全国初中生人教版八年级上册数学期中测试题B卷解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页全国初中生人教版八年级上册数学期中测试题B卷解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在中，，是的角平分线，若P、Q分别是和边上的动点，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】过点D作交，过点作交于Q，交于点P，由是的角平分线，可得点C与关于对称，则即为所求．【详解】解：如图所示：过点D作交，过点作交于Q，交于点P，是的角平分线，，点C与关于对称，，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．2．某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（）A．① B．② C．③ D．任意一块【答案】A【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：只第①块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合ASA．故选A．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．解决本题主要看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块．3．如图，点E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先利用△ABE的面积，求得点E到直线AB的距离，然后再利用角平分线的性质求解即可【详解】解：∵AB＝4，△ABE的面积为12，∴点E到直线AB的距离==6，∵E为∠BAC平分线AP上一点，∴点E到直线AC的距离＝6．故选：B．【点睛】本题主要是考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解决本题的关键．4．在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠A=∠D，若补充下列条件中的任意一条，就能判定△ABC≌△DEF的是

(

)①AC=DF

②BC=EF

③∠B=∠E

④∠C=∠FA．①②③ B．②③④C．①③④ D．①②④【答案】C【详解】如图，∵AB=DE，∠A=∠D，∴根据“边角边”可添加AC=DF，根据“角边角”可添加∠B=∠E，根据“角角边”可添加∠C=∠F．所以补充①③④可判定△ABC≌△DEF．故选C．5．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(

)．A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．∠A=∠1+∠2 D．∠A=2∠1+2∠2【答案】B【分析】过点D、E分别作反向延长线交于A’点，设值，根据折叠的性质、三角形的内角和定理及平角的定义即可得出两者的关系.【详解】设∠A’ED＝x，∠A’DE＝y，∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠AED＝x，∠ADE＝y，∵∠A’＋x＋y＝180，∠2＋2x＝180，∠1＋2y＝180，∴∠2＋∠1＋2（180－∠A）＝2×180，∴∠2＋∠1－2∠A＝0，2∠A＝∠1＋∠2.故选B.【点睛】本题考查了折叠问题和三角形内角和定理，熟练掌握翻折变换和三角形的内角和定理是本题解题的关键.6．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】过D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质以及割补法可列出等式，进而可求出BF的值．【详解】解：如图，过D作DG⊥AC于点G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG=DE=2，∵，∴，∴，解得BF=5，故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质，割补法求面积，能够熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．7．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°【答案】B【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选B．【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．8．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②有两边和一角对应相等的两个三角形全等；③一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④全等三角形的对应边上的中线相等；其中正确的说法为（）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】根据全等三角形的判定和性质一一判断即可；【详解】解：①全等图形的形状相同、大小相等；正确；②有两边和及其夹角对应相等的两个三角形全等，而不能判断全等；故说法错误，③一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；正确；④全等三角形的对应边上的中线相等；正确；故选．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，全等图形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，ΔABC中，是的外角平分线，是上异于的任意一点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，得出△ABP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论．【详解】解：如图，在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接EP．由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠BAP=∠EAP，又AP是公共边，AE=AB，故△ABP≌△AEP从而有BP=PE，∵在△CPE中，CB+PE＞CE∴CB+PB＞CE而CE=AC+AE=AC+AB∴CB+PB＞AB+AC，故选D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系的问题，应熟练掌握．10．如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解．【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，∴，∵，∴或，当时，，，∴，解得：，∴，解得：；当时，，∴，解得：；综上所述，点运动速度为或．故选：D．11．如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用证明，得出，，进而可判断③；利用证明，即可判断①；利用可证明，即可判断④，由已知条件可证明，无法证明，即可判断②．【详解】解：∵，，，∴，∴，，∴，故③正确；∴，∴，，故①正确；∵，，，∴，故④正确；∵，，∴，即，无法证明，故②错误；故选：C．二、填空题12．如图所示，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O点的直线MN∥BC，若AB=12，AC=14，BC=15，则△AMN的周长为.【答案】26【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠CBO，∠OCB=∠OCN；∵MN∥BC，∴∠MOB=∠CBO，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO；∴OM=BM，CN=ON，∴△AMN的周长=12+14=26．点睛：本题主要考查角平分线的性质和平行线的性质以及三角形的周长求法，合理利用图中线段的相等关系是关键．13．如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是等腰三角形时（），运动的时间是秒．【答案】4【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据题意得，列出方程即可求解【详解】解：设运动的时间为x，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，当是等腰三角形时，，，即，解得：．14．如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝．

