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文档简介
鲁教版八年级上第五章平行四边形专题7利用平行四边形的性质与判定的四种常见题型题型1利用平行四边形的性质与判定方法判定平行四边形
1.
[2024·济南章丘区期末]如图①，在▱
ABCD
中，∠
BAD
的
平分线恰好经过边
CD
的中点
F
，且与边
BC
的延长线交
于点
E
.
12345678(1)若
AB
＝6，求
BE
的长；【解】∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AD
∥
BC
，∴∠
DAF
＝∠
E
.
∵
AE
是∠
BAD
的平分线，∴∠
DAF
＝∠
BAE
，∴∠
BAE
＝∠
E
，∴
BE
＝
AB
＝6.12345678(2)如图②，连接
BF
，过点
D
作
DG
⊥
AE
，交
AE
于点
H
，交
AB
于点
G
.
求证：四边形
BFDG
是平
行四边形.12345678
123456782.
[2023·济南章丘区期末]如图，在▱
ABCD
中，
E
，
F
分别
是
AD
，
BC
边上的点，且∠
ABE
＝∠
CDF
.
(1)求证：四边形
BEDF
是平行四边形；【证明】∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AD
∥
BC
，
AD
＝
BC
，∠
A
＝∠
DCF
，
AB
＝
CD
.
∵∠
ABE
＝∠
CDF
，∴△
ABE
≌△
CDF
(ASA)，∴
AE
＝
CF
，∴
AD
－
AE
＝
BC
－
CF
，即
DE
＝
BF
.
∵
DE
∥
BF
，∴四边形
BEDF
是平行四边形.12345678(2)连接
CE
，若
CE
平分∠
DCB
，
CF
＝3，
DE
＝5，求▱
ABCD
的周长.【解】∵
AD
∥
BC
，∴∠
DEC
＝∠
ECB
.
∵
CE
平分∠
DCB
，∴∠
DCE
＝∠
ECB
，∴∠
DEC
＝∠
DCE
，∴
CD
＝
DE
＝5.∵四边形
BEDF
是平行四边形，
∴
BF
＝
DE
＝5，∴
BC
＝
BF
＋
CF
＝5＋3＝8，∴▱
ABCD
的周长＝2(
BC
＋
CD
)＝2×(8＋5)＝26.12345678题型2利用平行四边形的性质与判定探究线段的关系
3.
如图，点
E
，
F
在
AC
上，
AD
∥
BC
，
DE
∥
BF
，
AE
＝
CF
.
(1)求证：四边形
BEDF
是平行四边形；【证明】∵
AD
∥
BC
，∴∠
A
＝∠
C
.
∵
DE
∥
BF
，∴∠
DEF
＝∠
BFE
，∴∠
AED
＝∠
CFB
.12345678
12345678(2)写出图中所有相等的线段(
AE
＝
CF
除外).【解】由(1)可知△
ADE
≌△
CBF
，四边形
BEDF
是平行四边形，∴
AD
＝
CB
，
DE
＝
BF
，
BE
＝
DF
.
∵
AE
＝
CF
，∴
AE
＋
EF
＝
CF
＋
EF
，即
AF
＝
CE
，∴图中所有相等的线段(
AE
＝
CF
除外)为
AD
＝
CB
，
DE
＝
BF
，
BE
＝
DF
，
AF
＝
CE
.
123456784.
在▱
ABCD
中，∠
BAD
的平分线
AE
交
BC
于点
E
，∠
ADC
的平分线
DF
交
BC
于点
F
，
AE
与
DF
交于点
G
.
(1)如图①，求证：
BF
＝
CE
；12345678【证明】∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AB
＝
CD
，
AD
∥
BC
，∴∠
DAE
＝∠
AEB
.
∵
AE
平分∠
BAD
，∴∠
BAE
＝∠
DAE
，∴∠
BAE
＝∠
AEB
，∴
AB
＝
BE
.
同理
DC
＝
CF
.
又∵
AB
＝
CD
，∴
BE
＝
CF
，∴
BF
＝
CE
.
