强化训练四 直线与平面所成的角、二面角的平面角的常见解法-2021-2022学年高一数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

专题强化训练四：直线与平面所成的角、二面角的平面角的常见解法

技巧一、定义法

利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角

就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.

例：在三棱锥丫一ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2,KC=小，求二面角V-AB—C的大小.

解取4B的中点。，连接VQ,CD,,.•△E48中，VA=VB=AB=2,

为等边三角形，...yCAB且卜。=小，

同理CD=币,

；.NV7)C为二面角M—AB—C的平面角，

而△口?(?是等边三角形，ZVDC=60°,

二二面角y-AB-C的大小为60。.

技巧二、三垂线法

是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面

的垂线.此方法是属于较常用的.

三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.

例：如图，在三棱锥s-ABC中，ZSAB=ZSAC=ZABC=90°,SA=AB,SB=BC.求二面角A—SC-B的平面角

的正弦值.

解取SB的中点。，连接4力，则垂足为点。，

由已知平面SBC_L平面平面SBCn平面&4B=S8,AZ)u平面&48,

.•.AD_L平面SBC.

作AELSC,垂足为点E,连接。E,

贝ijDELSC,

则NAEZ)为二面角A-SC-B的平面角.

设SA=AB=2,则SB=8C=2•，AD=y[2,AC=2小，SC=4.

由题意得AE=4§,

RtZXAQE中，sin/AE£)=^=*=坐，

.•.二面角A—SC-B的平面角的正弦值为坐.

技巧三、垂面法

作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面

角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.

例：如图，在三棱锥S—A8C中，S4,底面ABC,ABLBC,QE垂直平分SC且分别交AC,SC于点。，E,又SA

=AB,SB=BC,求二面角E—8。一C的大小.

解,:SB=BC且E是SC的中点，

，BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，,SC，BE.

又已知SCd_DE,BEQDE=E,BE,DEu平面BDE,

；.SC_L平面BDE,：.SC1BD.

又&41,平面ABC,BDu平面ABC,

：.SA±BD,而SCnS4=S,SC,SAu平面SAC,

平面SAC.

•.•平面S4CC1平面BDE=DE,

平面SACC平面BDC=DC,

：.BDLDE,BDLDC,

.♦.NE3C是所求二面角的平面角.

底面ABC,...SALAB,SALAC.

设&4=2,贝ijAB=2,BC=SB=2巾.

\'ABLBC,；.AC=2小，AZAC5=30°.

又已知DEVSC,；.Z£DC=60°.

即所求的二面角等于60。.

强化训练

一、单选题

1.（2021・全国・高一）在边长为1的正方体ABCO-A旦GR中，点N分别为AB,BC的中点，则直线MN与

平面CCA所成角的大小为（）

2.（2021•浙江嘉兴•高一期末）已知正四面体A8CQ,点”为棱A3上一个动点，点N为棱CD上靠近点C的三等

分点，记直线MN与所成角为凡贝ijsin®的最小值为（）

「&V34

\_Z.----Un.-----

1717

3.（2021•山东威海•高一期末）在正方体ABCO-ABCQI中，E,F,G分别为M.A8的中点，尸为底

面ABCQ上一动点，且直线RP〃平面EFG,则QP与平面ABCO所成角的正切值的取值范围为（）

A・筌］B.悍［

C.［1,万|D.［冬用

4.（2021•江苏•南京师大附中高一期末）在四棱锥P—ABCO中，A£>=2,AB=BC=CD=\,ADIIBC,且R4=PC,

PB=PD,则直线勿与平面以冷所成角的正弦值的最大值为（）

5.（2021・全国•高一）如图，在四面体A8CO中，AB=\,AD=20BC=3,CD=2,ZABC=ZDCB=90°,贝U

二面角A—6C—。的大小为（）

C.120°D.150°

6.（2021•全国•高一课时练习）如图所示，在AABC中，AD1BC,^ABD的面积是AACO的面积的2倍，沿A。将4ABe

翻折，使翻折后BC_L平面AC。，此时二面角3-AD—C的大小为（）

7.（2021・天津南开•高一期末）如图所示，等边三角形43c的边长为4,。为3c的中点，沿AO把AADC折叠到AAOC'

处，使二面角C'为60。，则折叠后二面角A—3C'—£＞的正切值为（）.

