《专题：平面向量与三角形的心（一）》教学设计

12/12专题：平面向量与三角形的心（一）（陈孟林）一、教学目标（一）核心素养 通过这节课学习，了解三角形中重心、垂心的定义及向量表达形式，会利用其向量表达形式解决问题．（二）学习目标 1．掌握三角形中重心、垂心的定义及向量性质． 2．能根据三角形重心、垂心的性质，选择适当的向量表达形式解决问题．（三）学习重点 三角形重心、垂心的性质及向量表达形式.（四）学习难点 根据三角形重心、垂心的性质，选择适当的向量表达式解决问题．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）三角形中重心的定义：三角形三条中线的交点．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1；三角形中重心的性质：G是△ABC的重心（2）三角形中垂心的定义：三角形三条高线的交点；三角形中垂心的性质：H是△ABC的垂心.预习自测（1）G是△ABC的重心（2）H是△ABC的垂心.（二）课堂设计1．知识回顾（1）向量是数形结合的载体，既有大小，又有方向，在平面向量的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题. （2）平面向量既可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则.（3）在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系.2.问题探究探究一重心的定义、性质及向量表达形式.●活动①归纳提炼概念画出一个三角形并找到它的重心.定义：三角形三条中线的交点．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.●活动②得到性质及向量表达形式，并对其证明（2）性质：G是△ABC的重心证明：方法一：设G（x，y），A（，），B（，），C（，）G是△ABC的重心方法二：如图，∴A、G、D共线，且G分AD为2:1∴G是△ABC的重心【设计意图】通过画图让学生直观的感受三角形重心的概念．引导学生应用向量的相关知识，分析三角形重心所具备的一些特定的性质.培养学生以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题.（3）推论：G是△ABC的重心（P是平面上的点）证明：∵G是△ABC的重心，即由此可得【设计意图】通过变式训练巩固重心的概念及性质．探究二垂心的定义、性质及向量表达形式.●活动①归纳提炼概念画出一个三角形并找到它的垂心.定义：三角形三条高线的交点.●活动②得到性质及向量表达形式，并对其证明（2）性质：H是△ABC的垂心证明：由同理，，故H是△ABC的垂心（3）推论：H是△ABC（非直角三角形）的垂心，则且【设计意图】通过画图让学生直观的感受三角形垂心的概念．引导学生应用向量的相关知识，分析三角形垂心所具备的一些特定的性质.培养学生以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题.●活动③巩固基础，检查反馈例1．已知点O为△ABC所在平面内一点，若，则点O是△ABC的（）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心【知识点】三角形重心.【数学思想】数形结合，利用向量法，证得AD是△ABC中BC边中线，同理证出BO是AC边中线，CO是AB边中线.【解题过程】取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD于是四边形BOCE是平行四边形,而由向量，得所以和共线所以A、O、E三点共线而D在OE上所以A、O、D三点共线而点D又是BC中点所以AD（即AO）是△ABC中BC边中线同理可证BO是AC边中线，CO是AB边中线所以点O是△ABC的重心.【思路点拨】取BC边的中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD，由于四边形BOCE是平行四边形，又因为，可得和共线，即A、O、E三点共线，同理证出BO是AC边中线，CO是AB边中线.【答案】C．同类训练求证：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点，则.【知识点】三角形重心.【数学思想】数形结合，三角形重心性质，平面向量的运算.【解题过程】连接AD、BE、CF三条线段交于点G.证明：∵，，；；；【思路点拨】将分别表示，，，利用△ABC重心的性质，对其进行平面向量的运算.例2．△ABC所在平面内一点P满足，那么P是△ABC的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【知识点】平面向量数量积的运算.【数学思想】数形结合，平面向量的数量积的性质，向量垂直的条件以及三角形垂心的概念.【解题过程】由于△ABC所在平面内一点P满足，则，，,即有，，，即有，，，则有P为△ABC的垂心．【思路点拨】运用数量积的运算性质，可得，，，,再由向量垂直的条件，结合三角形的垂心定义，即可得到结论．【答案】B．同类训练求证：若H是△ABC所在平面内一点，且，则点H为△ABC的垂心.【知识点】三角形垂心性质，平面向量数量积的运算.【数学思想】数形结合，平面向量的数量积的性质，向量垂直的条件以及三角形垂心的概念.【解题过程】证明：∵,得即，同理，故H为△ABC的垂心．