2025《初中数学》专题突破专题54 一次函数中的45°角问题（含答案及解析）

例题精讲例题精讲【例1】．如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为．【变1-2】．如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q的坐标为．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为．变式训练【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，直线BC与x轴正半轴交于点C，若∠ABC＝45°，则直线BC的函数表达式是（）A．y＝3x﹣2 B．y＝x﹣2 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2【变2-2】．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．1．如图，直线y＝x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，若∠ABO+∠ACO＝45°，则点C的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是．3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝﹣x+3．点C是AO上一点且OC＝1，点D在线段BO上，分别连接BC，AD交于点E，若∠BED＝45°，则OD的长是．4．如图，直线y＝4x+4交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC：y＝﹣x+4交x轴于点C，点P为线段BC上一点，∠PAB＝45°，求点P的坐标．5．如图，正比例函数y＝kx经过点A，点A在第二象限，过点A作AC⊥y轴于点C，AC＝2，且△AOC的面积为5．（1）求正比例函数的解析式；（2）若直线y＝ax上有一点B满足∠AOB＝45°，且OB＝AB，求a的值．6．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝OB＝OC＝6，过点A的直线AD交直线BC于点D，交y轴于点E，△ABD的面积为18．（1）求点D的坐标．（2）求直线AD的表达式及点E的坐标．（3）过点C作CF⊥AD，交直线AB于点F，求点F的坐标．7．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3分别交x、y轴于点B、A．（1）如图1，点C是直线AB上不同于点B的点，且CA＝AB．则点C的坐标为；（2）点C是直线AB外一点，满足∠BAC＝45°，求出直线AC的解析式；（3）如图3，点D是线段OB上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在线段AB上的点E处，点M在射线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．直角坐标系中，点A的坐标为（9，4），AB⊥x轴于点B，AC垂直y轴于点C，点D为x轴上的一个动点，若CD＝2．（1）直接写出点D的坐标；（2）翻折四边形ACOB，使点C与点D重合，直接写出折痕所在直线的解析式；（3）在线段AB上找点E使∠DCE＝45°．①直接写出点E的坐标；②点M在线段AC上，点N在线段CE上，直接写出当△EMN是等腰三角形且△CMN是直角三角形时点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（6，0）为坐标轴上的点，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D，点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE．（1）直接写出E点的坐标；（2）过点B作BG∥CE，交y轴于点G，交直线CD于点H，求四边形ECBG的面积；（3）直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，6），以A为顶点的∠BAC的两边始终与x轴交于B、C两点（B在C左面），且∠BAC＝45°．（1）如图1，连接OA，当AB＝AC时，试说明：OA＝OB．（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，当DC＝2时，将∠BAC沿AC所在直线翻折，翻折后边AB交y轴于点M，求点M的坐标．11．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．易证：△BEC≌△CDA模型应用：如图2，已知直线l1：y＝x+4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2．