AG

a.-----B.抠

2

C.2D.75

8.（2020•浙江•高一期末）已知二面角。一，一夕为60,ABua,ABLI,A为垂足，CDu。，CG/,ZACD=45°,

则异面直线48与8所成角的余弦值为（）

D.

2

二、多选题

9.（2021・河北・廊坊市第一中学高一阶段练习）如图，已知正方体ABCB-A4CQ的棱长为1,E是棱8上的动点,

则下列说法正确的有（）

A.印_LAR

B

B.0E〃平面A耳BA

C.二面角E-A81-A的大小为60，

D.三棱锥4-耳RE的体积的最大值为:

10.（2021・全国•高一课时练习）如图，四棱锥S-ABC。底面为正方形，SO_L底面A8CQ,则下列结论中正确的有

A.AC1.SB

B.A8//平面SC£>

C.%与平面ABC。所成的角是NSAO

D.AB与SC所成的角等于。。与SC所成的角

11.（2021•浙江・台州市路桥区东方理想学校高一阶段练习）如图，三棱柱ABC-AMG的各棱长均为2,侧棱BB1与

底面ABC所成的角为60。，乙44片为锐角，且侧面底面A8C,下列四个结论正确的是（）

A.NABB|=60°B.ACLBB、

C.直线AG与平面ABBM所成的角为45。D.B.C1AC,

12.（2021・湖北孝感・高一期末）如图,在正三棱柱A8C-48/G中，AB=AAi=l,P为线段B/G上的动点，则下列

结论中正确的是（)

A.点A到平面A/8C的距离为"

B.平面4PC与底面ABC的交线平行于4P

2

TT

C.三棱锥P-A/8C的体积为定值D.二面角AMCA的大小为工

三、解答题

13.（2022•陕西・西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在三棱锥产一ABC中，PALAB,PALAC,ABLBC,

PA=AB=BC^2,。为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

（1）求证：平面B£）EJ_平面以C；

（2）求二面角P-BC-A的平面角的大小.

14.（2022•湖南・高一课时练习）如图，A8是。。的直径，点。为该圆上的一点，ZAOC=120°,SA_L。。所在的

平面，SA=AB,求SC与。0所在的平面所成的角的正切值.

15.(2021•浙江温州.高一竞赛)如图，已知三棱锥尸-ABC,底面AABC是等腰三角形，ZABC=120%△PAB是

等边三角形，。为线段AC上一点，AC=3AD,二面角的大小为120。.

(1)求证：ABYPD-,

(2)求直线PC与平面加?所成角的正弦值.

16.(2021•湖北•大冶市第一中学高一阶段练习)在三棱锥P-A8C中，ZACB=9Q°,底面ABC.

(1)求证：平面用C,平面PBC;(2)若AC=BC=B4,M是PB的中点.

①求AM与平面PBC所成角的正切值；②求二面角C-P8-A的大小.

17.(2021・全国•高一课时练习)如图在四棱锥P-A8C。中，底面ABCD是边长为。的正方形，侧面皿＞，底面

ABCD，且用如条，设4分别为PC,即的中点.

(1)求证：EF//平面PAO；

(2)求证：平面平面PQC；

(3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小.

18.(2021・广东白云•高一期末)如图，丛垂直于。。所在的平面，AC为的直径，43=3,3c=4,PA=36，

AEA.PB,点尸为线段8c上一动点.

(1)证明：平面AM_L平面PBC；

(2)当点F移动到C点时，求PB与平面4EF所成角的正弦值.

19.(2021•广东•肇庆市高要区第二中学高一)如图，三棱锥P-ABC中，PA^PC,AB=BC,N4PC=120。，ZABC

=90°,AC=6PB=2.

p

B

(1)求证：AC1PB；

(2)求PB与平面用C所成的角.

20.(2021・福建・闽江学院附中高一阶段练习)如图，在三棱锥A-8CO中，AB_L平面BCDE为棱AC上的一点,

且BEJ_平面ACD

(1)证明：BC±CD；

(2)设8C=CD=1,BC与平面AC。所成的角为45。，求二面角B—AO-C的大小.

