高等数学一期末复习题及答案

《高等数学（一）》期末复习题

一、选择题

1、极限lim（Jpn-x）的结果是（）

XT笫

（A）0（B）oo（C）-（D）不存在

2

2、方程％3—31+1=0在区间（0,1）内（）

（A）无实根（B）有唯一实根（C）有两个实根（D）有三个实根

3、/（x）是连续函数，则］7（%）公是/"）的（）

（A）一个原函数：（B）一个导函数：（C）全体原函数；（D）全体导函数：

4、由曲线y=sinx（0和宜线y=0所围的面积走（）

(A)1/2(B)1(02(D)汽

5、微分方程V=12满意初始条件yL=o=2的特解是()

(A)x3(B)-+x3(C)X34-2(D)-X3+2

33

6、下列变昼中，是无穷小量的为()

1x-2

(A)Inx(x1)(B)In—(x—>()+)(C)cosx(xfO)(D)-----(xf2)

xx-4

7、极限lim(xsin』-Lsinx)的结果是()

XT。xx

(A)0(E)1(C)-1(D)不存在

8、函数y=1+/1*&211%在区间［-1,1］上()

（A）单调增加（B）单调减小（C）无最大值（D）无最小值

rx

9、不定积分二一dx=（）

J+1

(A)arctanx2+C(B)ln(x2+1)+C(C)-arctanX+C(D)-ln(x2+1)+C

22

10、由曲线y=e*(0<xvl)和直线y=0所围为面积是()

(A)e-\(B)1(C)2(D)e

dy

11、微分方程=xy的通解为)

dx

(A)y=Ce2x(B)y=Ce^(oy=€Cxx

(D>y=Ce

12、下列函数中哪一个是微分方程旷一3工2=。的解（）

(A)y=x"2(B)y=-x3(Oy=-3rx2(D)y=x3

13、函数y=sinx+cosx+l是()

(A)奇函数：(B)偶函数：(C)非奇非偶函数：(D)既是奇函数又是偶函数.

14、当Xf0时，下列是无穷小量的是()

(A)ex+l(B)ln(x+l)(0sin(x+l)(D)Yx+1

15、当XT8时，下列函数中有极限的是()

X+1]

(A)—：——(B)cosx(0—(D)arctanx

x2-!ex

16、方程％3+川+1=0(〃>0)的实根个数走()

(A)零个(B)一个(C)二个(D)三个

17、f(-^-),dx=()

J1+X2

11「

(A)-----(B)------+C(C)arctan(D)arctanx+c

\+x2\+x2

18、定积分]/*(冗)办是o

(A)一个函数族(B)f(X)的的一个原函数(C)一个常数(D)一个非负常数

19、函数y=ln(x+\/x+1J是()

(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数

20、设函数/(x)在区间［0,1］上连续，在开区间(0,1)内可导，且/'(x)>0,贝M

(A)/(0)<0(B)/(l)>/(0)(0/(1)>0(D)/(1)</(0)

21、设曲线yr】2*2,则下列选项成立的是()

(A)没有渐近线(B)仅有铅直渐近线

(0既有程度渐近线又有钳直渐近线(D)仅有程度渐近线

22、

<A)-sinx+cosx+C(B)sinR一COSX+C

(c>-sinx-cosx+C(D)sinx+cosx+C

f几+(—1)”［

23、数列｛-----------｝的极限为()

n

(A)1(B)-l(00(D)不存在

24、下列命题中正确的是()

(A)有界昼和无穷大量的乘积仍为无穷大量(B)有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量

(C)两无穷大量的和仍为无穷大量(D)两无穷大量的差为零

25、若ff(X)=g'(X),则下列式子肯定成立的有1)

(A)f(X)=g(X)(B)J叭x)=Jdg(x)

(c)([4(x)y=(Jdg*)y(D)/(x)=g(x)+l

26、下列曲线有斜渐沂线的是()

