走进数学建模世界教学设计

第二届东冰・中国I廊舐学师范专业

理科大学生教学技能创新实践大赛

参赛教案

课题:走进数学建模世界

教材：修①3。2函数模型及其应用

授课对象：高一学生

参赛选手：华南师范大学黄泽君

选手专业：数学与应用数学（师范）

数学的魅力在于,

第二届东芝杯•中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛

她能以稳定的模式驾驭流动的世界!

《走进数耨模世界》

【教材】人教版数学必修①3。2函数模型及其应用【课时却Q第4课时

【教学对象】高■浮生【授i瞰师】华南师范大学数学科学学院黄泽君

【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学

建模的课时和内容作具体安排，只是建议懒学建模穿插在相关模块的教学中.

而32函数模型及其应用“一节只是通过六个例子介绍一次函数、二^函数、

频函数、对数函数与幕函数在解决实际问题中的作用，为以后的数例年践

打基础，还未能使学生真I■解数学建模的真实全过程.本节课通过一个较为真实

的数学建模案例，以弥木康材的这一不足。

【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要腌前面已学过的二次函

数与三角函数的相关性质。

【教学目标】

今知识与技能

(1)初步理解数学模型、数学建模两个概念；

(2)掌握框图2--数学建模的过程。

今过程与方法

(1)经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；

(2)提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。

今情感态度价值观

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(1)体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；

(2)感受数学的实用价值，增强应用意识；

(3)体味数学以不变应万变的魅力。

【教学重点】框图2—数学建模的过程.

［教学难点、关键］方案二中答案的探索;关键是运用合情推理.

【教学方法】引导探索、讨论交施

【教狩段】PPT、几何1杭

【教学过程设计】

-教学艇削

设计意图：与大学数学建模相比，过去的中学

实际问题化为------

教学建模缺少理想化(模型假设)i文一事要的

设计意图：展示将理想化问题转化为数学问题

演化问题化为_____

..............—J

求解数学模型设计意图：展示"解模"过程.

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设计意图：

数学建模过程

设计意图：

1.让学生经历数学建模中的优化过程；

设计意图：

什么是1.使学生获得科学的数学建模理论：数学建模

与数学模型的概念、数学建模的具体过程;

■

设计意图：

牛刀小试1.根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设

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现有宽为a的长方形板材，请将它设计制

(―)成向来的开口的长条形水槽，使水槽能通过

的流水量最大。

实际教师学生与大学

引导听讲数学建

化为学生思量模相比，

臃阅读过去的

化问iQA理解中学数

题1.初步整化问题学建模

估计在单位时间内，该水槽能通过的流水量取决缺少理

时间于水流速度和它的横截面积。我们将问题理并将想化这

2想化/限定水流速度是一定的.那末，要在单其理一重要

分钟位时间内获得最大的流水量，就应该将水槽想化的环节。

设计成横截面积最大。于是，问题化归为：本环节

现有宽为a的长方形板材，请将它设计制成意在恢

一开口的长条形水槽，使水槽的横截面积最复数学

尢"建模的

2,注■步理©化真实面

如果将水槽的横截面设计成矩形，那末这目。

一实际问题可以转化为理想化问题：

如下图所示，要建造一个横截面为矩形

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ABCD的水槽，并且AB,BC,CD的长度

之和等于a.问应当怎样设计水槽的深度和宽

度，使水槽的横截面积最大?

/

A.

B'/1

(-)1.寻觅变量以及变量之间的关系

在此问题中，水槽的深度是一个变量，宽展示将

将理度是另一个变量，横截面积也是一个变量。教师学生理想化

设AB=x,BC=y。矩形ABCD的面积为S。引导听讲问题转

问题那末，这三个变量之间的关系是S=xy。讲解思量化为数

变量S由两个变量x和y确定如果我们学问题

为数

能使面积S表达式只由一悭量确定，那末的数学

学问我们研究的问题就可以简化，这就需要寻觅化过程.

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题两个变量X和y之间的关系.显然，

估计2x+y=a.

时间2,建谴学模型

3S=x(a-2x)

分钟.将实际问题转化为一个纯数学问题：

当X取何值时，函数S=x(a-2x)(0<xT)

2

有最大值？

因为S=x(a-2x)-2(x-a)2〈岁,

848

所以，当x=工时，s有最大值0.125a2。

4

(三)教师学生展

止忸寸,v=a-2x=：.

2

引导听讲示

瞬分析思量解

讲解求解模

堀模型过

当水槽的横截面设计成矩形时,只要将深度、

程

宽度分别设计为工和生时，可得到最大的横

42

截面积，从而口J获得最大的流水量。

结果

可将上述数学建模的过程概括为下面的

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估计框图1:

时间

2

分钟

结合这

（四）教师学生一实际

引导听讲问题的

数学讲解思量解决过

程，概括

过程出数学

建模的

估计基本过

时间程，以实

2分现由具

钟・体到抽

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象的升

华。

（五）我们前面的设计是将横截面设计成矩形，

将深度、宽度分别设计为a.和工时，可得到教师学生1.让学

42

融最大的横截面积，将学动手生经历

解的如果将水槽的横截面分别按照下图中的生分探索数学建

屐五种方案进行设,结果又如何呢？成五各自模中的

估计个小的优化i寸

方案一方案二

时间组，程；

7«h__A并巡方案2.培养

分钟a

T腌学生的

三角能然腰描形

分探究意

方案三方案四领识。

2决问

5

445$题.

四个底角都为五个底角都为

67.5。的等腰三角形72。的等腰三角形

由

一

缺IT

少

导

数

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下面，我们将全班分成5个小组，分别

探索五个方案的设计。最后派代表报告本小

组的探索结果。

:S=1X（a—x）sin9共！X（a—x）

教师学生通过观

22

=—_J（x—'la）?共丝=0.125a2.总结代表察、试

8228

点评讲解算估算

浮=900,且x=_Ja时，S=0.125a2.