21.(2021.全国.高一课时练习)如图所示，在三棱柱ABC-ABC中，点。是45的中点.

(1)求证：AG〃平面cnq.

⑵若A4,，平面ABC,ACJ.BC,M=1.AC=BC=y/2,求二面角4-CO-8的平面角的余弦值.

22.(2021・广东广州•高一期末)如图，在四棱锥P-A3CZ)中，底面48co为正方形，PA_L底面ABC。，PA=AB,

E为线段PB的中点，F为线段3c上一点.

(1)证明：平面AEb"L平面PBC；

(2)若F为3c的中点，求二面角E—AF—3的余弦值.

23.(2021•全国•高一课时练习)如图，在直角梯形A8C。中，AD//BC,ABVBC,3ZUDC,点E是8c的中点.将

沿80折起，使ABLAC,连接AE、AC,DE,得到三棱锥A-BCD.

A

(1)求证：平面A8£)J_平面BCD；

(2)若AO=1,二面角8-A£>—E的大小为60。，求三棱锥A-8CD的体积.

24.(2021・全国・高一课时练习)如图所示的几何体由三棱锥P-A。。和正四棱锥尸—ABC。拼接而成，P。，平面

ADQ,AB//PQ,PQ=1,AB=2,AQ=&\。为四边形ABC。对角线的交点.

(1)求证：OP//平面AOQ；(2)求二面角O—AP—Z)的正弦值.

25.(2021•江苏如皋•高一)如图，在四棱锥尸-ABCD中，B4_L平面ABCD,底面A8C。是平行四边形，E、F为PD

的两个三等分点.

(1)求证：8E//平面AC尸;

⑵若平面W平面PSPC与平面A88所成角为9*1,36求二面角A-PDW的正弦值.

26.(2021.江苏如皋.)如图，在等腰三角形AOP中，4=90。，AD=4,B,C分别是AP,OP上的点，且8C7/A。,

E,尸分别是A8,PC的中点，将APBC沿着BC折起，得到四棱锥P-A3CD,连接EF.

(1)证明：EF//平面PAO；

(2)若AB=1,当A4_L4?时，求二面角C—P£>—A的平面角.

27.(2021•江苏淮安・高一阶段练习)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CD为菱形，平面皿>_L平面ABCD,

PA=PD=2,Za4£)=60°.

(1)求证：ADA.PB；

(2)直线PB与平面4BC。所成角为45。时，试求:

①求四棱锥P-A3CZ）的体积；

②求二面角P-AB-C正切值；

③求证：二面角D-PC—8是直二面角.

28.（2021•湖北•华中师大一附中高一期末）如图，四棱锥P-AfiCO的底面是正方形，PA_L平面ABC。，PA^AB.

点E是尸£＞的中点，作E产，PC,交PC于点F.

（1）设平面以5与平面ACE的交线为/,试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明;

（2）求平面A4B与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；

（3）求直线PO与平面AEF所成角的正切值.

29.（2021・湖南・武冈市第二中学高一阶段练习）如图，在四棱锥P-MCD中，AD=2,AB=BC=CD=\,BC//AD,

NPA。=90、NP8A为锐角，平面P84,平面尸8力.

p

(1)证明：PA，平面A6Q9；

(2)若AO与平面尸皿所成角的正弦值为正，求二面角P-BD-C的余弦值.

参考答案:

1.A

【详解】

如图，连接AC,A。交AQ于。，连接0C,

•••点M,N分别为A3,8c的中点，

.,.MN//AC,

由正方体的性质可知CQ_L平面4ORA，

COJ.AR又\D[\DC=D,

：.A。，平面。CA,

/.ZACO为直线AC与平面DC\所成角，也即为直线MN与平面0cA所成角，

在直角三角形AC0中，A0=—,AC=y[2

2

：.ZACO=~,

6

故选：A

2.A

【详解】

解：不妨设正四面体ABC。的棱长为3,则底面三角形的高为*x3=|石，该四面体的高为,32-(6『=6,

BN=AN=>/BC2+CN2-2BC-CNCOS60°=^32+l2-2x3xlxl=5/7,要求直线MN与BC所成的最小角，即为直

线BC与平面ABN所成角，记点C到平面ABN的距离为h,

由=匕一38,得;=解得〃=警，所以直线BC与平面A3N所成角的正弦值为

3辰「屈

h_一!9——回，即sin6的最小值为"•.