(A)y=x+s\nx(B)y=x2+sinx

(0y=x+sin—(D)y=x2+sin—

XX

二、填空题

..1-cosx

1、hm-----——=

XT。£

2、若/(幻=/、2,则/'(0)=

3、Jj(x3cosx-5x+l)dr=

4、jeldx=

5、微分方程y'—y=0满意初始条件yL=o=2的特解为

lim=

6、

12X+3

7、极限lim—z------=

—x2-4

8、设丁=4皿x+1,则/r(^)=

9、J(xcosx+l)dr=

11、微分方程ydy=xdx的通解为

12、J5x4dx=

..x+sin2x

13、lim---------------

Z8X

14、设丁=(：0$]2,则今=

15、15j=xcosx-3,WiJf'(九)=

16、不定积分Je'de'=

17、微分方程y'=e-2x的通解为

Ixx<0

11、（本题满分10分）探讨函数/（工）=〈在x=O处的连续性。

[ex-lxNO

12、（本题满分10分）求方程（l+72）dx—（1+大2）力=0的通解。

13、（本题满分10分）证明方程-7x=4在区间（1,2）内至少有一个实根。

14、（本题满分10分）设/（x）=x（x+l）（x+2）…（x+2015）,求/'（0）。

15、（本题满分10分）求曲线e'+盯=e在点（0,1）处的法线方程。

16、（本题满分10分）求曲线y=cosx及直线y=2,x=/及y轴所围成平面图形的面积。

fcosxx>0八

17、（本题满分10分）探讨函数f（x）=《在X=0处的连续性。

[x+1x<0

—=l-x+j2-xy2

18、（本题满分10分）求微分方程彳dx的特解。

yko=i

19、（本题满分20分）

20、（本题满分20分）假定足球门的宽度为4米，在间隔右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：该球员应在离底

线多少米处射门才能获得最大的射门张角6?若球员以5.2米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在间隔底线2米处，射

门张角的改变率。

21、（本题满分io分）设/（x）=J：11:t出（x>0）,求/（x）+/（；•）.

22、证明题（本题满分10分）

设函数/⑴在3]上连续，在（0,3）内可导，/（0）+/（1）+/（2）=3,"3）=1。试证

必存在一点Jw（0,3）,使得（4）=0.

23、（本题满分20分）一火箭放射升空后沿竖直方向运动，在间隔放射台4000m处装有摄像机，摄像机对准火箭。用〃表示高度，假

设在时刻2，火箭高度〃=3000m,运动速度等于300n/s,（1）用L表示火箭及摄像机的间隔，求在％时刻L的增加速度.

（2）用a表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度），求在时刻a的增加速度.

《高等数学（一）》期末复习题答案

一、选择题

1、C解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同时除以X；第四步化简即可。

2、B解答:设/（外=炉一3X+1,则/（O）=1J⑴=-1,有零点定理得/⑶在区间（0,1）内存在实数根，又因尸（X）=3/—3VO,

可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。

3、C本题考察不定积分的概念，不定积分是全部原函数的全体。

4、C解答：利用定积分的几何意义，所求面积为J：sinxdx=2

5、D解答：干脆积分法y=1x3+C代入已知点坐标可得C=2

3，

6、A解答：因为lim加x=lnl=O所以此时是无穷小量。

X->1'

7、C解答：lim(xsin-----sinx)=0-1=-1

zxx

8、A解答：因为所以单调增加。

1+X2

9^D解答：f——dx=-l—^—dx2=—[—d(x2+1)=—ln(x2+1)4-C

J/+i2Jx2+l2JX2+12

fi1

10、A解答：利用定积分的几何意义，所求面积为［exdx=ex=e-l

J。0

11、B解答：先分别变量，两端再积分

所求通解为y=C/

12、D解答：干脆积分法y=x3+c当C=0时有^=^3

13、C解答：y=sinx+cosx+l是奇函数加上偶函数，所以是非奇非偶函数。

14、B解答：limln(x+l)=lnl=0所以此时是无穷小量。

•TfO，

X+\r4-11

15、A解答：lim——=lim-----------=lim------=0其它三项极限都不存在。

-1xf°Cr+l)(x-l)-xQ-i)

16、B解答：设f(x)=/+px+l,则/(0)=1,/(—1)=一〃<0,有零点定理得/(幻在区间(一1,0)内存在实数根，又因

ff(x)=3x1+p>0可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。

17、B解答：求导及求积分是互逆的运算，先求导再求积分，是全部原函数所以选B

18、C解答：考察定枳分的概念，定积分计算完以后是一个准确的常数，可能是正数，也可能是0,还可能是负数。

19、A解答：由函数的奇函数和偶函数的定义去推断即可，设

2

y=f(x)=ln(x+Jx+1)则

20、B解答：由于/'(X)>O所以f(l)>/(O)