（1）在直线l2上求点C，使△ABC为直角三角形；（2）求l2的函数解析式；（3）在直线l1、l2分别存在点P、Q，使得点A、O、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？请直接写出点Q的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣2，﹣2），过点M作直线AB，交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B（0，m）．（1）如图1，当m＝﹣6时．i）求直线AB的函数表达式；ii）过点A作y轴的平行线l，点N是l上一动点，连接BN，MN，若S△MBN＝S△ABO，求满足条件的点N的坐标．（2）如图2，将直线AB绕点B顺时针旋转45°后，交x轴正半轴于点C，过点C作CD⊥BC，交直线AB于点D．试问：随着m值的改变，点D的横坐标是否发生变化？若不变，求出点D的横坐标；若变化，请说明理由．13．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x﹣4与x轴，y轴分别交于点A、B，与直线y＝3交于点C，点D为直线y＝3上点C右侧的一点．（1）如图1，若△ACD的面积为6，则点D的坐标为；（2）如图2，当∠CAD＝45°时，求直线AD的解析式；（3）在（2）的条件下，点E为直线AD上一点，设点E的横坐标为m，△ACE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．14．（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．15．【模型建立】：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】：（2）如图②，已知直线l1：y＝﹣2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式；（3）如图③，平面直角坐标系内有一点B（﹣4，﹣6），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝3x+3上的动点且在第三象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．

例题精讲例题精讲【例1】．如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为（5，﹣6）．解：如图所示，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为（﹣4，﹣8），由于旋转可知，△ABC为等腰直角三角形，令线段AC和线段BP交于点M，则M为线段AC的中点，所以点M的坐标为（4，﹣4），又B为（0，4），设直线BP为y＝kx+b，将点B和点M代入可得，解得k＝﹣2，b＝4，可得直线BP为y＝﹣2x+4，由于点P为直线BP和直线y＝﹣x﹣1的交点，则由解得，所以点P的坐标为（5，﹣6），故答案为（5，﹣6）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为y＝3x+4．解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝4，令y＝0，则x＝2，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，在△ABO和△FAE中，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，∴F（﹣2，﹣2），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+4，把F的坐标代入得，﹣2＝﹣2k+4，解得k＝3，∴直线BC的函数表达式为：y＝3x+4，故答案为：y＝3x+4．【变1-2】．如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q的坐标为（，﹣）．解：过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG⊥FG于G，将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，解得：b＝﹣9，∴直线l1的解析式为y＝2x﹣9，将x＝8代入y＝2x﹣9中，解得：y＝7，∴点B的坐标为（8，7），将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得7＝8k﹣1，解得：k＝1，∴直线l2的解析式为y＝x﹣1，∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，∴∠EQG＝∠QAF，∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，∴△AQE是等腰直角三角形，∴EQ＝QA，在△EGQ和△QFA中，，∴△EGQ≌△QFA（AAS），∴EG＝QF，QG＝AF，设Q（a，a﹣1），∵A（2，﹣5），∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，∴点E坐标（2a+4，1），把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，得4a+8﹣9＝1，解得：a＝，∴点Q的坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，﹣6）．