圆的有关位置关系2中考1年模拟2018中考数学系列

备战2018中考系列：核号2耳中有1羊挑柩

第四篇图形的性质

专题23与圆有关的位置关系

b解读老立

知识点名师点晴

理解并掌握设。。的半径为广，点P到圆心的距离。p=",则

点和圆的位置关系有：点尸在圆外d>r；点尸在圆上d=r；点P在圆内d<r

及其运用.

切线的判定定理

理解切线的判定定理，会运用它解决一些具体的题目

直线和圆的位置关

切线的性质定理理解切线的性质定理，会运用它解决一些具体的题目

系

切线长定理运用切线长定理解决一些实际问题.

理解两圆的互解关系与4八、「2等量关系的等价条件并灵活

圆和圆的位置关系

应用它们解题.

b2年中存

【2017年题组】

一、选择题

1.（2017四川省自贡市）48是。。的直径，附切。。于点A,PO交。。于点C；连接8C,若NP=40°,

则NB等于（）.

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】B.

【解析】

考点：切线的性质.

2.（2017临沂）如图，A8是。。的直径，87是。。的切线，若NAT8=45°,A8=2,则阴影部分的面积是

（）

31-11

A.2B.-----7tC.1D.—I—7t

2424

【答案】C.

【解析】

试题分析:设AT交。。于。，连结8。.丁川是。O的切线,是。。的直径，・・,乙4。5=90°,而NA78=45°,

2X8/〃都是等腰直角三角形，48-J弓形AO的面积等于弓形8。的面

2

积，,阴影部分的面积;kLx亚X&=1.故选C.学科~网

2

考点：1.切线的性质；2.扇形面积的计算.

3.（2017广东省广州巾）如图，是AA6C的内切圆，则点。是△A8C的（）

A.三条边的垂直平分线的交点B,三条角平分线的交点

C.三条中线的交点D.三条高的交点

【答案】B.

【解析】

考点：三角形的内切圆与内心.

4.（2017广西玉林崇左市）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角

形边长的一半，点。是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动

到④位置时，线段OA绕点。顺时针转过的角度是（）

A.240°B.360°C.480°D.540°

【答案】C.

【解析】

试题分析：由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°,第二次AO顺时针转动了240°,第三次AO顺

时针转动了120°,故当由①位置滚动到④位置时，线段。4绕点O顺时针转过的角度是：

120°+240°+120°=480°.故选C.

考点：1.三角形的内切圆与内心；2.等边三角形的性质；3.旋转的性质.

5.（2017江苏省无锡市）如图，菱形A8CO的边A8=20,面积为320,N84OV90。，。0与边AB,AD

都相切，AO=10,则。。的半径长等于（）

A.5B.6C.2A/5D.35/2

【答案】C.

【解析】

9：AD=AB,04平分NOAB,：,AE±BD,;N04产+NA8E=90°,NA8E+NBOH=90°,：.N0AF二NBDH,

。AOAOF10OF、G…

VZAF,O=ZDHB-90a,/.^AAOF^^DBH,：.—=——，・・一j==—，：,OF=2yJ5.故选C.

BDBH8V58

考点：1.切线的性质；2.菱形的性质；3.综合题.

6.（2017湖北省随州市）如图，在矩形ABC。中，ABVBC,£为CO边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋

转180°,点。的对应点为。，点A的对应点为F,过点E作ME_LA尸交8C于点M,连接AM、BD交于

点、N,现有下列结论：

®AM=AD+MC；®AM=DE^BMx③D/=AD・CM；④点N为△ABM的外心.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B.

【解析】

'：MELFF,ECYMF,:・EU:CMXCF,又，；EC=DE,AD=CF,：.DE2=AD*CM,故③正确；

MNBM

*.*ZABA/=90°,JAM是△ABM的外接圆的直径，*：BM<AD,・••当。时，——=——<1,:・N

ANAD

不是AM的中点，，点N不是△A8M的外心，故④错误.

综上所述，正确的结论有2个，故选B.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的性质；4.三角形的外接圆

与外心；5.旋转的性质；6.综合题.

7.（2017贵州省黔南州）如图，已知直线4。是。。的切线，点A为切点，。。交。。于点8,点C在。O

上，且NOD4=36°,则NACB的度数为（）

A.54°B.36°C.30°D.27°

【答案】D.