【答案】2.5【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明，，由此可得，，再结合可得，由此可得，进而即可求得答案．【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，

∵EF⊥AB，AH⊥BC，∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，∵AEBC，∴∠EAF＝∠B，在与中，∴，∴，，在与中，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴，∴，即，又∵BH＝1，∴CH＝1.5，∴BC＝BH＋CH＝2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．15．如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=3cm2，则S△ABC的值为cm2．

【答案】12cm2【分析】先说明BE、CE、BF为△ABD、△ACD、△BEC的中线，然后根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，逐步计算即可解答．【详解】解：∵由于E、F分别为AD、CE的中点∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，∴S△BEC=2S△BEF=6（cm2），∴S△ABC=2S△BEC=12（cm2）．故答案为12．.【点睛】本题考查了三角形的面积，理解三角形中线可将三角形分成面积分成相等的两部分是解答本题的关键．16．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以个单位/秒的速度沿射线运动，点为射线BM上一动点始终保持，当点运动秒时，与全等．

【答案】或或或【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当在线段上时，②当在射线上时；再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出与全等，然后分别计算的长度即可．【详解】解：①当在线段上，时，，，，，∴点的运动时间为（秒）；②当在上，时，，，，，∴点的运动时间为（秒）；③当在线段上，时，，这时在点未动，因此时间为秒；④当在上，时，，，点的运动时间为（秒），故答案为：或或或．17．已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为.【答案】2.5<BD<12.5【分析】延长BD到E，使BD=DE，连接AE，可证明，根据全等三角形的性质可得AE=BC=15，在中利用三角形三边关系可求得BE的范围，可求得BD的取值范围．【详解】解：如图，延长BD到E，使BD=DE，连接AE，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在和中，∵∴（SAS），∴AE=BC=15，在中，由三角形三边关系可得，即，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，辅助线——中线倍长是本题的关键．18．有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为cm2．【答案】8【分析】延长BD、AC交于点E，由题意证得△ABD≌△AED（ASA），证得AB＝AE，BD＝DE，即可证得S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，利用S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝12+2S△EDC即可求得结果．【详解】解：延长BD、AC交于点E，∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，∴在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（ASA），∴AB＝AE，BD＝DE，∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，∵△ABC的面积为16cm2，∴S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝16+2S△EDC＝16+2x，∴S△ADC＝S△ADE﹣S△EDC＝故答案为8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形面积的求法，根据图形的特点，补全成特殊的图形是解题的关键.19．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、0,2，则点的坐标为．

【答案】【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解．【详解】如图，过作轴于点，

，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴点坐标为，故答案为：．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型．20．如图，已知点P（2m﹣1，6m﹣5）在第一象限角平分线OC上，一直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则：（1）点P的坐标为；（2）OA+BO＝．【答案】（1，1）2【分析】（1）作轴于，轴于，由角平分线的性质得出，得出方程，解方程求出，即可得出点坐标；（2）由证明，得出，则．【详解】解：（1）作轴于，轴于，如图所示：根据题意得：，，，，故答案为；（2）由（1）得：，，，，在和中，，，，，，，．故答案为2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、角平分线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题（2）的关键．21．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为．【答案】/66度【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时，的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果【详解】解：在上截取，连接，如图所示：平分，，在和中，，，，，，∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小，∴当点A、P、E在同一直线上，且时，，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键．22．如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有．【答案】①②③【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断；④无法证明，从而无法证明．【详解】∵在与中，，∴故①正确；∵∴∵∴∴∴∴故②正确；如图，连接，过点D作，过点D作，∵，∴，∵，，∴∵，，∴是的角平分线∵∴∴故③正确；如图，过点作交于点，连接，若∵则∵则若，则∵∴∵∴则∴∴故④错误．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是能够根据题目条件，进行推论，能够作出辅助线连接，过点D作，过点D作．23．在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为．（1）如图1，当点P到，的距离与相等时，；（2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为．【答案】3或或或【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论．（1）连接，证明，得出，根据即可求出结果；（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．【详解】解：（1）连接，如图所示：∵点P到，的距离与相等，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：3．（2）设点的运动速度为，①当点在上，点在上，时，，∴运动时间为。则，解得；②当点在上，点在上，时，，∴运动时间为，则，解得：；③当点P在上，点在上，时，，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴此时运动时间为，则，解得；④当点P在上，点Q在上，时，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴此时运动时间为，则，解得；∴运动的速度为或或或．故答案为：或或或．24．如图，已知中，，满足，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作于E，于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为（不考虑两三角形重合的情况）．【答案】或【分析】先证明时，再根据题意分为五种情况，结合分别列方程求解，解出方程即可．【详解】解：①当P在上，Q在上运动时，如图①：

