2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.1圆的标准方程课时分层作业含解析北师大版必修2

PAGE课时分层作业二十二圆的标准方程一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2024·长春高二检测)圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是 ()A.(-2，3)，1 B.(2，-3)，3C.(-2，3)，QUOTE D.(2，-3)，QUOTE【解析】选D.由已知，圆心为(2，-3)，半径为QUOTE.2.点A(2a，a-1)在以点C(0，1)为圆心，半径为QUOTE的圆上，则a的值为 ()A.±1 B.0或1C.-1或QUOTE D.-QUOTE或1【解题指南】先依据圆的标准方程写出圆的方程，再由点在圆上得出a的值.【解析】选D.由题意，已知圆的方程为x2+(y-1)2=5，将点A的坐标代入圆的方程可得a=1或a=-QUOTE.3.已知圆的方程是(x-3)2+(y+2)2=16，下列点中在圆外的点的个数是 ()(1)M1(3，4).(2)M2(7，-2).(3)M3(4，-3)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选B.把三个点代入可推断点M1(3，4)在圆外.4.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，则圆C的方程是 ()A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x+1)2+(y+2)2=1【解析】选A.因为点P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y)，所以将-x，-y代入圆的方程得(-x+2)2+(-y-1)2=1，即(x-2)2+(y+1)2=1.5.方程y=QUOTE表示的图形是 ()A.一条射线 B.一个圆C.两条射线 D.半个圆【解析】选D.方程可化为x2+y2=9，又y≥0，所以原方程表示的曲线是半圆.6.圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y=QUOTEx的距离是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选A.圆心为(1，0)，则圆心到直线y=QUOTEx的距离d=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分，共10分)7.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心且过点P(-1，1)的圆的方程为_________.

【解析】因为已知圆的圆心为(2，-3)，所以所求圆的圆心为(2，-3).又r=QUOTE=5，所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.答案：(x-2)2+(y+3)2=258.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0，-4)，B(0，-2)，则圆C的标准方程为_________.

【解析】结合题意可知，圆心在直线y=-3上，又圆心在直线2x-y-7=0上，故圆心坐标是(2，-3)，从而r2=(2-0)2+(-3+2)2=5，圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=5.答案：(x-2)2+(y+3)2=5三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知实数x，y满意方程x2+(y-1)2=QUOTE，求QUOTE的取值范围.【解析】QUOTE可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离.圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d=QUOTE=2QUOTE.由图知，圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离的范围是QUOTE.所以QUOTE的取值范围是QUOTE.10.已知A(-4，-5)，B(6，-1)，求以线段AB为直径的圆的方程，并推断点P(5，3)与该圆的位置关系.【解析】所求圆的圆心坐标为QUOTE，QUOTE，即(1，-3)，半径QUOTE=QUOTE，所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=29.又(5-1)2+(3+3)2=52>29，所以点P(5，3)在圆的外部.一、选择题(每小题5分，共25分)1.若点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4上，则a的值是 ()A.-1 B.1 C.±1 D.0【解析】选C.由已知，(1-a)2+(1+a)2=4，解得a=±1.2.圆心在P(-1，2)，半径长是2的圆的标准方程是 ()A.(x-1)2+(y-2)2=2 B.(x+1)2+(y-2)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x-1)2+(y-2)2=4【解析】选B.依据圆心P的坐标为(-1，2)，圆的半径长为2，得到圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4.【补偿训练】当a为随意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为QUOTE的圆的方程为 ()A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=5【解析】选C.令a=0，a=1，得方程组QUOTE解得QUOTE所以C(-1，2).又因为半径为QUOTE，故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.3.(2024·安庆高二检测)过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ()A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】选C.设所求圆的圆心为C(a，b)，半径为r，由已知，r=|AC|=|BC|，C(a，b)在直线x+y-2=0上，即r=QUOTE=QUOTE，a+b-2=0，所以，a=1，b=1，r=2，所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.4.设P(x，y)是圆x2+(y+4)2=4上随意一点，则QUOTE的最小值为 ()A.QUOTE+2 B.QUOTE-2C.5 D.6【解析】选B.把QUOTE看作是点P与定点(1，1)的距离.如图，设A(1，1)，QUOTE=|PA|，则|PA|的最小值为|AC|-r=QUOTE-2.5.已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，下列结论错误的是 ()A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b<r时，圆与x轴相交【解析】选D.已知圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r，当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时，才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是错误的.【补偿训练】已知圆C经过A(5，2)，B(-1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是 ()A.(x-2)2+y2=13 B.(x+2)2+y2=17C.(x+1)2+y2=40 D.(x-1)2+y2=20【解题指南】依据题意设圆心坐标为C(a，0)，由|AC|=|BC|建立关于a的方程，解之可得a，从而得到圆心坐标和半径，可得圆C的标准方程.【解析】选D.因为圆心在x轴上，所以设圆心坐标为C(a，0)，又因为圆C经过A(5，2)，B(-1，4)两点，所以r=|AC|=|BC|，可得QUOTE=QUOTE，解得a=1，可得半径r=QUOTE=QUOTE=2QUOTE，所以圆C的方程是(x-1)2+y2=20.二、填空题(每小题5分，共20分)6.(2024·常熟高二检测)已知直线x+2y-4=0和坐标轴交于A，B两点，O为原点，则经过O，A，B三点的圆的方程为_________.

