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文档简介
鲁教版八年级上第五章平行四边形3三角形的中位线微专题4构造三角形中位线的方法
4
【点拨】如图,取
BC
的中点
G
,连接
EG
.
∵
E
是
AC
的中点,∴
EG
是△
ABC
的中位线,
设
CD
=
x
,则
EF
=
BC
=2
x
,∴
BG
=
CG
=
x
,∴
DG
=2
x
=
EF
.
∵
EF
∥
CD
,∴四边形
EGDF
是平行四边形,∴
DF
=
EG
=4.方法点拨:中位线具有平移角、倍分转化线段的功能,因此
当遇到中点或中线时,应考虑构造中位线.变式1连接两边的中点构造中位线
1.
如图,在△
ABC
中,
D
是
BC
上一点,
E
,
F
,
G
,
H
分
别是
BD
,
BC
,
AC
,
AD
的中点,连接
GH
,
EG
,
FH
,求证:
EG
,
HF
互相平分.1234【证明】连接
EH
,
GF
.
∵
E
,
F
,
G
,
H
分别是
BD
,
BC
,
AC
,
AD
的中点,∴
EH
∥
AB
∥
GF
,
GH
∥
DC
,∴四边形
EHGF
为平行四边形.∴
EG
,
HF
互相平分.1234变式2取某边的中点构造中位线
2.
[2024·烟台莱州市期末]如图,在四边形
ABCD
中,对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,且
AC
=
BD
,
E
,
F
分别是
AB
,
CD
的中点,
EF
分别交
BD
,
AC
于点
G
,
H
.
求
证:
OG
=
OH
.
1234【证明】如图,取
BC
边的中点
M
,连接
EM
,
FM
.
∵
M
,
F
分别是
BC
,
CD
的中点,
∴∠
MFE
=∠
OGH
.
∵
AC
=
BD
,∴
ME
=
MF
,∴∠
MEF
=∠
MFE
,∴∠
OGH
=∠
OHG
,∴
OG
=
OH
.
1234变式3利用垂直和角平分线构造中位线
3.
如图,在△
ABC
中(
AB
≠
AC
),
M
为
BC
的中点,
AD
平
分∠
BAC
交
BC
于点
D
,
BE
⊥
AD
于点
E
,
CF
⊥
AD
于
点
F
,求证:
ME
=
MF
.
1234【证明】如图,延长
CF
交
AB
于点
G
,延长
BE
交
AC
的
延长线于点
H
.
∵
AF
⊥
GC
,
AD
平分∠
BAC
,∴易得
AG
=
AC
,
GF
=
CF
.
又∵点
M
是
BC
的中点,∴
MF
是△
BCG
的中位线,
∵
AD
平分∠
BAC
,
BE
⊥
AD
,∴易得
AB
=
AH
,∴
BG
=
AB
-
AG
=
AH
-
AC
=
CH
,∴
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