解：一次函数y＝2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，作DB⊥AB交直线AC于D，过点D作DE⊥y轴与E，∵∠BAD＝45°，∴△BAD是等腰直角三角形，∴AB＝DB，∵∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠DBE＝90°，∴∠OAB＝∠DBE，在△ABO和△BDE中，∴△ABO≌△BDE（AAS），∴BE＝OA＝2，DE＝BO＝4，∴D（﹣4，6），设直线AC的函数表达式为：y＝kx+4，把A、D的坐标代入得，解得，∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣3x﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．故答案为：（0，﹣6）．变式训练【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，直线BC与x轴正半轴交于点C，若∠ABC＝45°，则直线BC的函数表达式是（）A．y＝3x﹣2 B．y＝x﹣2 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2解：∵一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，∴A（1，0），B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，如图，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，∴F（3，﹣1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，，∴，∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣2，故选：B．【变2-2】．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝1；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，故答案为1；（2）∵一次函数y＝2x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．1．如图，直线y＝x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，若∠ABO+∠ACO＝45°，则点C的坐标为（﹣2，0）（2，0）．解：∵直线y＝x+1与坐标轴交于A、B两点∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣3∴点A（0，1），点B（﹣3，0）如图：取点D（﹣1，0），当点C在原点右边，设点C（a，0）∵点A（0，1），点D（﹣1，0），点B（﹣3，0）∴OA＝OD＝1，OB＝3，BD＝2∴∠ADO＝∠DAO＝45°，AB＝＝∴∠ABO+∠BAD＝45°又∵∠ABO+∠ACO＝45°∴∠ACO＝∠BAD，且∠ABO＝∠ABO∴△ABD∽△CBA∴即∴a＝2∴点C坐标为（2，0）若点C在原点左边，记为点C1，∵∠ABO+∠ACO＝45°，∠ABO+∠AC1O＝45°∴∠ACO＝∠AC1O且∠AOC＝∠AOB＝90°，AO＝AO∴△ACO≌△AC1O（AAS）∴OC＝OC1＝2∴点C1（﹣2，0）故答案为：（2，0），（﹣2，0）2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是12．解：作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．∴m＞0．∵∠CPA＝∠ABO＝45°，∴∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，∴△PCD∽△APB，∴，即＝，解得m＝12．故答案是：12．3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝﹣x+3．点C是AO上一点且OC＝1，点D在线段BO上，分别连接BC，AD交于点E，若∠BED＝45°，则OD的长是．