----=--------=------19

BC319

故选：A.

由题意，如上图示，面EFG在正方体ABCQ-ABGA上的截面为EbG“且”为QC中点,

•••AP〃平面EFG,而面ABCDJ/面EFG,

二£>/u面ABCD,,又p为底面ABCD上一动点，则户在BC上，

DF与平面ABCD所成角为4）尸4,

当尸与B重合时，最小，此时tanNQBA="L=也，

当P与C重合时，⑷PD,最大,止匕时tanNOCR=*=l；

/•tanZDPD}e[y^,l].

故选：B

4.C

【详解】

取A£＞中点。，连接PO、BO、CO,设C。与BO交于F,连接PF,

在等腰梯形ABCD中，由AO〃8c且BO=BC=CD=OD,

故四边形。。CB为菱形，所以BOLCO,又PB=PD,且尸为8。的中点,

所以皿，「尸，又PFnCO=F,所以BO_L平面PCO,

过0作O〃_LPF交PF于”，由BD1平面PCO,

故又PFCBD=F,所以OH_L平面

设PO=f,OF=—AB=—,故OH=/—,一，又4£)=2O£),

22V4r+1

故点A到平面PBD的距离"=20H=J：,

设直线处与平面PBD所成角的大小为。，则

sin0=-^―=------2t------2,22

PA.“山\~21-V4+53

"75'4/+—+5

当且仅当4/=2即f=立时取等号,

厂2

7

故直线PA与平面尸8。所成角的正弦值的最大值为:,

故选：C

5.B

【详解】

如图，作BE"CD,且BE=CD.连接A£,ED,四边形8CDE是平行四边形，

因为ZABC=NDCB=90。,则ZEfiC=180°-90°=90°,

所以/ABE就是二面角A-3C-。的平面角，

由平行四边形8COE得。E=8C=3,BE=CD=2,

由NABC=N£BC=90。，且48("|8后=8,A8,8Eu平面ABE,得BCJ■平面ABE,

而AEu平面ABE,所以BC_LAE,所以£D_LM,

所以AE=JA£)2-EO2='12—9=6，

AB2+BE2-AE21+4-3=1

△AED中,cosZABE=所以ZABE=60。,

2ABBE2x1x22

故选：B.

6.C

【详解】

在“WC中，因为AD-LBC,沿AD将AABC翻折，

可得所以N8E>C为二面角8—A£)—C的平面角,

又因为8CL平面AC。，且C£)u平面ACD,所以3C_LCD,

由乙ABD的面积是AACD的面积的2倍，可得BD=2CD,

CD1

在直角△BCD中，因为BD=2CD,可得cosNBOC=—=-,

BD2

又由NB£)C=6(y,即二面角B-A£>-C的大小为60。.

故选：C.

7.C

【详解】

由条件可知NBOC=60,取BC'的中点E,连结4E,DE,

VAE=AC',DB=DC',

:.AEYBC,DEIBC,

.•.NAEZ)是二面角A-BC-3的平面角，

QAB=4,AD=2^5,

♦.•△比心'是等边三角形，DE=—BD=y[3,

2

tanZAED=—=^=2

DEG

故选：C

8.B

【详解】

如下图所示:

设C0=2,ADVl,AB=C，以。、CO为邻边作平行四边形ACDE,

在平面夕内，ADLI,8=2,ZACD=45,贝UAZ)=8sinNAC£>=0，AC=CQcos45。=0，

vABLI,ADVI,Mutz,A£>u£,

所以，为二面角。-/一月的平面角，即/区4。=60,

•.•A8=AZ)=血，.[△AB。为等边三角形，则8£>=&,

•.•四边形ACDE为平行四边形，，OE〃4C,即DE/〃,

•.•AD±/,ABI/,.1.DELAB,DELAD,

QAB\A£>=A,.•.£)E_L平面

Q8£>u平面8£),则BE=JBD?+DE?=2，

在平行四边形ACZJE中，A£〃C£>且AE=CO=2,

所以，异面直线AB与CD所成角为44E或其补角，

在△ABE中，AB=6,AE=BE=2,由余弦定理可得cosNBAE=+八£-=走

2ABAE4

因此，异面直线A8与CD所成角的余弦值为变.