【解析】

试题分析：TA。为圆。的切线，••・AO_LOA,即NOA0=9O°,・.・NOOA=36°,・・・NAOZ>54°,・・・NAOO

与NAC8都对A8,/.ZACB=-ZAOD=21°.故选D.

2

考点：切线的性质.

8.（2017山东省济南市）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，/C4B=60°,若量出AO=6cm,

则圆形螺母的外直径是（）

A.\2cmB.24cmC.66cmD.12-^3cm

【答案】D.

【解析】

考点：切线的性质.

9.（2017山东省莱芜市）如图，是。。的直径，直线OA与。。相切与点A,。。交。0于点C,连接

BC,若N4BO21。，则N4QC的度数为（）

A.46°B.47°C.48°D.49°

【答案】C.

【解析】

试题分析：:OB=OC,=N8CO=21°,・・・NAOD=NB+N8C321°+21°=42°,;AB是。O的直径，

直线D4与。。相切与点A,/.ZOAD=90°,AZAD0900・NAOO=90°-42°=48°.故选C.

考点：切线的性质.

10.（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的。Oi经过一个半径为&的。。的圆心，则图中阴影部分

的面积为（）

A.1B.-C.^2D.---

22

【答案】A.

【解析】

考点：1.相交两圆的性质；2.扇形面积的计算.

二、填空题

11.（2017上海市）如图，己知RfZXABC,ZC=90°,AC=3,BC=4.分别以点4、8为圆心画圆.如果点

。在。A内，点B在。A外，且08与04内切，那么。8的半径长r的取值能围是.

【答案】8<r<10.

【解析】

试题分析:如图1,当C在。A上,。5与Q4内切时，的半径为:AC=AZ>4,08的半径为:尸AB+4>5+3=8；

如图2,当5在。4上，与。从内切时，0A的半径为：AB=AD=5,的半径为：尸2AB=10；

的半径长厂的取值范围是：8<r<10.故答案为：8<r<10.

考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系；3.分类讨论.

12.（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，A片2.若尸为△4BC内一动点，且满足NB48二/

ACP,则线段P8长度的最小值为

……2>/5

【答案］一.

3

【解析】

试题分析：:人铝。是等边三角形，・..乙铝。=440=60°,乂0=45=2,・,・/及8=a43,「.NTMON

彳3=60°,.,.N%PC=120。，当P51/C时，P3长度最小，设垂足为。，如图所示：

此时PA=PC,贝ijAD=CD=-AO\,ZPAOZACP=30°,ZABD=-ZN5C=30°,：.

22

PD=AD*tan30°二与AD”与,BD=6AD=6；,PB=BD-PD=M-*二故答案为：.

考点：1.点与圆的位置关系；2.等边三角形的性质；3.最值问题；4.圆周角定理；5.动点型.

13.（2017云南省）如图，边长为4的正方形A8CO外切于。O,切点分别为E、尸、G、H.则图中阴影部

分的面积为.

【答案】2n+4.

【解析】

考点：1.切线的性质；2.正方形的性质；3.扇形面积的计算.

14.（2017宁夏）如图，点A,B,。均在6X6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接圆除经过A,

B,C三点外还能经过的格点数为.

【答案】5.

【解析】

考点：确定圆的条件.

15.（2017山东省威海市）阅读理解：如图1,。。与直线人人都相切，不论。。如何转动，直线4、方之

间的距离始终保持不变（等于。0的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图2是利用圆

的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据

说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的.

拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图4,夹在平行线c,d之

间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c,d之间的距离等于2cm,则莱洛三角

形的周长为cm.

【答案】231.

【解析】

考点：1.切线的性质：2.平行线之间的距离；3.新定义.

16.（2017浙汀省绍兴市）如图，/AOA=4S。,点例、N在边OA上,OM=x.ON=r+4,点P是边OA上的

点.若使点P、M、N构成等腰三角形的点尸恰好有三个，则x的值是.

【答案】尸0或产4a-4或4VXV4五.

【解析】

试题分析：以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与08的必有一个交点Pi,且MN=4,以M为圆

心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，①如下图，当M与点。重合时，即产0时，除了Pi,

当MN=MP,即为尸3；当N六MN时，即为尸2；

只有3个点P；

②当0VxV4时，如下图，圆N与OB相切时，NP?二MN=4,且NPU0B,此时“「3=4,则OM=ON-MN二

y/2NP2-4-4>/2-4.