解：方法一：在x轴负半轴截取OF＝，过点F作FH⊥AF交AD的延长线于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，∵OC：OB＝1：4，OF：OA＝÷3＝1：4，∴将△BOC逆时针旋转90°时，再将点B平移到与点A重合时，此时的∠FAO和∠CBO重合，∴∠FAO＝∠CBO，∵FH⊥AF，∴∠AFO+∠HFP＝90°，而∠AFO+∠FAO＝90°，∴∠FAO＝∠HFP＝∠CBO，∴BC∥FH，∴∠FHA＝∠BED＝45°，∴△AFH为等腰直角三角形，∴AF＝FH，而∠AOF＝∠FPH，∠FPH＝∠AFO，∴△AOF≌△FPH（AAS），∴PF＝AO＝3，PH＝OF＝，故OP＝FP﹣OF＝3﹣＝，故点H（，﹣），设直线AH的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AH的表达式为y＝﹣x+3，令y＝0，则y＝﹣x+3＝0，解得：x＝，故点D（，0），故OD＝，故答案为．方法二：过点A作x轴的平行线MN，交过点E与y轴的平行线于点M，交过点F与y轴的平行线于点N，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+1，同理可证：△EMA≌△ANF（AAS），则AN＝ME＝3+m﹣1＝m+2，NF＝AM＝m，则点F的坐标为（﹣m﹣2，3﹣m），将点F的坐标代入直线BC的表达式并解得m＝，故点E的坐标为（，），由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝，故OD＝，故答案为．4．如图，直线y＝4x+4交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC：y＝﹣x+4交x轴于点C，点P为线段BC上一点，∠PAB＝45°，求点P的坐标．解：由题可得A（﹣1，0），B（0，4），C（4，0），设P（m，4﹣m），过点P做PD⊥AB，∴AB＝，AC＝5，△ABC的面积＝＝+××PD，∴PD＝m，∵∠PAB＝45°，∴AP＝m，∴（m）2＝（4﹣m）2+（m+1）2，∴m＝，∴P（，）；5．如图，正比例函数y＝kx经过点A，点A在第二象限，过点A作AC⊥y轴于点C，AC＝2，且△AOC的面积为5．（1）求正比例函数的解析式；（2）若直线y＝ax上有一点B满足∠AOB＝45°，且OB＝AB，求a的值．解：（1）∵AC⊥y轴．∴∠ACO＝90°∵△AOC的面积为5，∴S△AOC＝AC•OC＝5，又∵AC＝2，∴OC＝5．∴A（﹣2，5），将点A（﹣2，5）代入y＝kx，解得k＝﹣，∴正比例函数的解析式为y＝﹣x；（2）①当点B在第二象限时，如图，∵∠AOB＝45°，且OB＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形．∴∠ABO＝90°，∴∠ABF+∠EBO＝90°，如图，过B作BE⊥x轴于E，交CA延长线于点F．∵∠FEO＝∠EOC＝∠ACO＝90°，∴四边形CFEO是矩形，∠CFB＝90°，∴∠ABF+∠FAB＝90°，∴∠EBO＝∠FAB，∴△EBO≌△FAB（AAS）．∴BE＝AF，EO＝FB．又∵OC＝FE＝FB+BE＝5，AC＝CF﹣AF＝2，∴EO+BE＝5，EO﹣BE＝2，解得：EO＝，BE＝．∴B（﹣，），将B（﹣，）代入y＝ax，解得a＝﹣．∴a＝﹣．②当点B在第一象限时，OB1＝OB，过点O作OB1⊥OB，则∠AOB1＝45°，如图所示，过点B1作B1G⊥x轴于点G，则∠B1GO＝∠BEO＝90°，又∵∠B1OB＝90°，∴∠B1OG+∠BOE＝90°，∵∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠OBE＝∠B1OG，∴△OBE≌△B1OG（AAS），∴OE＝B1G＝，BE＝OG＝，∴B1（，），将B1（，）代入y＝a1x，解得a1＝．综上，a的值为﹣或．6．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝OB＝OC＝6，过点A的直线AD交直线BC于点D，交y轴于点E，△ABD的面积为18．（1）求点D的坐标．（2）求直线AD的表达式及点E的坐标．（3）过点C作CF⊥AD，交直线AB于点F，求点F的坐标．解：（1）由题可得，B（6，0），C（0，6），设BC为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴BC的解析式为y＝﹣x+6，∵OA＝OB＝6，∴AB＝12，∵△ABD的面积为18，∴12×yD＝18，解得yD＝3，当y＝3时，3＝﹣x+6，解得x＝3，∴点D的坐标为（3，3）．（2）由题可得，A（﹣6，0），设直线AD的表达式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AD的表达式为y＝x+2，令x＝2，则y＝2，∴点E的坐标为（0，2）．