【思路点拨】结合三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等知识.【设计意图】通过变式训练巩固垂心的概念及性质．3.课堂总结知识梳理（1）三角形重心的性质及向量表达形式①G是△ABC的重心②G是△ABC的重心（P是平面上的点）（2）三角形垂心的性质及向量表达形式①H是△ABC的垂心②H是△ABC（非直角三角形）的垂心，则且重难点归纳理解并掌握重心、垂心的定义；能够根据三角形重心、垂心的性质，选择适当的向量表达式解决问题．（三）课后作业基础型自主突破1．已知点O为△ABC所在平面内一点，若，则点O是△ABC的.【知识点】三角形重心.【数学思想】数形结合的思想，利用向量法，证得AD是△ABC中BC边中线，同理证出BO是AC边中线，CO是AB边中线.【解题过程】取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD于是四边形BOCE是平行四边形,而由向量，得所以和共线所以A、O、E三点共线而D在OE上所以A、O、D三点共线而点D又是BC中点所以AD（即AO）是△ABC中BC边中线同理可证BO是AC边中线，CO是AB边中线所以点O是△ABC的重心.【思路点拨】取BC边的中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD，由于四边形BOCE是平行四边形，又因为，可得和共线，即A、O、E三点共线，同理证出BO是AC边中线，CO是AB边中线.【答案】重心．2.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于（）A．B．C．-D．-【知识点】平面向量与三角形的心.【数学思想】数形结合，三角形重心与平面向量的相关知识.【解题过程】由知,P为△ABC的重心,根据向量的加法,，则【思路点拨】由知,P为△ABC的重心,通过向量的加法运算，可得答案.【答案】D．能力型师生共研4.已知G是△ABC的重心，且P是平面上的点，求证：【知识点】三角形重心性质，平面向量数量积的运算.【数学思想】转化和数形结合的思想.【解题过程】证明：∵G是△ABC的重心，即由此可得【思路点拨】由于，所以有，又因为G是△ABC的重心，，因而可得【答案】见解析过程.探究型多维突破5.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点满足，.证明：P的轨迹一定通过△ABC的重心.【知识点】三角形重心的定义及性质.【数学思想】数形结合，三角形重心与平面向量的相关知识，数形结合的思想.【解题过程】由题意可得，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心.【思路点拨】根据题意，运用相关平面向量的知识，数形结合的思想解决问题.【答案】见解析过程6.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，.证明：动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．【知识点】平面向量数量积的运算，三角形垂心的定义及性质.【数学思想】三角形垂心与平面向量的相关知识，数形结合的思想.【解题过程】由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.【思路点拨】根据题意，运用相关平面向量的知识，数形结合的思想解决问题.自助餐已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足，则点P一定为△ABC的（）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点【知识点】平面向量的加减和数乘.【数学思想】转化和数形结合的思想，三角形重心的性质.【解题过程】取AB边的中点M，则，由可得，，即点P为△ABC中AB边中线的一个三等分点，且点P不过重心.【思路点拨】通过对进行加减和数乘运算，得到动点P在中线上的位置关系；根据三角形重心的性质，得出P为△ABC中AB边中线的一个三等分点，且点P不过重心.【答案】B．2.已知△ABC内一点O满足关系，试求之值.【知识点】三角形重心的性质.【数学思想】数形结合的思想，添加辅助线构造新三角形，三角形重心的性质.【解题过程】延长OB至，使，延长OC至，使，连接，如图所示，则，，由条件，得，所以O是的重心，从而，其中S表示的面积，所以，，，于是【思路点拨】添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比.【答案】．3.在△ABC内求一点P，使最小．【知识点】平面向量数量积的运算，三角形重心的性质.【数学思想】数形结合的思想，平面向量中三角形重心的性质.【解题过程】如图，构造向量解决，取，为基向量，设，有，；于是，=++=.当时，最小，此时，即，则点P为△ABC的重心．【思路点拨】通过构造向量，为基向量，设，运用相关平面向量的知识，三角形重心的性质，得出点P为△ABC的重心．4.设，，，，是平面内给定的5个不同点，则使成立的点M的个数为.【知识点】平面向量与三角形的心.【数学思想】以向量为载体的归纳猜测，类比化归的数学思想.【解题过程】对于空间A，B来说，满足的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满足，可认为是先取AB的中点G，再连接CG，在