③因为MN=4,所以当x>0时，MNVOM则MN二NP不存在，除了尸।外，当MP=MN=4时,过点M作

MD_LOB于。，当OM=MP=4时，圆”与08刚好交08两点P2和P3;

当MD=MN=4时，圆M与08只有一个交点，此时0M=J^MQ=4a,故4WxV4夜.

与0B有两个交点尸2和三，故答案为：尸0或尸40-4或4«40.

考点：1.等腰三角形的判定；2.相交两圆的性质：3.分类讨论；4.综合题.

17.（2017四川省德阳市）如图，已知。C的半径为3,圆外一点。满足0C=5,点P为。C上一动点，经

过点。的直线/上有两点A、B,且OA=OB,ZAPB=90°,/不经过点C,则48的最小值为.

【答案】4.

【解析】

考点：1.最值问题；2.三角形三边关系；3.相切两圆的性质.

18.（2017浙江省湖州市）如图，已知NAO8=30°,在射线04上取点01，以。为圆心的圆与OB相切；

在射线OiA上取点。2，以仍为圆心，。2。1为半径的圆与08相切；在射线QA上取点。3，以Q为圆心,

。3。2为半径的圆与相切；•••；在射线。以上取点Oio,以Oio为圆心，OKA为半径的圆与相切.若

的半径为1,则。。10的半径长是.

【答案】29.

【解析】

考点：1.切线的性质；2.规律型.

19.（2017衢州）如图，在直角坐标系中，。4的圆心A的坐标为（・1,0）,半径为1,点P为直线y=—之工+3

4

上的动点，过点P作。A的切线，切点为Q,则切线长PQ的最小值是.

【答案】20.

【解析】

考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质；3.最值问题.

20.（2017湖南省岳阳市）如图，。。为等腰△A8C的外接圆，直径AB=12,P为弧8C上任意一点（不与

B,C重合），直线CP交A8延长线于点。,©O在点P处切线PD交BQ于点。，下列结论正确的是.（写

出所有正确结论的序号）

①若NB4B=30°,则弧BP的长为Ji；②若PD〃BC,则AP平分NCA3；

⑤若PB-BD,贝iJ-Q-G百；④无论点尸在弧SC上的位置如何变化，CP・C。为定值.

【答窠】②③④.

【解析】

试题分析：如图，连接OP,'：AO=OP,ZMfi=30°,/.ZPOB=60°,*：AB=\2,：,OB=6,・••弧3P的长

为细3二2%故①错误；

180

•••PO是。。的切线，・・・OP_LPO,・・・PO//8C,：.OP±BC,/.CP=BP,・・.AP平分N

CAB,故②正确；

若PB=BD,则/BPANBDP,VOPLPD,：・/BPD+NBPO=/BDP+/BOP,AZBOP=ZBPO,：.

RP-BO-PO-6,即ABO尸是等边三角形，・・・々）-百OP-6G，故③正确；

\'AC=BC,：.ZBAC=ZABC,又丁NA8ONAPC,，N4PO8AC,XVZACP=Z0CA,：.AACP^AQCA,

CP%

:.---=----，BPCP*CQ=CA2（定值），故④止确；

CACQ

故答案为：②③④.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.切线的性质；4.弧长的计算；5.动点型；

6.定值问题；7.综合题.

21.（2017甘肃省兰州市）如图，在平面直角坐标系％Oy中，见BCO的顶点A,8的坐标分别是A（3,0）,

8（0,2）.动点P在直线上运动，以点P为圆心，P8长为半径的。P随点P运动，当。P与织BC。

的边相切时，P点的坐标为.

【答案】Q（0,0）或（2,1）或（3-石，9-3"）

32

【解析】

试题分析：①当。P与3c相切时，;动点尸在直线”白上，，尸与。重合，此时圆心P到5C的距离

为OB,：.P（0,0）.

②如图1中，当。尸与OC相切时，则OP=BP,△OPS是等腰三角形，作于E,则助=£。，易知

2

P的纵坐标为1,可得尸（一，1）.