（3）∵CF⊥AD，CO⊥AB，∴∠FCO+∠AFC＝90°，∠EAO+∠AFC＝90°，∴∠FCO＝∠EAO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴FO＝EO＝2，∴F（2，0）．7．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3分别交x、y轴于点B、A．（1）如图1，点C是直线AB上不同于点B的点，且CA＝AB．则点C的坐标为（﹣4，6）；（2）点C是直线AB外一点，满足∠BAC＝45°，求出直线AC的解析式；（3）如图3，点D是线段OB上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在线段AB上的点E处，点M在射线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，直线y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，由﹣x+3＝0，得x＝4，∴A（0，3），B（4，0）；∵CA＝AB，且点C不同于点B，∴点A是线段BC的中点，即点C与点B关于点A对称，∴点C的横坐标为﹣4，当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）+3＝6，∴C（﹣4，6），故答案为：（﹣4，6）．（2）如图2，射线AC在直线AB的上方，射线AC′在直线AB的下方，∠BAC＝∠BAC′＝45°；作线段AB的垂直平分线交AC于点G，交AC′于点H，交AB于点Q，连接BG、BH，则Q（2，）；作GP⊥y轴于点P，GF⊥x轴于点F，则AG＝BG，AH＝BH，∵BG＝AG，BH＝AH，∴∠GBA＝∠BAC＝45°，∠HBA＝∠BAC′＝45°，∴∠BGA＝∠GAH＝∠AHB＝90°，∴四边形AHBG是正方形；∵∠AGB+∠AOB＝180°，∴∠GBF+∠OAG＝180°，∵∠GAP+∠OAG＝180°，∴∠GBF＝∠GAP，∵∠GFB＝∠GPA＝90°，∴△GBF≌△GAP（AAS），∴BF＝AP，GF＝GP，∵∠FOP＝∠OPG＝∠GFO＝90°，∴四边形OFGP是正方形，∴OF＝OP，∵OB＝4，OA＝3，∴4﹣BF＝3+AP，∴4﹣AP＝3+AP，解得AP＝，∴OP＝OF＝3+＝，∴G（，）；∵点H与点G关于点Q（2，）对称，∴H（，）；设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝x+3；设直线AC′的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴y＝﹣7x+3，综上所述，直线AC的解析式为y＝x+3或y＝﹣7x+3．（3）存在，如图3，平行四边形AMBN以AB为对角线，延长ED交y轴于点R，设OD＝r，由折叠得，∠AED＝∠AOD＝90°，ED＝OD，∴ED＝r，ED⊥AB；∵AB＝＝5，AE＝AO＝3，∴BE＝5﹣3＝2，∵S△AOB＝×3×4＝6，且S△AOD+S△ABD＝S△AOB，∴×3r+×5r＝6，解得r＝，∴ED＝OD＝，∴D（，0）；∵∠DOR＝∠DEB＝90°，∠ODR＝∠EDB，∴△ODR≌△EDB（ASA），∴RO＝BE＝2，∴R（0，﹣2），设直线DE的解析式为y＝px﹣2，则p﹣2＝0，解得p＝，∴y＝x﹣2；∵点N在x轴上，且AM∥BN，∴AM∥x轴，∴点M与点A的纵坐标相等，都等于3，当y＝3时，由x﹣2＝3，得x＝，∴M（，3），∵BN＝AM＝，∴ON＝4﹣＝，∴N（，0）；如图4，平行四边形ABNM以AB为一边，则AM∥x轴，且AM＝BN＝．∵ON＝4+＝，∴N（，0），综上所述，点N的坐标为（，0）或（，0）．8．直角坐标系中，点A的坐标为（9，4），AB⊥x轴于点B，AC垂直y轴于点C，点D为x轴上的一个动点，若CD＝2．（1）直接写出点D的坐标；（2）翻折四边形ACOB，使点C与点D重合，直接写出折痕所在直线的解析式；（3）在线段AB上找点E使∠DCE＝45°．①直接写出点E的坐标；②点M在线段AC上，点N在线段CE上，直接写出当△EMN是等腰三角形且△CMN是直角三角形时点M的坐标．解：（1）如图1，∵点A的坐标为（9，4），AC⊥y轴于点C，∴OC＝4，∵点D为x轴上的一个动点，CD＝2，由勾股定理得：OD＝＝＝2，∴D（2，0）或（﹣2，0）；（2）分两种情况：①当D（2，0）时，如图2，连接ED，设ED＝x，由翻折得CD⊥EF，CE＝ED＝x，∴OE＝4﹣x，Rt△OED中，由勾股定理得：x2＝22+（4﹣x）2，解得：x＝，∴OE＝4﹣＝，∵∠OCD+∠CEF＝∠OCD+∠CDO＝90°，∴∠CEF＝∠CDO，∵∠ECF＝∠COD＝90°，∴△FCE∽△COD，∴，即，∴FC＝5，∴F（5，4），设直线EF的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴直线EF的解析式为：y＝；②当D（﹣2，0）时，如图3，连接ED，同理得：E（0，），∵△DOC∽△EOF，∴