2max

各自与数学

a士

辘75^^:s=1（2a+2._.sin9）cos9

2333方案实验，培

解的

=^（1+sin9）cos9

9的答养学生

腐

（演示数学实验）案的合情

西

9=30o时,S必0.144a2推理能

估计mas

并指

方案三（四个底角为67.5。的等腰三角形）：力和数

时间出运

火犬必用导

S=44tan67.500.151a2.学发现

248数工

7

具可

方案四（五个底角为72。的等腰三角形）：能力.

分钟以证

S=5人［&舄tan72o必0.154a2.明我

们的

答案

方案五：

是正

确的

a\己2

•.•几r=a,：r石.：S—几12二^必0.159a2.

几22几

通过比较以上五种方案和横截面设计为

矩形时的情况可以得出，方案五是这个实际

问题的最优解，即：

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将水槽的横截面设计为半径为土的半圆

形时，从而RJ状得最大的流水量。

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以上我们进行了六种设计方案的探索后，才

找到了该问题的最优解。这就表明，数学建

模需要对所得到的结果进行检验评价，以确教师学生1.使学

认结果是否合理，是否是较好的结果.如果结讲解听讲生获得

（六）果不满意，就需要重新回到"理想化问题”概括思量科学的

这一环节。于是，我们就可以概括出一个较数学建

什么为完善的数学建模过程的框图。模理论：

是框图2:数学建

数学模与数

实际问题

学模型

重新理想化

理想化问题

估计f寻觅变量关系数学建

时间模的具

f建立数学模型

6体过程；

分钟2.体会

数学以

求解数学模型

不变应

结果不理想

万变的

结果是不合理

魅力；

是

问题获得解决

3.弥补

《标准》

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中数学

的建模

理论的

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根据这个框图，我们就可以来回答什么是数

狰模？

数学建模(MathematicalModelling):

就是运用数学化的手段从实际问题中提炼、

抽象出一个数学模型，求出模型的解，检验模

型的合理性，从而使这一实际问题得以解决

的过程.

数学模型就是用数学语言符号来描述

客观事物的特征及芟内在联系的数学结构

表达式.例如，各种函数、方程、不等式、

不等式组等等都是比较常见的数学模型。

世界上最简单的数学模型是表示数的

字母a。数学模型"a”有两方面的含义：

1。作为结果，她表示的是一个确定的

数值，可以参预运算；

2。作为过程，她表示的是一个变量:可

大可小；可正可负；可以是有理数也可以使

也瞰

由于数学模型具有高度的抽象性、概括

性和结构的确定性，所以数学模型能以不变应

万变。不管是中文还是英文，一个字所能表

达的意义十分有限，但我们的数学模型"a"

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却可以表示无穷无尽的对象——流动的世

界。

又比如说勾股定理，这一模型可以用来

处理数以亿计的实际问题。从小到斜边长为

一微米的直角三角形到大至斜边长为十万八

千里的直角三角形，只要是直角三角形，它们

居然都满足同样的结构模型：

斜边的平方等于两条直角边的平方之和。

我不知道,这个世界上还有什么学科象数学这

样如此简洁，如此概括，如此统一。

我只知道：

"数学的魅力在于，

她能以稳定的模式驾驭流动的世界！"

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如下图，某房地产公司拥有一块“缺角矩

1O根据

形“荒地ABCDE,边长和方向如图所示，欲在练习律

（七）这块地上建一座地基为长方形东西走向的公教师学生和强化

寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积。动手凰里，强

牛刀\北说明解决化刚刚

100m

小试A问题.问题获得的

估计西最后数学建

80m

时间60m演示模理论；

\______________

14C70mD数学2.培养

分钟数学实验实验.学生的

问题解

能力。

1.小结1。小结

这节课，我们通过解决一个实际问题，带意在强

(A)大家走进了数学建模世界。教师学生化数学

数学建模就是……；讲解内化建模理

。冷数学模型就是……;点化数学论，成

与数学建模的具体过程……建模知识组

陶我们还感受到了理论块；

思量"数学的魅力在于，2.设计

她能以稳定的模式驾驭流动的世界！"四个课

华南师范大学数学科学学院黄泽君第16页

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估计2.课后思■:后思考

时间(1)将各方案中的图形沿虚线向上翻折，并观察思曲目

2考：周长为2a的凸多边形，什么时候面积最大？教师学生的是培

分钟(2)家庭物理小实验呈现思量养学生

先将一条长度固定的柔软丝线的两头连接起问题准备的数学

来，再将此封闭的曲线轻轻放在一个蒙有肥皂膜的解决探究能

问题1：

正方形(边长约5cm)铁丝框上的肥皂膜上(注意，问题力、动手

是让学

生探索

别弄破肥皂膜！),最后用小钉将曲线内的肥皂膜刺实践能

发现周问题2:

长一定让学生

破。你观察到什么现象，说明了什么问题？力和数

的凸多通过动

边形中手实践

(3)请你匡助吉东皇后解决问题学创新

，正多发现周

边形的长一定

吉东是泰雅皇帝的女儿，历经周折，逃到非洲，意识。

面积最的图形

大.中，圆

且成为迦太基的创始人和第一位奇妙的皇后。刚到

的面积

最大.问题3：

非洲时，吉东要在靠海岸线的地方购买"一张兽皮"

是等周间

题在解决

的土地：她把兽皮剪成细条，结成长绳，剩下的问

实际问题

中的应

题是:怎么围，才会得到最多的土地呢？