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文档简介
鲁教版八年级上第五章平行四边形3三角形的中位线微专题4构造三角形中位线的方法
4
【点拨】如图，取
BC
的中点
G
，连接
EG
.
∵
E
是
AC
的中点，∴
EG
是△
ABC
的中位线，
设
CD
＝
x
，则
EF
＝
BC
＝2
x
，∴
BG
＝
CG
＝
x
，∴
DG
＝2
x
＝
EF
.
∵
EF
∥
CD
，∴四边形
EGDF
是平行四边形，∴
DF
＝
EG
＝4.方法点拨：中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此
当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线.变式1连接两边的中点构造中位线
1.
如图，在△
ABC
中，
D
是
BC
上一点，
E
，
F
，
G
，
H
分
别是
BD
，
BC
，
AC
，
AD
的中点，连接
GH
，
EG
，
FH
，求证：
EG
，
HF
互相平分.1234【证明】连接
EH
，
GF
.
∵
E
，
F
，
G
，
H
分别是
BD
，
BC
，
AC
，
AD
的中点，∴
EH
∥
AB
∥
GF
，
GH
∥
DC
，∴四边形
EHGF
为平行四边形.∴
EG
，
HF
互相平分.1234变式2取某边的中点构造中位线
2.
[2024·烟台莱州市期末]如图，在四边形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，且
AC
＝
BD
，
E
，
F
分别是
AB
，
CD
的中点，
EF
分别交
BD
，
AC
于点
G
，
H
.
求
证：
OG
＝
OH
.
1234【证明】如图，取
BC
边的中点
M
，连接
EM
，
FM
.
∵
M
，
F
分别是
BC
，
CD
的中点，
∴∠
MFE
＝∠
OGH
.
∵
AC
＝
BD
，∴
ME
＝
MF
，∴∠
MEF
＝∠
MFE
，∴∠
OGH
＝∠
OHG
，∴
OG
＝
OH
.
1234变式3利用垂直和角平分线构造中位线
3.
如图，在△
ABC
中(
AB
≠
AC
)，
M
为
BC
的中点，
AD
平
分∠
BAC
交
BC
于点
D
，
BE
⊥
AD
于点
E
，
CF
⊥
AD
于
点
F
，求证：
ME
＝
MF
.
1234【证明】如图，延长
CF
交
AB
于点
G
，延长
BE
交
AC
的
延长线于点
H
.
∵
AF
⊥
GC
，
AD
平分∠
BAC
，∴易得
AG
＝
AC
，
GF
＝
CF
.
又∵点
M
是
BC
的中点，∴
MF
是△
BCG
的中位线，
∵
AD
平分∠
BAC
，
BE
⊥
AD
，∴易得
AB
＝
AH
，∴
BG
＝
AB
－
AG
＝
AH
－
AC
＝
CH
，∴
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