3

③如图2中，当。P与04相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，可得Jf+gx—2）2

二工，解得产3+逐或3-逐，•・•卡3+为＞04工户不会与OA相切，・・・产3+石不合题意，・・・P（3-6,

2

9-375

2

④如图3中，当0P与A8相切时，设线段A8与直线。尸的交点为G,此时PB二PG,

图3

,：OPLAB,：.NBGP=NPBG=90°不成立，,此种情形，不存在P.

综上所述，满足条件的P的坐标为（0,0）或（2,1）或（3-右，上*）.

32

考点：1.切线的性质；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.动点型；4.分类讨论；5.综合题.

三、解答题

22.（2017内蒙古包头市）如图，AB是00的直径，弦CD与AB交于点E,过点B的切线BP与CO的延

长线交于点P,连接OC,CB.

（1）求证：AE・EB=CE・ED；

CF9

（2）若。。的半径为3,0E=2BE,—=-,求S〃N08C的值及。尸的长.

DE5

【答案】（1）证明见解析；（2）tanZOBC=42,一.

3

【解析】

CE9

（2）解：・・・G）O的半径为3,・•・04=08=003,・；0E=2BE,A0E=2,BE=\,4E=5,V—二一，,设

DE5

CE=9x,DE=5x,,；AE・EFCE・ED,，5Xl=9x・5x,解得：x\=-,x2=--（不合题意舍去），：.CE=9x=3,

33

OE=5尸2,过点C作CRLAB于凡・.・0C=CE=3,七尸上OE=I,・・.B尸=2,在心△OCT中，•・•NC”>=90°,

32

：.CF^OF2=OC2,:・CF=2C,在中，VZCFB=90°,：.tanZ.OBO—=------=&,VCF±

BF2

AB于凡/.ZCF5=90°,・.・8P是。。的切线，AB是。。的直径，,NEB片90°,：.NCFB=NEBP,在

△C/E和△尸6七中，•；4C止乙PBE,,乙卜EC=/BEP,:、△CFgXPBEqASA）、・•・上片C33,

54

：・DP=EP・ED=3・一二一.

33

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.切线的性质；3.解直角三角形.

23.（2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线与。。的交点，点8在。。上，BO_LAM垂足为O,BD

与。0交于点C,0C平分NAOB,NB=60；

（1）求证：AM是。。的切线；

（2）若0c=2,求图中阴影部分的面积（结果保留n和根号）.

【答案】（1）证明见解析；（2）673

3

【解析】

试题解析：（1）・・・NB=60°,•••△80C是等边三角形，，N1=N2=6O°,丁。。平分NAOB,/.Z1=Z3,

AZ2=Z3,：.OA//BDt；・NBDM=90°..・・NOAM=90°,JAM是。。的切线；

（2）VZ3=60°,OA=OC,•・•△AOC是等边三角形，ZOAC=60°,：NOAM=90。,/.ZCAD=30°,

•••8=2,・・・AO2co=4,・・・4。=26，・・・S阳影二S梯形OAOC-SMJ（4+2）X26.^^:6G-%

23603

考点：1.切线的判定与性质；2.扇形面积的计算.

24.（2017四川省凉山州）如图，已知43为。0的直径，AD.8。是。。的弦，8C是。。的切线，切点为

B,OC//AD,84、C。的延长线相交于点£.

（1）求证：DC是。。的切线；

（2）若4E=I,ED=3,求。。的半径.

【答案】(1)证明见解析；(2)4.

【解析】

试题解析：(1)证明：连结。0.*：AD//OC,:.NDAO=NCOB,ZADO=ZCOD.

又・.・0A=0。，・・・NOAONAOO,/.ZCOD=ZCOB.

在也。。力和△COB中，・：OD=OB,OC=OC,:ACOD安ACOB(SAS),:"CDS/CBO.

TBC是(DO的切线，/.ZCBO=90°,/.ZCDO=90°,又•点。在。。上，，CD是。。的切线；

(2)设。0的半径为R,则0。=R,OE=R+1,:。。是00的切线，・・・NED。=90°,・・・ED2+OD2=0产，.・.

32+R2=(/?+1)2,解得R=4,・・・。0的半径为4.

考点：切线的判定与性质.