【解析】由已知，直线x+2y-4=0和坐标轴的交点为(0，2)，(4，0)，易知，AB中点C(2，1)为圆心，|OC|=QUOTE为半径，所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.答案：(x-2)2+(y-1)2=57.经过圆C：(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为_________.

【解析】圆C的圆心为(-1，2)，又所求直线的斜率为1，故由点斜式得y-2=x+1，即x-y+3=0.答案：x-y+3=08.以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为_________.

【解析】令x=0得y=4，令y=0得x=2，所以直线与两轴交点坐标为A(0，4)和B(2，0)，以A为圆心过B的圆方程为x2+(y-4)2=20，以B为圆心过A的圆方程为(x-2)2+y2=20.答案：x2+(y-4)2=20或(x-2)2+y2=20【误区警示】本题易出现只得到一个答案而漏解的状况.9.假如圆(x-a)2+(y-a)2=4上总共有两点到原点的距离为1，则实数a的取值范围为.

【解析】由圆的方程可知，圆心为(a，a)，半径为2，因为圆上总共有两点到原点的距离为1，所以圆心到原点距离满意1<QUOTE|a|<3，所以QUOTE<|a|<QUOTE，所以QUOTE<a<QUOTE或-QUOTE<a<-QUOTE.答案：-QUOTE，-QUOTE∪QUOTE，QUOTE【补偿训练】已知点A(-1，0)，B(0，2)点P是圆(x-1)2+y2=1上随意一点，则△PAB面积的最大值是.

【解析】AB所在直线方程为-x+QUOTE=1，即2x-y+2=0.|AB|=QUOTE=QUOTE，圆心(1，0)到直线AB的距离d=QUOTE，点P到直线AB的最大距离为d′=d+1=QUOTE+1，所以△PAB面积的最大值是QUOTE×QUOTE×QUOTE+1=QUOTE.答案：QUOTE三、解答题(每小题10分，共30分)10.一圆过原点O和点P(1，3)，圆心在直线y=x+2上，求此圆的方程.【解析】方法一：因为圆心在直线y=x+2上，所以设圆心坐标为(a，a+2)，则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2，因为点O(0，0)和P(1，3)在圆上，所以QUOTE解得QUOTE所以所求的圆的方程为QUOTE+QUOTE=QUOTE.方法二：由题意，圆的弦OP的斜率为3，中点坐标为QUOTE，所以弦OP的垂直平分线方程为y-QUOTE=-QUOTE，即x+3y-5=0，因为圆心在直线y=x+2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上，所以由QUOTE解得QUOTE即圆心坐标为CQUOTE，又圆的半径r=|OC|=QUOTE=QUOTE，所以所求的圆的方程为QUOTE+QUOTE=QUOTE.11.已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.【解析】设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，由题意可知QUOTE解得：a=-3，b=-2，r=5，所以圆的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.12.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1，1)在AD边所在的直线上.(1)求AD边所