4

故选：B.

9.ABD

【详解】

对于A：连接A。，BC,则ARJ.A。，8,面AORA，4^<=面4。。4,所以COLAR,因为C£>DAQ=。,

所以AR上面AAC。，因为面所以E41A0,故选项A正确；

对于B：因为面。Cq。〃平面4片区4,REu面DCCR,所以RE〃平面4月84,故选项B正确；

对于C：二面角E-A用-A即为二面角-A,因为8,面4蜴8A，所以NC瓦8即为所求角，在Rt^CB田中,

ZCB,B=45,故选项C不正确;

对于D：设A〃nAQ=O,则匕一^^九叫+勿…^)①磔二人口，因为AR=0,OB|==—v6,三%

2

点E与点C重合时，点C到0B,的距离最大，此时OC==乎所以S,。*最大为:

~2'

1也1

夜

乙

所以

最大

值为

XX一

3-2一3-

故选ABD

10.ABCD

【详解】

ABC£)是正方形，则月CJ_B£>,又5。_1_面480ACu面A8C£>,所以SO_LAC,

SDCBD=D,SRBOu平面S3。，

所以AC_L平面SB。，而S8u平面SB。，所以ACJ_S8,A正确；

AB!/CD,A8<z平面SCO,COu平面SC。，所以A8//平面SC£>,B正确；

SOJ_底面ABC。，所以弘与平面A3。所成的角是NSAO,C正确；

AB//CD,AB与SC所成的角等于OC与SC所成的角，D正确，

故选：ABCD.

11.ACD

【详解】

如图，过A作4”，4勺，，为垂足，连结如图建立空间直角坐标系

对于A选项，侧棱网与底面ABC所成角为60,4小内为锐角，且侧面"441底面ABC,：.ZAA,Bt=60。

,又三棱柱A8C-AB|G的各棱长相等，可知四边形AA8田为菱形，ZABB1=ZA41B=60°,故A选项正确；

对于B选项，易知A(0,0,V3),C(-1,V3,V3),B(-2,0,V3),B,(-l,0,0),

衣=(-1,6,0),西=(1,0,—6)•.亚♦西=一1/0,故B选项不正确；

对于C选项，由题意可知NC①”即为AG与平面44田8所成的角，

tanZC,AH=^=l,：.ZCtAH=4S\故C选项正确；

AH

对于D选项，^C=(0,V3,V3),AC;=(0,V3,-x/3),.•.而•记=0

因此8。LAC”故D选项正确.

故选：ACD

【点睛】

本题考查了空间向量与立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题

12.BC

【解析】

【分析】

根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】

A选项，四边形ABB,是正方形，所以所以与=#，

但AM与BC不垂直，所以AM与平面A8C不垂直，所以A到平面48C的距离不是正，A选项错误.

2

B选项，根据三棱柱的性质可知，平面A8C〃平面ABC一所以从尸〃平面A8C,

设平面APC与平面A8C的交线为/,根据线面平行的性质定理可知Af/〃，B选项正确.

C选项，由于BC〃BC，4GN平面ABC,8Cu平面\BC,所以B、C、H平面A8C.所以「到平面A.BC的距离为定值,

所以三棱锥尸-A8c的体积为定值，C选项正确.

D选项，设。是8c的中点，由于AC=AB,AC=4B,所以A2,3C，4Q，8C,所以二面角4-BC-A的平面角

为/AQA,由于AAXAQ,所以NAQAwt,D选项错误.

故选：BC

B

13.(1)见解析

呜

【解析】

【分析】

(1)由线面垂直的判定定理可得平面ABC,从而可得3D,证明8。，AC,再根据线面垂直的判定定

理可得8。，平面PAC,再根据面面垂直的判定定理即可得证；

(2)由线面垂直的性质可得R4J.BC,再根据线面垂直的判定定理可得BCJ•平面则有BCJ.P8,从而可

得NPBA即为二面角P—BC—A的平面角，从而可得出答案.

