．（﹣∞，4e﹣2） D．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则（）A．AD1∥平面BOC1 B．BD⊥平面COC1 C．C1O与平面ABCD所成的角为45° D．三棱锥C﹣BOC1的体积为2（多选）10．（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞A．ω＝2 B．φ=πC．f（x）的图象关于点(π12D．f（x）在区间(π，（多选）11．（5分）一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则（）A．P(A)=13 B．A，BC．P（B|A）=12 D．A，（多选）12．（5分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，以该抛物线上三点A，B，C为切点的切线分别是l1，l2，l3，直线l1，l2相交于点D，l3与l1，l2分别相交于点P，Q．记A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则（）A．DA→⋅DB→=0 B．x1+x2C．|AF|•|BF|＝|DF|2 D．|AP|•|CQ|＝|PC|•|PD|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f(x)=1+log2(2-x)，x＜12x-1，14．（5分）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝．①anan+1＜0；②|an|＜|an+1|15．（5分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设直线x+3y-3=0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上有且只有一个点P满足|AP|＝|BP|，则r的值为16．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上．过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形T，则T的边数至多为，T的面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①S1，S2，S4成等比数列，②a4＝2a2+2，③S8＝S4+S7﹣2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且满足_____，_____．（1）求{an}的通项公式；（2）求1a注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分．18．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA．（1）若c=3a，求cosB（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．（1）证明：PB⊥平面ABD；（2）若AD＝PB＝4，BD＝2，求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．21．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，（1）求C的方程；（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点．22．已知函数f(x)=xae（1）求实数a；（2）设直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有四个不同的交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），证明：x1x4＝x2x3．

2023年江苏省南通市高考数学一调试卷▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁与试题〖解析〗一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（2，3〗 B．〖1，4） C．（﹣∞，4） D．〖1，+∞）〖祥解〗根据交集概念计算出〖答案〗．〖解答〗解：A∩B＝{x|2＜x≤3}＝（2，3〗．故选：A．2．（5分）已知向量a→，b→满足A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2〖祥解〗根据向量的数量积的性质与定义，即可求解．〖解答〗解：根据题意可得a→故选：C．3．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x﹣y＝0对称，若z1＝1﹣i，则|z1﹣z2|＝（）A．2 B．2 C．22 D．〖祥解〗根据对称性得到z2＝﹣1+i，从而计算出z1﹣z2＝2﹣2i，求出模长．〖解答〗解：z1＝1﹣i对应的点为（1，﹣1），其中（1，﹣1）关于x﹣y＝0的对称点为（﹣1，1），故z2＝﹣1+i，故|z故选：C．4．（5分）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面S1，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（）A．S1S2 BC．(S1+R)(S〖祥解〗根据椭圆的远地点和近地点的距离可得a+c＝S1+R，a﹣c＝S2+R，进而可得b2，求得b，可得〖答案〗．〖解答〗解：由题意得a+c＝S1+R，a﹣c＝S2+R，∴b2＝a2﹣c2＝（S1+R）（S2+R），故b=(∴2b=2(故选：D．5．（5分）已知sin(α-π6)+cosα=A．-725 B．725 C．-24〖祥解〗先利用和差角及辅助角公式进行化简，然后结合二倍角公式即可求解．〖解答〗解：因为sin(α-π所以32所以sin（α+π6）则cos(2α+π3)=1﹣2sin2（α+π6）＝故选：B．6．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），有下列四个命题：甲：P（X＞m+1）＞P（X＜m﹣2）；乙：P（X＞m）＝0.5；丙：P（X≤m）＝0.5；丁：P（m﹣1＜X＜m）＜P（m+1＜X＜m+2）．如果只有一个假命题，则该命题为（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁〖祥解〗根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．