2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={y|y=24−x2}，A.(0,4] B.[1,4] C.[1,+∞) D.(0,+∞)2.已知3+i是关于x的方程2x2−mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m+n=A.20 B.22 C.30 D.323.已知x>0，y>0，lg2x+lg4y=lg2A.2 B.22 C.24.数列{an}中，若a1=2，a2=4，an+A.1348 B.1350 C.1354 D.26985.在△ABC中，D为BC中点，CP=λCB，AQ=23AB+A.12 B.13 C.146.在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BB1上，且BB1=4BD，点M为A1CA.2 B.3 C.4 D.57.已知偶函数f(x)定义域为R，且f(3x)=f(2−3x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2，则函数g(x)=|cos(πx)|−f(x)在区间[−A.−7 B.−6 C.−3 D.−28.已知平面向量a，b，c，满足|a|=|b|=1，且cos〈a,bA.−1 B.0 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于函数f(x)=sinxcos(x+π6)+sinA.函数f(x)的最大值为34

B.(π12,0)是函数f(x)图象的一个对称中心

C.D.将函数y=12cos2x+1410.在正方形ABCD中，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE位置，使得二面角A1−DE−C为直二面角，若M为线段A1A.若点P在线段DE上，则|A1P|+|PC|的最小值为22

B.三棱锥B−MCE的体积为510

C.异面直线BM、A111.已知函数f(x)=−xlnxx+1，则下列结论中正确的是(

)A.函数f(x)有两个零点

B.f(x)<13恒成立

C.若方程f(x)=kx2+x有两个不等实根，则k的范围是(0,1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.等差数列{an}中，Sn是其前n项和.若a1+a213.在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线与BC交于点D，且AD=1，BC=6，则△ABC的面积为______．14.已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，PB=2，PC=7，∠BAC=60°，M、N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB1=BB1=B1C=5，AB=4，AC=6，AB⊥BC，D为AC中点．

16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx+x2−ax．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设函数g(x)=f(x)+ex−2lnx，若g(x)≥0在17.(本小题15分)

已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2acosB=2c−b．

(1)求A；

(2)若c=2，D为BC中点，AD=7，求b；

(3)若a=2，求△ABC内切圆半径的取值范围．18.(本小题17分)

某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示．

(1)求a的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；

(2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在[200,250)内的天数为X，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求X的分布列及数学期望；

(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥A−BCD中，△BCD、△ACD均是边长为2的正三角形，AB=3，现从写有数字1～8的八个标签中随机选择两个分别贴在A、B两个顶点，记顶点A、B上的数字分别为m和n，若E为侧棱AB上一个动点，满足|AE||EB|=mn，当“二面角E−CD−A19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，O是AD中点，PO⊥平面ABCD，PO+AB=4．

(1)求四棱锥P−ABCD体积的最大值；

(2)设PO=2，E为线段AB上的动点．

①求平面PAD与平面PEC的夹角余弦值的取值范围；

②四棱锥P−ABCD的外接球记为球M，当E为线段AB中点时，求平面PEC截球M所得的截面面积．

参考答案1.B

2.D

3.D

4.C

5.C

6.B

7.A

8.B

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.5

13.314.715.解：(1)证明：如图，连接BD，

因为AB⊥BC，D为AC中点，所以AD=CD=BD=12AC=3，

因为AB1=B1C=5，所以B1D⊥AC，所以B1D=52−32=4，

又BB1=5，所以BD2+B1D2=B1B2，所以B1D⊥BD，

又BD∩AC=D，BD，AC⊂平面ABC，

所以B1D⊥平面ABC；

(2)以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴，

过B作DB1的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AB⊥BC，所以BC=6216.解：(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x2−ax+1x，

当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当a>0且a2−8<0，即0<a<22时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当a=22时，f′(x)≥0，当且仅当x=22时，f′(x)=0，

函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当a>22时，方程2x2−ax+1=0有两个不等实数根，设其根为x1，x2，x1<x2，

则x1=a−a2−84，x2=a+a2−84，

由x1+x2=a2>0，x1x2=12>0知，x1>0，x2>0，

所以当0<x<x1或x>x2时，f′(x)>0，当x1<x<x2时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，

综上，当a≤22时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当a>22时，函数f(x)在(0,a−17.解：(1)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，

因为2acosB=2c−b，

根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，

得2sinAcosB=2sinC−sinB⇒2sinAcosB=2sin(A+B)−sinB，

所以2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB−sinB⇒2cosAsinB=sinB，

因为sinB≠0，所以cosA=12，

又0°<A<180°，

所以A=60°；

(2)因为D为BC中点，所以AD=12AB+12AC，

所以|AD|2=14(|AB|2+|AC|2+2AB⋅AC)，

又AD=7，AB=c=2，A=60°，

所以7=14(4+b2+2×2⋅bcos60°)，

所以b2+2b−24=0，解得b=4或b=−6(舍去)，

故b=4；

(3)由正弦定理：bsinB=csinC=asinA=2sin60∘=433，

所以b=433sinB，c=433sinC，

18.解：(1)根据频率分布直方图可得(0.001+0.002+0.003+2a+0.006)×50=1，∴a=0.004，

∵前几组的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.3，

∴每日汽车销售量的第60百分位数在[150,200)，且为150+0.6−0.450.75−0.45×50=175(辆)；

(2)∵抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为0.45，

抽取的1天汽车销售量在[200,250)内的概率为0.2．

∴在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在[200,250)内的概率为p=0.21−0.45=411．

∴由题意可得X的值可以为0，1，2，3，

又P(X=0)=C30×(X0123P34358833664∴E(X)=3×411=1211；

(3)如图：取CD中点F，链接BF，EF，AF，CE，DE，

∵△BCD，△ACD都是边长为2的等边三角形，

∴CD⊥BF，CD⊥AF，又BF∩AF=F，

∴CD⊥平面ABF，又EF⊂平面ABF，∴CD⊥EF，

∴∠EFA为二面角E−CD−ADE的平面角，

∵在△ABF中，AB=BF=AF=3，∴∠BFA=60°，又∠EFA=45°，

∴在△AEF中，由正弦定理可得msin45∘=3sin75°，

∴m=3sin45°sin75°=3−3，此时n=3−(3−3)=23−3，mn=3+1，

∴要想中奖，须有mn>3+1，

∵m19.解：(1)设AB=x，则PO=4−x，

所以四棱锥P−ABCD体积V=13x2(4−x)=−13x3+43x2，0<x<4，

所以V′=−x2+83x，

令V′>0，则0<x<83，所以V在(0,83)上单调递增；

令V′<0，则83<x<4，所以V在(83,4)上单调递减，

当x=83时，V取得极大值，也是最大值，

所以四棱锥P−ABCD体积的最大值为−13×(83)3+43×(83)2=25681．

(2)①以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，