(1)

证明：因为以_LAB,PAVAC,43cAe=A,

所以24_L平面ABC,

又因5£)u平面ABC,所以R4_L8£>,

因为。为线段AC的中点，AB=BC,

所以5£>_LAC,

又R4nAC=A,所以BD_L平面以C,

又因为Qu平面BDE,

所以平面_平面B4C；

(2)

解：由(1)得24_L平面A8C,

又3Cu平面A3C,所以24L8C,

因为AB_LBC,PA[}AB=A,

所以8c，平面R钻，

因为PBu平面弘8,所以8CJ_P8,

所以NP8A即为二面角尸一BC-A的平面角,

在R/APIB中，PA^AB^l,

TT

所以tan/P84=l,所以NPBA=一,

4

TT

即二面角P-BC-A的平面角的大小为

4

14.空

3

【解析】

【分析】

连结AC,则NSC4为SC与e。所在的平面所成的角，设SA=AB=2,求出AC的长度，即可得出答案.

【详解】

连结AC,由SALeO所在的平面

所以NSC4为SC与e。所在的平面所成的角

设&4=A3=2,则AO=OC=1

AC=yjAO2+0C2-2AOOCcosl20°=也

所以tanNSC4=^=*=^

ACG3

15.(1)证明见解析

⑵文

【解析】

【分析】

(1)根据等腰三角形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可;

(2)根据二面角的定义、线面角的定义，结合余弦定理进行求解即可.

(1)

取AB中点。，连接P。，DO.

因为钻为等边三角形，所以POLA6.

设A8=l,因为AABC为等腰三角形，且/4BC=120。，所以

AC=^l+l-2xlxlx（-l）=y/3,AD=*,

在△ABD中，ZBAC=30°,由余弦定理得：

B0=Jl+」xlx与立=虫,

V3323

所以D4=£>8,故。O_LA8.因为POC|OO=O,PO,OOu平面POO,所以平面PQ。，从而

（2）

在R4上取点E,使AE=；AP,连接ED,则以）//PC,

所以直线PC与平面B45所成角等于直线与平面R4B所成角，

由（1）43_1平面2。。，得平面PDO_L平面/MB,过£>作。尸_LPO于F,则Of_L平面上4B,连接EF,则NDEF

为直线即与平面加所成的角.

又由（1）知二面角P-AB-O的平面角为/PO£>=120。，所以NDOF=60。，

设AB=1,则40=且，AE=-,0D=-AD=—.P0=—,

33262

所以在APOD中，余弦定理得：

在/\PAD中求得，cosAPAD=0A+A)—=B,

IPA-AD8

在中，余弦定理得：

由席哼器=警W.

1

,…口DF43旧

所以smZ.DEF===----

9以DE71326,

6

即直线PC与平面RW所成角的正弦值为豆叵.

26

16.(1)证明见解析(2)①&②60。

【解析】

【分析】

(1)根据题意，得到和ACL8C,证得BCL平面用C,再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PACL

平面PBC.

(2)①取PC的中点。，连接AD,DM,得出。M是斜线AM在平面P8C上的射影，得到N4WD是AM与平面PBC

An

所成角，再由tanNWOuFy,即可求解，②取AB中点尸,过户作EF_LP8于E,连接，可证明NCEF是二面角

DM

C-PB-A的平面角，解直角三角形求其大小即可.

【详解】

(1)由题意，因为P4_L面ABC,5。<=面48<7,.・.~4_18。，

又ZACB=90,,即AC_LBC,QPAIAC=A,.•.3C_L平面以C,

•.•BCu平面P8C,...平面PACJ•平面PBC.

(2)①取PC的中点。，连接AO,DM.

AC=PA,:.ADPC.

由（1）知，BC_L平面PAC,

又4>u平面PAC,.•.3C_LAD.而PCc3C=C.r.AD_L平面PBC,

所以DM是斜线AM在平面PBC上的射影，

所以/AMD是AA/与平面P8C所成角，且

设AC=8C=PA=2a,则由M是PB中点得0M=，BC=a,

2

An1—

AD=ypia，所以tanZ.AMD=-----=yj2,

DM

即AM与平面尸8C所成角的正切值为血.