＝，∴OF＝2OE＝3，∴F（3，0），同理得EF：y＝﹣x+，综上，折痕所在直线的解析式是y＝或y＝﹣x+；（3）①当D（2，0）时，如图4，过E作EF⊥CD，交CD的延长线于F，过F作FH⊥y轴于H，延长AB，HF交于点G，∵∠DCE＝45°，∴△CFE是等腰直角三角形，∴CF＝EF，∵∠HCF+∠CFH＝∠CFH+∠EFG＝90°，∴∠HCF＝∠EFG，∵∠CHF＝∠FGE＝90°，∴△CHF≌△FGE（AAS），∴CH＝FG，∵OD∥FH，∴，即，∴，设FH＝a，则CH＝FG＝2a，∵GH＝OB＝9，即2a+a＝9，∴a＝3，∴CF＝＝3，∴CE＝CF＝3，Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴BE＝4﹣3＝1，∴E（9，1）；当D（﹣2，0）时，如图5，∠DCB＞90°，此种情况不存在符合条件的点E，综上，点E的坐标是（9，1）；②i）当∠CMN＝90°，MN＝EN时，如图6，由①知：AE＝3，∵MN∥AE，∴，即，∴，设MN＝b，则CM＝3b，EN＝b，∴CN＝b，∵CE＝3，∴3＝b+b，解得：b＝，∴CM＝3b＝10﹣，∴M（10﹣，4）；ii）当∠CNM＝90°，MN＝EN时，如图7，∵∠CNM＝∠CAE＝90°，∠MCN＝∠ACE，∴△MCN∽△ECA，∴＝3，设MN＝m，则CN＝3n，EN＝n，∴CE＝3n+n＝3，∴n＝，∴CM＝n＝，∴M（，4）；综上，点M的坐标是（10﹣，4）或（，4）．9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（6，0）为坐标轴上的点，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D，点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE．（1）直接写出E点的坐标；（2）过点B作BG∥CE，交y轴于点G，交直线CD于点H，求四边形ECBG的面积；（3）直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵CD⊥x轴，∴∠CDF＝90°＝∠EOF，又∵∠CFD＝∠EFO，CF＝EF，∴△CDF≌△EOF（AAS），∴CD＝OE，又∵A（0，4），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6，∵点C为AB的中点，CD∥y轴，∴CD＝OA＝2，∴OE＝2，∴E（0，﹣2）；（2）设直线CE的解析式为y＝kx+b，∵C为AB的中点，A（0，4），B（6，0），∴C（3，2），∴，解得，∴直线CE的解析式为y＝x﹣2，∵BG∥CE，∴设直线BG的解析式为y＝x+m，∴×6+m＝0，∴m＝﹣8，∴G点的坐标为（0，﹣8），∴AG＝12，∴S四边形ECBG＝S△ABG﹣S△ACE＝×AE×OD＝×6×3＝27．（3）直线CD上存在点Q使得∠ABQ＝45°，分两种情况：如图1，当点Q在x轴的上方时，∠ABQ＝45°，过点A作AM⊥AB，交BQ于点M，过点M作MH⊥y轴于点H，则△ABM为等腰直角三角形，∴AM＝AB，∵∠HAM+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠HAM＝∠ABO，∵∠AHM＝∠AOB＝90°，∴△AMH≌△BAO（AAS），∴MH＝AO＝4，AH＝BO＝6，∴OH＝AH+OA＝6+4＝10，∴M（4，10），∵B（0，6），∴直线BM的解析式为y＝﹣5x+30，∵C（3，2），CD∥y轴，∴C点的横坐标为3，∴y＝﹣5×3+30＝15，∴Q（3，15）．如图2，当点Q在x轴下方时，∠ABQ＝45°，过点A作AN⊥AB，交BQ于点N，过点N作NG⊥y轴于点G，同理可得△ANG≌△BAO，∴NG＝AO＝4，AG＝OB＝6，∴N（﹣4，﹣2），∴直线BN的解析式为y＝x﹣，∴Q（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，15）或（3，﹣）．10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，6），以A为顶点的∠BAC的两边始终与x轴交于B、C两点（B在C左面），且∠BAC＝45°．（1）如图1，连接OA，当AB＝AC时，试说明：OA＝OB．（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，当DC＝2时，将∠BAC沿AC所在直线翻折，翻折后边AB交y轴于点M，求点M的坐标．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°．过点A作AE⊥OB于E，如图1，∵A（﹣6，6），∴△AEO是等腰直角三角形，∠AOB＝45°，∴∠BAO＝67.5°＝∠ABC，∴OA＝OB．（2）设OM＝x，当点C在点D右侧时，如图2，连接CM，过点A作AE⊥y轴于点E，由∠BAM＝∠DAE＝90°，可知：∠BAD＝∠MAE；∴在△BAD和△MAE中，，∴△BAD≌△MAE．