由题意可知：，，，，，，，，，，，，，，即，；②当P在上，Q在上运动时，如图②，

由题意可知：，，由①可知，，，，此时，故此种情况不符合题意；③当P，Q都在上时，如图③，两个三角形重合，不符合题意；

④当Q到A点停止，P在上运动时，，此时，；⑤P，Q都在上时，点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，P，Q都在上运动的情况不存在，综上所述，t的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．三、解答题25．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形【问题拓展】（2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键．（1）根据提示证即可求解；（2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可；（3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解．【详解】（1）解：∵是的中线．∴，∵，，∴，∴，可得，即：，∴，故答案为：；（2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示：由题意得：，∵，,∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图，由（2）可得：，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．26．全等三角形是研究图形性质的主要工具，以此为基础，我们又探索出一些轴对称图形的性质与判定．通过寻找或构造轴对称图形，能运用其性质及判定为解题服务．(1)如图1，BE⊥AC，CD⊥AB，BD＝CE，BE与CD相交于点F．①求证：BE＝CD；②连接AF，求证：AF平分∠BAC．(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE．请你只用无刻度的直尺画出∠BAC的平分线．（不写画法，保留画图痕迹）．(3)如图3，在△ABC中，仍然有条件“AB＝AC，点D，E分别在AB和AC上”．若，则CD与BE是否仍相等？为什么？【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（1）①先根据定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据线段和差即可得证；②直接根据角平分线的判定即可得证；（2）连接交于点，连接并延长交于点，则平分，先根据等腰三角形的性质可得，根据定理可证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据定理可证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得；（3）在上取一点，使得，连接，先根据定理可证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据平角的定义、等量代换可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据等量代换即可得证．【详解】（1）证明：①∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴；②如图1，连接，

∵，，，且点在的内部，∴平分．（2）解：如图2，连接交于点，连接并延长交于点，则平分，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，，即，在和中，，∴，∴，∴平分．（3）解：，理由如下：如图3，在上取一点，使得，连接，

∵，∴，在和中，，∴，，，，，，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．27．如图，C为线段上一动点，（不与A，E重合），在同侧分别作等边三角形和．则以下结论：①；②；③；④；⑤中正确的有_____．并证明其中的一个结论．【答案】①②③⑤，证明见解析【分析】此题主要考查等边三角形的性质及三角形全的判定与性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．证明即可解题．【详解】解：正确的有①②③⑤，①∵和为等边三角形，∴，∴，∴，∴，②由①中的全等得，又，∴，即，∴，∴；⑤又∵，∴为等边三角形，∴，∴成立；③由得③成立．故答案为：①②③⑤．28．在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：证明：∵__________，∴__________．∵，∴__________．【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4）【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．（1）过点B作交于一点E，即可作答．（2），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答．（3）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答．（4）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答．【详解】解：（1）依题意，边上的高如图所示：（2）；证明：∵，∴，∵，∴；（3）过点B作交于一点G，∵，∴，∵点D为中点，∴，∵，∴；∵，，∴，∴，（4）过点B作交于一点，∵，∴，∵，∴，则，29．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．