②取AB中点F,过F作耳'_LP3于E,连接CE,

由AC=8C可得CF-LAB,又PA_L面ABC,:.PAA.CF,

-.-PA±CF,CFLAB,PA^}AB=A,

.•.《尸_1平面%6,

EF是C£在平面匕的射影，

:.CEVPB,

.•.NCEF是二面角C-PB-A的平面角，

在Rt，BC中,由PC•BC=CE•PB可得CE=巴世=垄窄”■=述~a

PB2岛3

XCF=-AB=—x2a=V2a,

22

./…CF缶73

所以在直角△CEF中CE2展2，

---a

3

故NCEF=60°.

17.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)45°.

【解析】

【分析】

(1)连接AC,可得在ACR4中切〃P4,由线线平行即可得到线面平行.(2)先由侧面皿)，底面ABC。得到CD1

平面PAO进而得到CDLPA,,再由三角形三边关系得到PAA.PD,即可得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理

得证面面垂直.(3)由(1)中结论可将直线EF与平面ABC。所成角转化为直线％与平面A8CD所成角NP4E),即

可直接在△%£＞中求解.

【详解】

(1)因为四边形ABCD为正方形,连接AC,则ACc8。=尸，尸为AC中点，E为PC中点，所以在ACPA中EF//PA,

且B4u平面上4£),

平面PAD,所以EF〃平面PAD.

(2)因为平面皿＞J_平面

平面PA£)n平面筋8=M＞，且四边形ABC。为正方形，

所以CD_LAD,CDu平面ABCD,

所以C£＞1平面PAD,所以C£)_LR4,

又PA=PD=^AD,

2

所以△皿＞是等腰直角三角形，且NAPD=90。，

即尸4_LP£»,CDcPO=。，且CRPOu平面PDC,

所以PA_L平面PDC,

又R4u平面E4B,所以平面PAB_L平面尸DC.

(3)因为EF//P4,

所以直线EF与平面A8C。所成角的大小等于直线P4与平面A8CD所成角的大小，

因为侧面PAD_L底面A8CD,所以/抬。就是直线R4与平面A8CD所成角，在△”£＞中，PA=PD=—AD,所

2

以NPAD=45°,

所以直线EF与平面A8CD所成角的大小为45。.

18.(1)证明见解析；(2)生叵.

19

【解析】

【分析】

(1)利用线面垂直的性质可得PA_L8C，结合AS-L8c可得BC_L平面E1B,根据面面垂直的判定定理即可证明;

(2)由题意可得3E=6，过点E作EG//PA交A8于点G(如图)，得出EG=&，

进而和S,AEC，结合等体积法即可求出点B到平面AEC的距离，从而得出结果.

【详解】

(1)证明：因为修垂直于。。所在的平面，即PAL平面ABC,8Cu平面A8C,

所以PAJLBC,又AC为0。的直径，所以

因为尸=所以BCJ•平面Q4B,

又AEu平面B4J5,所以BC_LAE,

因为AELPB,BC"B=B,

所以A£_L平面PBC,又AEu平面AEF,

所以平面平面PBC.

(2)解：因为AB=3,PA=3披，所以尸B=JAB，+以2=3百，

又AELPB,所以AE=W4=&,

由可得BE=G，

如图，过点E作EG〃外交A3于点G,则笠=未，可得EG=g，

又BC=4,所以EC=jBC、BE2=M，

所以s△诙=gA&BC=6,S4C=；AE-EC=¥，

设点3到平面A£C的距离为/7,

=y

由^E-ABC^B-AEC，可得鼻S4ABC，EG=-S^AEC-h,解得〃=4,

3J19

所以当点F移动到C点时，尸8与平面AEF所成角的正弦值为—=处.

BE19

TT

19.(1)证明见解析；(2)y.

【解析】

【分析】

(1)取AC的中点为。，连接80,P0,在AB4C中，由%=PC,得至lJP0J_4C,在ABAC中，由BA=BC,得到

B0LAC,再利用线面垂直的判定定理证明；

(2)易知PO2+BO2^PB2,得到POLBO,再由B0VAC,得至ljB。，平面ABC,进而得到N0PB为PB与平面PAC

所成的角求解.

【详解】

(1)如图所示：

取AC的中点为。，连接B。，P0.