〖解答〗解：命题乙，丙同真假，由题意可知，四个命题只有一个为假命题，故乙，丙均为真命题，所以μ＝m，P（X＞m+1）＝P（X＜m﹣1）＞P（X＜m﹣2），故甲正确，P（m﹣1＜X＜m）＝P（m＜X＜m+1）＞P（m+1＜X＜m+2），故丁错．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x+1）为偶函数，f（x）＝f（x+1）﹣f（x+2），若f（1）＝2，则f（18）＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2〖祥解〗设f(x)=2sin(π〖解答〗解：因为f（2x+1）为偶函数，所以f（2x+1）＝f（﹣2x+1），所以f（x+1）＝f（﹣x+1），则f（x）关于x＝1对称，设f(x)=2sin(π3x+π6)，f(x)+f(x+2)=2sin(π3x+π6)+2sin〖π3(x+2)+π6〗=2〖sin(π3即f(x)=2sin(1所以f(18)=2sin(6π+π故选：A．8．（5分）若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1﹣x）ex的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2的取值范围是（）A．（0，4e﹣3） B．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣3） C．（﹣∞，4e﹣2） D．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2）〖祥解〗设切点(x0，(1-x0)ex0)，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点P（t，0），结合韦达定理可得x〖解答〗解：设切点(x则切线方程为y-(1-x0)ex∴-(1-x0)ex0=-x0ex0(t-x∴x0-1=-tx0+x0其中x1x2=1，x1+xy1令g（t）＝（1﹣t）et+1，t＞1或t＜﹣3，g'（t）＝﹣tet+1，当t＜﹣3时，g'（t）＞0，当t＞1时，g'（t）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，﹣3）上递增，在（1，+∞）上递减，又g（﹣3）＝4e﹣2，g（1）＝0，当t→﹣∞时，g（t）→0，当t→+∞时，g（t）→+∞，∴g（t）∈（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2），即y1故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则（）A．AD1∥平面BOC1 B．BD⊥平面COC1 C．C1O与平面ABCD所成的角为45° D．三棱锥C﹣BOC1的体积为2〖祥解〗根据线面平行判定定理判断A，利用线面垂直判定定理判断B，利用线面夹角的定义判断C，根据等体积法判断D．〖解答〗解：∵AD1∥BC1，AD1⊄平面BOC1，BC1⊂平面BOC1，∴AD1∥平面BOC1，A对；因为BD⊥CO，又CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CC1，CD∩CC1＝C，CD，CC1⊂平面COC1，∴BD⊥平面COC1，B对；因为C1C⊥平面ABCD，C1O与平面ABCD所成角为∠C1OC，因为tan∠C1OC=22≠1，∴∠C1因为VC-BOC1故选：ABD．（多选）10．（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞A．ω＝2 B．φ=πC．f（x）的图象关于点(π12D．f（x）在区间(π，〖祥解〗根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得φ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确〖答案〗．〖解答〗解：T2∴T=π=2π∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ），f(π由于-π所以φ+2π3=π2f(x)=sin(2x-π当k＝0时，得x=π12，所以f（x）关于(π-π当k1＝1时，得f（x）在(56π，43π)上递增，则f故选：ACD．（多选）11．（5分）一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则（）A．P(A)=13 B．A，BC．P（B|A）=12 D．A，〖祥解〗结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析．〖解答〗解：P(A)=1A，B可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A，B不互斥，B错误；在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为12P(B)=2故A，B不独立，D错误；故选：AC．（多选）12．（5分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，以该抛物线上三点A，B，C为切点的切线分别是l1，l2，l3，直线l1，l2相交于点D，l3与l1，l2分别相交于点P，Q．记A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则（）A．DA→⋅DB→=0 B．x1+x2C．|AF|•|BF|＝|DF|2 D．|AP|•|CQ|＝|PC|•|PD|〖祥解〗利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出D的坐标可判断B，根据向量数量积的坐标运算判断A，并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C，D．〖解答〗解：A，B，D的横坐标分别为x1，x2，x3，则可设A(x1，x1由抛物线x2＝4y，可得y=14x2，求导得y'=12x，所以所以l1：y-同理可得l2直线l1，l2方程联立y=12x1x-14x12y=12x2D（x1+x则DA→⋅DB→=(|DF|2=(x1+x2)24+（x1x24-1P（x1+x02，x1x|AP|=(|CQ|=(|PC|=(|PD|=(∴|AP|⋅|CQ|＝|PC|⋅|PD|，D正确，故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f(x)=1+log2(2-x)，x＜12x-1，〖祥解〗根据分段函数的〖解析〗式先求f（﹣2），进而求解即可．