∴BD＝EM＝6﹣x．又∵AC＝AC，∠BAC＝∠MAC，∴△BAC≌△MAC．∴BC＝CM＝8﹣x．在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2＝CM2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴M点坐标为（0，3）．当点C在点D左侧时，如图3，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，同理，△BAD≌△MAF，∴BD＝FM＝6+x．同理，△BAC≌△MAC，∴BC＝CM＝4+x．在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2＝CM2，即82+x2＝（4+x）2，解得：x＝6，∴M点坐标为（0，﹣6）．综上，M的坐标为（0，3）或（0，﹣6）．11．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．易证：△BEC≌△CDA模型应用：如图2，已知直线l1：y＝x+4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2．（1）在直线l2上求点C，使△ABC为直角三角形；（2）求l2的函数解析式；（3）在直线l1、l2分别存在点P、Q，使得点A、O、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？请直接写出点Q的坐标．（1）解：过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2①，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰Rt△，∵△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝x+4，∴A（0，4），B（﹣3，0），①当∠ABC＝90°时，∵△CDB≌△BAO，∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（﹣7，3）；②当∠ACB＝90°时，如图2②，同理：△CDB≌△AEC，∴AE＝CD，BD＝CE，∴AE＝OA﹣BD＝OB+BD，即4﹣BD＝3+BD，∴BD＝，∴OD＝CD＝3.5∴C（﹣3.5，3.5），综上，在直线l2点C的坐标为（﹣7，3）或（﹣3.5，3.5）时，△ABC为直角三角形；（2）设l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（0，4），C（﹣7，3）；∴，∴，∴l2的解析式：y＝x+4；（3）如图2，①当AO为边时，∵A（0，4），∴OA＝4，设Q1的横坐标为x，则Q1（x，x+4），P（x，x+4），∵四边形AOPQ是平行四边形，∴PQ1＝OA＝4，即x+4﹣（x+4）＝4，或x+4﹣（x+4）＝4，解得x＝﹣或∴Q1（﹣，）或（，）．②当AO为对角线时，Q3与Q2重合．综上，存在符合条件的平行四边形，且Q点的坐标为（﹣，）或（，）．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣2，﹣2），过点M作直线AB，交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B（0，m）．（1）如图1，当m＝﹣6时．i）求直线AB的函数表达式；ii）过点A作y轴的平行线l，点N是l上一动点，连接BN，MN，若S△MBN＝S△ABO，求满足条件的点N的坐标．（2）如图2，将直线AB绕点B顺时针旋转45°后，交x轴正半轴于点C，过点C作CD⊥BC，交直线AB于点D．试问：随着m值的改变，点D的横坐标是否发生变化？若不变，求出点D的横坐标；若变化，请说明理由．解：（1）i）、∵m＝﹣6，∴B（0，﹣6），∴设直线AB的表达式为y＝kx﹣6，∵点M（﹣2，﹣2）在直线AB上，∴﹣2＝﹣2k﹣6，∴k＝﹣2，∴直线AB的表达式为y＝﹣2x﹣6；ii）、如图1，由i）知，直线AB的表达式为y＝﹣2x﹣6，令y＝0，则﹣2x﹣6＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∴直线l为x＝﹣3，∴设N（﹣3，t），∴AN＝|t|，∵A（﹣3，0），B（0，﹣6），∴OA＝3，OB＝6，∴S△AOB＝OA•OB＝×3×6＝9，∵S△MBN＝S△ABO，∴S△MBN＝S△ABO＝，过点M作MF⊥AN于F，过点B作ME⊥AN于E，∴MF＝1，BE＝3，∴S△MBN＝S△BAN﹣S△AMN＝AN•BE﹣AN•FM＝（BE﹣MF）＝|t|（3﹣1）＝|t|＝，∴t＝±，∴N（﹣3，）或（﹣3，﹣）；（2）如图2，∵∠ABC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝45°＝∠ABC，∴CD＝CB，∴△BDC是等腰直角三角形，∵M（﹣2，﹣2），B（0，m），∴直线AB的表达式为y＝x+m，设点C（a，0），分别过点D，B作y轴的垂线，过点C作x的垂线，交前两条直线和y轴于点G，H，L，则∠H＝∠G＝∠OCH＝∠OBH＝90°，∴四边形OBHC是矩形，∴OC＝BH，∵∠G＝∠BCD＝90°，∴∠CDG+∠DCG＝∠DCG+∠BCH＝90°，∴∠CDG＝∠BCH，∴△DCG≌△CBH（AAS），∴BH＝OC＝CG＝|a|，CH＝DG＝|m|，∴D（m+a，a），∴a＝•（m+a）+m，∴m2+ma+4m＝0，∵m≠0，∴m+a＝﹣4，即点D的横坐标为﹣4，保持不变．