在ABAC中，-：PA=PC,。为AC的中点，

：.P0LAC,

在ABAC中，\-BA=BC,。为AC的中点,

：.B0：LAC,

\'0PH0B=0,OP,02u平面0P8,

，4C_L平面OPB,

平面POB,

：.AC±BP

(2)在直角三角形43c中，由AC=2,。为AC的中点，得80=1.

在等腰三角形4PC中，由N4PC=120。，得尸0=且，

3

又•.•PB=迫，

3

：.PO2+BO2=PB2,BPPO±BO,

XBO1AC,ACH0P=0,

：.80_L平面ABC,

即NOPB为PB与平面南C所成的角.

OP1

在R#OB中,cosZOPB=——=一,

PB2

TT

因为NOPBe0,y,

TT

所以NOPB=§,

ir

所以PB与平面B4C所成的角大小为

20.(1)证明见解析(2)60°

【解析】

【分析】

(1)推导出BE_LCD,ABLCD,从而CD,平面ABE,由此能证明BC,CD

(2)由8E_L平面AC。，NBCE即为BC与平面AC。所成角，得到/BCE=NBC4=45°,BC=AB=\,过点B

作交AO于尸，连结EF,推导出AOJ_平面8EF,ADA.EF,从而N8尸E是二面角8-AD-C的平面角,

由此能求出二面角8-40-C的大小.

【详解】

(1)证明：,..8E_L平面ACC,CZ)u平面ACC,:.BELCD,

BCD,CDu平面BCD,：.AB1.CD,

'：ABHBE=B,平面ABE,

：BCu平面ABE,ABCA.CD.

(2)：BE_L平面ACO,NBCE即为BC与平面AC。所成角，

•：BC=CD=l,BC与平面AC。所成的角为45。，

：.ZBCE=ZBCA=45°,BC=AB=\,

过点8作8"LAD,交A。于F,连结EF,

'JBFLAD,BE_LAD,BECBF=B,BEF,

VEFc^F®BEF,：.ADLEF,

，NBFE是二面角B-AD-C的平面角，

・：BE=立,吁^£=逅，

2AD3

../REBE73

.,smZBFE=——=—,

BF2

由题图知，二面角B-A。-C的平面角为锐角，

二面角B-AD-C的大小为60°.

21.(1)证明见解析.

⑵立.

2

【解析】

【分析】

(1)连接Bq交8c于点M,连接M。，由中位线定理得O"〃AG，从而可得线面平行;

(2)证明平面48gA,得N8Q8是二面角片-C3-B的平面角，然后在三角形中求得其余弦值.

(1)

连接交BC于点M,连接MQ,如图，

则M是BG中点，又。是A8中点，所以。M//AG，

MDu平面COq,4，0平面€7)瓦，所以AG〃平面CDB1；

⑵

平面ABC,C£>u平面45C,所以

又AC=BC,。是43中点，所以CD1.A8,

ABcA41=A,A8,eu平面4阴4，所以平面A叫A，

BQu平面A8BM，所以C3L8Q,所以/与。8是二面角g-(7。一8的平面角,

由AC_L5C,A4=l,AC=BC=近,得AB=2,BD=\,BB、=1,所以BQ=6,

cosZB.DB=.

12

22.(1)证明见解析

⑵李

6

【解析】

【分析】

(1)证明出A3,平面PBC,利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

(2)设%=他=2,取A8的中点G,连接EG,过点G在平面ABC。内作GM，AF,垂足为点连接,

分析可知二面角E-AF-B的平面角为/EMG,计算出AEMG三边边长，由此可求得/EMG的余弦值，即可得解.

(1)

证明：平面A8CD,BC^nABCD,:.BCVPA,

•.•四边形ABC。为正方形，则

•：PAr\AB=A,BCL^^PAB,vAEc¥ffiMB.:.AEA.BC,

■.■PA=AB,E为尸B的中点，则A£_LP3,

•"BnBC=8,.•.隹_1平面尸8。，•.•/1£：＜=平面4£1尸，，平面4£77平面「8(7.

(2)

解：设R4=AB=2,取A8的中点G,连接EG,过点G在平面ABC。内作G/W_LAF,垂足为点M