〖解答〗解：因为f(x)=1+所以f（﹣2）＝1+log2（2﹣（﹣2））＝1+log24＝3，所以f（f（﹣2））＝f（3）＝23﹣1＝22＝4．故〖答案〗为：4．14．（5分）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝（﹣2）n．①anan+1＜0；②|an|＜|an+1|〖祥解〗可构造等比数列，设公比为q，由条件，可知公比q为负数且|q|＞1，再取符合的值即可得解．〖解答〗解：可构造等比数列，设公比为q，由anan+1＜0，可知公比q为负数，因为|an|＜|an+1|，所以|q|＞1，所以q可取﹣2，设a1＝﹣2，则an故〖答案〗为：（﹣2）n．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设直线x+3y-3=0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上有且只有一个点P满足|AP|＝|BP|，则r的值为〖祥解〗根据|AP|＝|BP|可得P在AB的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解．〖解答〗解：根据题意易得A(3∴P在AB的垂直平分线上，又kAB∴AB中垂线的斜率为3，又AB的中点为(3由点斜式方程得y-1化简得y=3又P在圆O：x2+y2＝r2满足条件的P有且仅有一个，∴直线y=3x-1与圆相切，∴故〖答案〗为：1216．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上．过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形T，则T的边数至多为5，T的面积的最大值为23〖祥解〗数形结合，作平面与平面BDF平行，能求出截面多边形T的边数至多有几条；令SESF=λ，得EP=32λ，SP＝λ，PB＝1﹣λ，BQ＝1﹣λ，PQ＝1﹣λ，NQ＝MP＝λBD=2λ，推导出cos∠DFB=-13，sin∠DFB=223，从而得到〖解答〗解：取SC中点F，BF⊥SC，DF⊥SC，DF∩BF＝F，∴SC⊥平面BDF，作平面与平面BDF平行，截面至多为五边形，如图，令SESF=λ，∴EP＝λBF=32λ，SP＝∴PB＝1﹣λ，BQ＝1﹣λ，PQ＝1﹣λ，NQ＝MP＝λBD=2∴cos∠DFB=34+3∴S△EMP∵MN与NQ的夹角，而SA与BD垂直，∴SPMNQ∴S=2当λ=23时，S取最大值为故〖答案〗为：5；23四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①S1，S2，S4成等比数列，②a4＝2a2+2，③S8＝S4+S7﹣2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且满足_____，_____．（1）求{an}的通项公式；（2）求1a注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分．〖祥解〗（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，即可得出〖答案〗；（2）由（1）得an＝4n﹣2，可得1ana〖解答〗解：（1）选①②，设等差数列{an}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，a4＝2a2+2，∴a1(4a1+6d)=(2a1+d)2∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；选①③，设等差数列{an}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，S8＝S4+S7﹣2，∴a1(4a1+6d)=(2a1+d)2∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；选②③，设等差数列{an}的公差为d，∵a4＝2a2+2，S8＝S4+S7﹣2，∴a1+3d=2(a1+d)+28a1+28d=4a∴an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；（2）由（1）得an＝4n﹣2，则1a∴1a18．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828〖祥解〗（1）利用独立性检验的方法求解；（2）根据独立事件的概率公式和离散型随机变量的分布列的定义求解．〖解答〗解：（1）2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200K2故有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．（2）3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=(1P(ξ=2)=C故ξ的分布列如下：ξ0123P1185184929故ξ的数学期望：E(ξ)=1×19．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA．（1）若c=3a，求cosB（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．〖祥解〗（1）由正弦定理得出c＝2b，再由余弦定理，即可得出〖答案〗；（2）设∠BAD＝θ，把△ABC表示成两个三角形的面积和，表示出AD，即可得出〖答案〗；〖解答〗解：（1）∵acosB﹣2acosC＝（2c﹣b）cosA，∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB﹣2sinAcosC＝（2sinC﹣sinB）cosA，∴sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosC+2cosAsinC，∴sin（A+B）＝2sin（A+C），∴sinC＝2sinB，即c=2b，∴b=3∴cosB=a（2）由（1）得c＝2b，b＝1，则c＝2，设∠BAD＝θ，如图所示：∴S△ABC∴AD=43cosθ∴AD∈(0，20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．（1）证明：PB⊥平面ABD；（2）若AD＝PB＝4，BD＝2，求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．〖祥解〗（1）先证明出线面垂直，得到AD⊥PB，进而证明出PB⊥平面ABD；（2）建立空