25.(2017四川省绵阳市)如图，已知是圆。的直径，弦COJ_AB,垂足为H,与AC平行的圆。的一

条切线交CO的延长线于点M,交43的延长线于点E,切点为尸，连接4尸交8于点M

(1)求证：C4=CM

(2)连接。F,若以$/。胡=&，AN=2厢,求圆。的直径的长度.

5

【答案】(1)证明见解析；(2)—.

3

【解析】

(2)连接0C,由圆周角定理结合cos/。朋=54V=2ji6,即可求出C〃、4H的长度，设圆的半径为r,

则0H+-6,根据勾股定理即可得出关于「的一元一次方程，解之即可得出入再乘以2即可求出圆。直径

的长度.

试题解析：(1)证明：连接OF,则NOA4N。胡，如图所示.

:叱与OO相切，/.OFVME.VCD±AB,；・/M+/FOH=180。.

VZBOF,=ZOAF+ZOFA=2ZOAF,NFOH+NBOF=180°,AZM=2ZOAF.

*：ME//ACf：.ZM=ZC=2Z0AF,

*：CDLAB,，NANC+N0AF=N84C+NO90°,AZANO9O0-/OAF,ZBAC=900-ZC=90°-2Z

OAF,：,ZCAN=ZOAF+ZBAC=90°・NOAF=NANC,：.CA=CN.

(2)连接OC,如图2所示.

4CH4n,

〈cos/。阴二一，ZDFA=ZACH,/,—二一.设CH=4a,n则AC=5mAH=3a,•:CA二CN,:・NH;a,:.

5AC5

AN=yjAH2+NH2=y](3a)2+a2=V10a=2M,A«=2,A〃=3所6,CH=4a=8.

2222

设圆的半径为r,则O"=「6,在心△OC"中，OC=r,CW=8,OH=r-6,：.OC=CH+OHfz^=8+(r-6)

2,解得：尸二，，圆。的直径的长度为2尸O.

33

考点：1.切线的性质；2.勾股定理；3.圆周角定理；4.解直角三角形.

26.（2017四川省达州市）如图，/XABC内接于。0,CD平分NAC8交。。于。，过点。作PQ〃A8分别

交CA、CB延长线于P、Q,连接80.

（1）求证：PQ是。。的切线；

（2）求证：

41

（3）若AC、8。的长是关于“的方程x+—二川的两实根，且心〃/尸€7>—，求。。的半径.

x3

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2回.

【解析】

（3）根据题意得到AC・8Q=4,得到BD=2,由（1）知PQ是。。的切线，由切线的性质得到OO_LPQ,根

据平行线的性质得到OOJ_AB,根据三角函数的定义得到BE=3DE,根据勾股定理得到BE的长，设

0B=0D=R,根据勾股定理即可得到结论.

试题解析：（1）证明：'：PQ//AB,/.ZABD=ZBDQ=ZACD,VZACD=ZBCD,/.ZBDQ=ZACD,如图

1,连接08,0D,交AB于E,则/0BD=N0DB,ZO=2ZDCB=2ZBDQ,在△080中，N0BD+/0DB+

ZO=180°,A2Z0DB+2ZO1800,：.Z0DB+Z0=90c,是。0的切线；

（2）证明：如图2,连接AO,由（1）知PQ是。。的切线，；・NBDQ=NDCB=NACD=NBCD=NBAD,

,ADAC.

：.AD=BD,，：NDBQ=4ACD,：./A\BDQ^^AACD,：,—=—,:・BA=AC、BQ；

44

（3）解：方程x+-=m可化为〃认+4:0,・.・AC、8Q的长是关于x的方程工+-=加的两实根，，AC・8Q=4,

xx

由（2）得・・・瓦）2=4,：.BD=2,由（1）知PQ是。O的切线，?.ODA.PQ,,:PQ〃AB,：.0D

1AB,由（1）得NPCO=N4BD,tan^PCD=-,：,tan^ABD=-,；・BE=3DE,：.DE~+（3DF）2=^=4,

33

2y/w6V102M,,i2M、

「DE二」—,:・BE=」—设0B~0D=R,：・0E=R-------,TOB二OE，BE，：,R2=（R------------）2+

5555

（地色）2,解得：R=2ji6,）。。的半径为2>A6.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.分式方程的解：3.圆周角定理；4.切线的判定与性质；5.解直

角三角形；6.压轴题.