(1)求证：平分；(2)若，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；（2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可．【详解】（1）明：如图，过点E作于G，于H，

∵，∴，∵，∴，∴，∴为的平分线，又，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴点E在的平分线上，∴平分；（2）解：设，则，∴，即：，解得，，∴，∴的面积为．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．30．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①：②：(2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定．（1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明：（2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明：（3）解题方法与（2）类似．【详解】（1）证明①在中，，，于D，于E，，，，，；②，，，；（2）证明：由（1）①同理可证，，，；（3）解：，理由如下：由（1）①同理可证，，，．31．已知，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（A，B，C不与点O重合），连接，连接交射线于点D，设．(1)如图1，若，①的度数是_________；②当时，的度数是_________；当时，的度数是_________；(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点F，当四边形为“完美四边形”时，求的值．【答案】(1)①；②，(2)的值是或或【分析】（1）①先利用角的平分线的定义，得到，再根据两直线平行，内错角相等，等量代换求得的度数即可；②当时，根据①得，再根据两直线平行，同旁内角互补，求得，结合；当时，根据①得，，再根据两直线平行，同旁内角互补，求得，结合解答即可；（2）利用分类思想，分；三种情况解答即可．【详解】（1）解：①∵，平分，∴，∵，∴；②当时，根据①得，∵，∴；∴，∴；当时，根据①得，，∵，∴；∴，∴，故答案为：①；②，；（2）①当时，如图，∵，平分，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴；②当点C在F左边，时，∵，平分，∴，∵，，∴，，∵，∴∵，∴，∴；③当点C在F右边，时，∵，平分，∴，∵，，∴，，∴；∴；∵，∴，∴；综上所述，当四边形为“完美四边形”时，的值是或或．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，垂直的定义，直角三角形的性质，角的平分线定义，分类思想．本题利用角平分线的定义，三角形内角和定理求出的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．32．（1）如图1，在中，的平分线与高线CD交于点F，则与的数量关系______．

（2）如图2，在中，，CD是高，的外角．的平分线交CD的延长线于F，其反向延长线与的延长线交于点E，试探究与的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键．（1）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论；（2）设，先求解，结合角平分线可得，再由高的定义得出，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：（1）解：，是高，，，，是角平分线，，，，．故答案为：；（2），理由如下：设，∵，，为的角平分线，，为边上的高，，，又，，．∴．33．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．【答案】（1）；（2）且【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围；（2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系．【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则，∵D是的中点，∴，在和中，，∴，∴，在中，可得：，即，∵，∴，∴，∴边上的中线的取值范围为：；（2）且，证明如下：如下图，延长，使得，延长与交于点H，由（1）可易证，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，

∴，∵，∴，∴，综上所述，且．【点睛】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大．34．如图，已知，点E在上，与相交于点F．

(1)若，，则线段的长是；(2)已知，，求的度数．【答案】(1)3(2)【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，，∴；（2）解：∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．35．如图，已知正方形的边长为10厘米，点E在边上，且厘米，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，与是否全等？请说明理由(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，能够使与全等；此时点Q的运动速度为多少？【答案】(1)全等，理由见解析(2)【分析】（1）由“”可证即可；（2）由全等三角形的性质可得，列出方程可求的值，再求解Q的速度即可．【详解】（1）解：，理由如下：∵正方形，∴，，而，∴，∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，，，，，，在和中，，；（2）设经过秒后，，当点与点速度不相同时，，此时，，解得，又，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．36．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为．（1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______；（2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积．【答案】（1）数量关系为：EF=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CF．证明见详解；（3）S△GHC=15．【分析】（1）数量关系为：EF=BE+CF．利用一线三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；（2）数量关系为：EF=BE-CF．先证∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，可得∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可；（3）先由（2）结论EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=，再求EG=3，AH=10，分别求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面积差即可求出．【详解】解：（1）数量关系为：EF=BE+CF．∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF+AE=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CF．∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF-AE=BE-CF；（3）∵EF=BE-CF；，∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，∵，EH+FH=EF=6，∴2FH+FH=6，解得FH=2，∴EH=2FH=4，S四边形ABFG==90，∴BG=，∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，∴S△GHC=S△AC