12345678(2)如图②，若
AD
＝3
FE
，在不添加任何辅助线的情况
下，请直接写出图②中的四条线段，使写出的每条线
段的长都等于线段
EF
长的2倍.【解】等于线段
EF
长的2倍的线段有
BE
，
AB
，
CD
，
CF
.
12345678【点拨】∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AD
＝
BC
.
∵
AD
＝3
FE
，∴
BC
＝3
EF
，∴
BF
＋
CE
＝2
EF
.
∵
BF
＝
CE
，∴
BF
＝
EF
＝
CE
，∴
BE
＝
CF
＝2
EF
，由(1)可知
BE
＝
AB
＝
CF
＝
CD
，∴等于线段
EF
长的2倍的线段有
BE
，
AB
，
CD
，
CF
.
123456785.
[2024·济宁高新技术产业开发区期末]如图，在▱
ABCD
中，
AF
平分∠
BAD
交
BC
于点
F
，
CE
平分∠
BCD
交
AD
于点
E
.
(1)若
AD
＝12，
AB
＝8，求
CF
的长；12345678【解】∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AD
∥
BC
，
BC
＝
AD
＝12，∴∠
DAF
＝∠
AFB
.
∵
AF
平分∠
BAD
，∴∠
BAF
＝∠
DAF
，∴∠
AFB
＝∠
BAF
，∴
BF
＝
AB
＝8，∴
CF
＝
BC
－
BF
＝12－8＝4.12345678(2)连接
BE
，
DF
，
BE
和
AF
相交于点
G
，
DF
和
CE
相
交于点
H
，连接
GH
，求证：
EF
和
GH
互相平分.【证明】∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴∠
BAD
＝∠
BCD
.
∵
AF
平分∠
BAD
，
CE
平分∠
BCD
，∴∠
DAF
＝∠
FCE
.
∵∠
DAF
＝∠
AFB
，∴∠
AFB
＝∠
FCE
，∴
AF
∥
CE
.
∵
AE
∥
CF
，∴四边形
AFCE
是平行四边形，∴
AE
＝
CF
.
12345678∵
AD
＝
BC
，∴
DE
＝
BF
.
∵
DE
∥
BF
，∴四边形
BFDE
是平行四边形，∴
BE
∥
DF
.
∵
AF
∥
CE
，∴四边形
EGFH
是平行四边形，∴
EF
和
GH
互相平分.12345678题型3利用平行四边形的性质与判定解决翻折问题
6.
如图，在长方形纸片
ABCD
中，翻折∠
B
，∠
D
，使
BC
，
AD
都恰好落在
AC
上，
F
，
H
分别是
B
，
D
落在
AC
上的两点，
E
，
G
分别是折痕
CE
，
AG
与
AB
，
CD
的交点.(1)求证：四边形
AECG
是平行四边形；12345678
∴四边形
AECG
是平行四边形.12345678(2)若
AB
＝4
cm，
BC
＝3
cm，求线段
EF
的长.
123456787.
(1)如图①，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
是∠
BAC
的平
分线，过点
B
作
BE
∥
AC
，交
AD
的延长线于点
E
.
求
证：
AB
＝
BE
.
【证明】∵
AD
是∠
BAC
的平分线，∴∠
BAD
＝∠
CAD
.
∵
BE
∥
AC
，∴∠
CAD
＝∠
E
.
∴∠
BAD
＝∠
E
.
∴
AB
＝
BE
.
12345678(2)如图②，将平行四边形纸片
ABCD
折叠，使得点
C
落
在点
A
的位置，点
D
落在点
G
的位置，折痕为
EF
，连
接
CF
.
求证：四边形
AECF
是平行四边形.12345678【证明】根据折叠可得
AE
＝
CE
，∠
AEF
＝∠
CEF
.
∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AD
∥
CB
.
∴∠
AFE
＝∠
CEF
.
∴∠
AEF
＝∠
AFE
.
∴
AE
＝
AF
.
∵
AE
＝
CE
，∴
AF
＝
CE
.
又∵
AF
∥
CE
，∴四边形
AECF
是平行四边形.12345678题型4利用平行四边形的性质解决动点问题
8.
如图，在四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AD
＝6
cm，
BC
＝1
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