27.（2017山东省聊城市）如图，。。是AABC的外接圆，。点在BC边上，/BAC的平分线交。。于点Q,

连接BQ、CD,过点。作8C的平行线，与A3的延长线相交于点P.

(1)求证：PO是(?)。的切线：

(2)求证：XPBDsXDC限

(3)当48=6,AC=8时，求线段的长.

25

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)—.

4

【解析】

(3)由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出8C的长，再由。。垂直平分8C,得到根

据(2)的相似，得比例，求出所求即可.

试题解析：(1)证明：•・•圆心。在上，・・・BC是圆O的直径，・・.N84C=90°,连接OD,・.・A。平分N

BAC,：,ZBAC=2ZDAC,•:/D0O2/DAC,，N000/840900,BP0DLBC,,:PDHBC,：・0D

_LPO,为圆。的半径，JP。是圆0的切线；

(2)证明：YPD//BC,:・NP=NABC,VZABC=ZADC,：.ZP=ZADC,*：ZPBD+ZABD=\S00,Z

ACD+ZABD=\S()°,:.NPBD=NACD,:•△PBDs^DCA、

(3)解：/△ABC为直角三角形，・・・BC2=A52+AC2=62+82=100,・••灰>10,:。。垂直平分8C,

•・・8C为圆。的直径，・・・/8OC=90°,在&△£>8C中，DBt+DC?=BC,BP2DC2=BC2=100,：・DC=DB二5五,

AAPBBDrlIDCBD5V2x5>/225

■:丛PBDSXDCA,：.——=——•则尸-----------------------——.

DCACAC84

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.切线的判定与性质；3.圆的综合题.

28.(2017广东省)如图，48是。。的直径，AQ4百，点E为线段。8上一点(不与。，8重合)，作CE

_LOB,交OO于点C,垂足为点E,作直径CD,过点C的切线交08的延长线于点P,AFLPC于点F,

连接C8.

(1)求证：C8是NECP的平分线：

(2)求证：CF=CE；

(3)当JCF=33时，求劣弧的长度〔结果保留兀)

CP4

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)—7T.

3

【解析】

试题解析：(1)证明：・・・OOOB,•••NOCB=NOBC,・・・P尸是。0的切线，CE_L48,，NOC片NCE8=90°,

：.NPCB+/OCB=90°,ZBCE+ZOBC=90°,AZBCE=ZBCP,:.BC平分/PCE.

（2）证明：连接AC

是直径，・・・NACB=90°,AZSCP+ZACF=90°,NACE+NBCE=90°，•:NBCP=/BCE,：,ZACF=

NACE,•・•/尸NAEC=90°,AC=AC,/.△ACF^AACf：,：.CF=CE.

（3）解：作8M_LP尸于M.则CE二CM=CF,SCE=CM=CF=4a,PC=4a,PM二a,YXBMCs丛PMB,：.

BMCM.r-BM上。

2

——=——，：.BM=CM*PM=3crf：.BM=<3a,:・tan/BCM=——=—.，NBCM=30°,；・/OCB二

PMBMCM3

NOBC=NBOC=60°,，8C的长=60%"2"=3^4.

1803

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.垂径定理；3.切线的性质；4.弧长的计算.

29.（2017江苏省盐城市）如图，△ABC是一块直角三角板，且NC=90°,NA=30°,现将圆心为点。的

圆形纸片放置在三角板内部.

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边ACBC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，

保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若309,圆形纸片的

半径为2,求圆心。运动的路径长.

【答案】（1）作图见解析；（2）15+73.

【解析】

试题分析：（1）作N4C8的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心。，作射线C。即可；

（2）添加如图所示辅助线，圆心。的运动路径长为Q破5,先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证

四边形。£。。1、四边形OIO2“G、四边形。。2/尸均为矩形、四边形OECF为正方形，得出/0。1。2=60°=

NABC、/。1。。2=90°,从而知△0。。2s△CR4,利用相似三角形的性质即可得出答案.