13．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x﹣4与x轴，y轴分别交于点A、B，与直线y＝3交于点C，点D为直线y＝3上点C右侧的一点．（1）如图1，若△ACD的面积为6，则点D的坐标为（，3）；（2）如图2，当∠CAD＝45°时，求直线AD的解析式；（3）在（2）的条件下，点E为直线AD上一点，设点E的横坐标为m，△ACE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．解：（1）如图1，对于直线y＝﹣2x﹣4，当y＝0时，由﹣2x﹣4＝0得，x＝﹣2，∴A（﹣2，0）；当y＝3时，由﹣2x﹣4＝3得，x＝﹣，∴C（﹣，3），设D（r，3），∵点D在点C右侧，∴CD＝r+，由题意，得×3（r+）＝6，解得，r＝，∴D（，3），故答案为：D（，3）．（2）如图2，过点D作DG⊥AC于点G，过点G作MN⊥x轴于点N，交直线y＝3于点M，则∠AGD＝∠GNA＝90°，∵直线y＝3与x轴平行，∴∠DMG＝180°﹣∠GNA＝90°＝∠GNA，∵∠GAD＝45°，∴∠GDA＝45°＝∠GAD，∴DG＝GA，∵∠DGM＝90°﹣∠AGN＝∠GAN，∴△DGM≌△GAN（AAS），∴GM＝AN，DM＝GN，设AN＝t，则N（﹣2﹣t，0），∵点G在直线y＝﹣2x﹣4上，∴yG＝﹣2（﹣2﹣t）﹣4＝2t，∴G（﹣2﹣t，2t），∵M（﹣2﹣t，3），∴GM＝3﹣2t，由GM＝AN得，3﹣2t＝t，解得t＝1，∴N（﹣3，0），M（﹣3，3），∵DM＝GN＝2t＝2，∴D（﹣1，3），设直线AD的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝3x+6．（3）由（1）、（2）得，C（﹣，3），D（﹣1，3），∴CD＝﹣1﹣（﹣）＝，∴S△ACD＝××3＝，过点E作直线y＝3的垂线，垂足为点F，∵点E在直线y＝3x+6上，且点E的横坐标为m，∴E（m，3m+6），如图3，点E在线段AD上，则﹣2＜m≤﹣1，此时，EF＝3﹣（3m+6）＝﹣3m﹣3，由S△ACE＝S△ACD﹣S△ECD得，S＝﹣×（﹣3m﹣3）＝m+；如图4，点E在线段AD的延长线上，则m＞﹣1，此时，EF＝3m+6﹣3＝3m+3，由S△ACE＝S△ACD+S△ECD得，S＝+×（3m+3）＝m+，∴当m＞﹣2时，S＝m+；如图5，点E在线段DA的延长线上，则m＜﹣2，此时，EF＝3﹣（3m+6）＝﹣3m﹣3，由S△ACE＝S△ECD﹣S△ACD得，S＝×（﹣3m﹣3）﹣＝﹣m﹣，综上所述，．14．（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．（1）证明：∵在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，在Rt△EDC中，∠C＝90°，∴∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠AEB+∠DEC＝90°．∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°．∴△AED是等腰直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图2，则∠AHC＝90°．∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．在△AOB和△CHA中，，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AO＝CH，OB＝HA，∵A（2，0），B（0，3），∴AO＝2，OB＝3，∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，∴OH＝OA+AH＝5，∴点C的坐标为（5，2）；（3）解：如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，∵AO⊥OB，EF⊥BD，∴∠AOB＝∠BFE＝90°，∵AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∠ABO+∠EB