试题解析：（1）如图①所示，射线0C即为所求；

（2）如图2,圆心0的运动路径长为。△丝6,过点Oi作。。_L8C、OiFlAC.0]G±AB,垂足分别为点

D,尸、G,过点。作。E_LBC,垂足为点E,连接028,过点。2作。2”_LAB,OiILAC,垂足分别为点”、

/,在即ZUBC中，NACB=90°、/A=30。，：.AC=-BC-=-^-9>/3,4B=2BC=18,NABU60°,A

tan30V3

T

QA8L9+96+18=27+96，'：O\DVBC.O】G_LAB,:・D、G为切点，:.BD=BG,在心△04。和4△

018G中，°：BD=BG,OiB二0\B,；.40\BDmA0iBG(HL),工NO】BG二NO】8。=30°,在心△0归。中，

]D

NOM8=90°,N04。=30°,：.BD=°=-^=273,/.O(?i=9-2-2>/3=7-273,,：OiD=OE=2,

tan30V3

~T

OiDLBC,OELBC,：.O\D//OE,且OQ=OE,・••四边形OED。为平行四边形，NOEZX90。，，四边

形OEDO1为矩形，同理四边形OGHG、四边形00"、四边形OECF为矩形，又OE=OF,：,四边形OECF

为正方形，VZOiGH=ZCDOi=90°,ZABC=60°,/.ZG6>,D=120o,又「NFOID=NO25G=90°,:.

N0002=360°-90°-90°=600=ZABC,同理，N010。2=90°,工△001。2s△C3A,

4^曳=沁，即.g。>=7-2，,：.c>00g-15+V3,即圆心。运动的路径长为15+0.

BC27+9y39

考点：1.轨迹；2.切线的性质；3.作图一复杂作图；4.综合题.

30.(237湖北省鄂州巾)如图，已知w•’是G)O的直径，A为。。上(异于6、K)一点，。。的切线MA

与尸B的延长线交于点M；P为AM上一点，P8的延长线交。O于点C,。为8c上一点且以二PO,A。的

延长线交。。于点£

(1)求证：BE=CE；

(2)若ED、E4的长是一元二次方程X2-5x+5=0的两根，求BE的长；

(3)若MA=6五，sinZAMF=-,求A8的长.

3

【答案】(1)证明见解析；(2)石；(3)26.

【解析】

试题解析：(1)证明：连接OA、OE交BC于T.

T4M是切线，/.ZOAM=90°,Z/^D+ZOAE=90°,VB4=PD,AZPAD=ZPDA=ZEDT,'：OA=OE,

：,ZOAE=ZOEA,AZEDT+ZOEA=90°,/.ZDTE=90°,：,OEVBC,:.BE=CE.

(2)'・・ED、EA的长是一元二次方程f-5x+5=0的两根，.,.EQ・EA=5,,.・BE=CE,・・・N84E=NE8Z),

BEDE,/T

•：/BED:/AEB,；・ABEDsAAEB,:.—=—,・・・8序二。七・班二5,:.BE=6

AEEB

(3)作4"J_0M于”.在放Z\AMO中，•:AM=66,sinZM=-=-^-,设OA=/〃，0M=3m,/.9/n2-

3OM

rrr=12,：.m=3,：,OA=3,OM=9,易知NOAH=NM,：.tan^OAD=^-=-,工。"二I,AH=2叵.BH2

AH3

：.AB-y/AH2+BH2=«2卧+*=2后.

考点：1.切线的性质；2.根与系数的关系；3.解直角三角形；4.压轴题.

【2016年题组】

一、选择题

1.（2016江苏省连云港市）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的

交点称为格点）.如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值

范围为（）

A.2\[2<r<Vr7B.Vf7<r<3A/2C.VT7<r<5D.5<r<

【答案】B.

【解析】

试题分析：如图，・・・4）=2&,AE=AF=yfn,A8=3&,・・.AB>AE>A。，,JI7<厂V3加时，以A

为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，故选B.

考点：点与圆的位置关系.

2.（2016吉林省长春市）如图，PA.是。。的切线，切点分别为A、B,若OA=2,ZP=60°,

则A8的长为（）

24D.L

A.-71B.nC.-7T

333

【答案】C.

【解析】

考点：1.弧长的计算；2.切线的性质.

3.（2016山东省德州市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步,

股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角

边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

【答案】C.

【解析】

考点：三角形的内切圆与内心.

4.（2016江苏省无锡市）如图，AB是。。的直径，AC切。O于A,BC交OO于点、D,若NC=70°,则NAOD

的度数为（）

A.70°B.35°C.2