2_2

21、C解答：lim-----r=2=y=2是程度渐近线；lim-------=oo=>x=0

XT81—e-XXT。l-e-*r

是铅直渐近线。

22、D考察定积分的性质及根本的积分表J(cosx-sinx)办=sinx+cosx+C

..4-(—1)"

23、A解答：分子分母同时除以〃可以得到〃hmT8------〃-------=1

24、B解答：考察无穷小量的重要性质之一，有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量，其它选项都不肯定正确。

25、C解答：f(x)=g<x)=>df(x)=dg(x)=>(J#*))'=(jdg(x))',其它选项都有反例可以解除。

26、C解答：有求解斜渐近线的方法可得

.1

]x+sin—11

y=x+sin—=>k=lim—=lim--------=lim1+0=1b=lim(y-A^)=lim(x+sin——x)=limsin—=0>所

XXXT8XXT8If81XfOOJQ

求斜渐近线为y=其它选项都没有。

二、填空题

12

—X

1-cosX1

1、一解答:l-cosx-fnhm-----——=lim^-y

22iodx-2

x->0

或者用罗比达法则也可以求解。

2、2解答：f(x)=/X+2，则/'(x)=2elx=>/r(0)=2

3、2解答：应用奇函数在关于原点对称区间上的积分为0

4、e'x+C分析:被积函数e’相对于积分变量来说是常数，所以J"dr="x+C

5、y=2/解答：y'-y=()=>)，=Cel代入初始条件)，ko=2得到2=Ce°=>C=2所求特解为y=2/

2x+3Xf22+3125

3锌x2—x—2(x-2)(x+l)(x+1)2+13

7、一解：lim---；-----=lim------------=hm------=hm-----=—

412X-4E(X+2)(X-2)i(x+2)^22+24

8、1解:y=xsinx+l=>y'=sinx+xcosx则/r(—)=sin—+—cos—=1

2222

9、_2_解:应用性质，奇函数在对称区间上的积分为0

J132dx=3arctanx+C

10、3arctanx+C解：由根本的积分公式

2222

11、y=x+C对方程丁力=xdr两端积分Jydy=Jxdx=>y=x+C

J：5x%=2j：

12、2解：利用偶函数的积分性质5x4dx=2x=2

o0

sin2x

x+sin2x1+01

13、1解：lim=rhm-----------=lvim-----=1

XT8X-»CO1X-H»1

14、-2xsinx2dx^由微分的定义dy=y'dr,先求出导数，再求微分

—1解：y=xcosx-3=y'=cosx-xsinx==cos〃一；rsin;r=­l

16、,。2*十。解：将e*看成一个整体，利用凑微元法得feXde*='e2x十。

2J2

17、y=21+。解：先分别变量，再积分得通解

18、y=e*+C解：先整理，再分别变量求通解

—62,2/

19、e解：利用重要极限进展恒等变形，再求解lim（l——产=lim（l——）2=e<

------------X-KOXX

20、r（hu+l）解：本题是塞指函数，利用对数求导法来求导数

1

21、彳解：分母一样，分子先通分，分子分母最高次第都是2次篝，自变量趋于无穷大，极限等于最高次第的系数之比

-解:分子分母最高次嘉都是3次嘉，自变量趋于无穷大，极限等于最高次嘉的系数之比lim"（X：1）（"+2）=」

22、

2…2X5+X-32

23、］叱+1）4¥解：由微分的定义dX=y'dr,先求出导数，再求微分，本题是森指函数可以利用对数求导法来求导数

24、L解:2丁—3x+1=Hm型1

lim

4XTOx+4XTO0+44

25、2_解：先求导数，再代入详细数值f（x）=2e2x=7'（0）=2e0=2

C0+2”-广a+2/r

26、2加解：利用奇函数及偶函数的积分性质f（1+sin5x）dx=［ldx=2几

____JaJa

x

e

27、——dx解：由微分的定义d>，=ydr,先求出导数，再求微分

e

28、一解：利用奇函数及偶函数的积分性质

三、解答题

1、（本题满分9分）

x-1^0

解：由题意可得,

2-xN0

”1

解得

[x^2

所以函数的定义域为［1,2］

2、（本题满分10分）

解：/'（O）=lim/（外一八。）

5X-0

3、（本题满分10分）

解：方程两端对X求导，得y'=x2+x+6

将工=0代入上式，得y［（o.］）=6

从而可得：切线方程为j-l=6（x-0）即y=6x+l

4、（本题满分10分）

解：作平面区域，如图示

y=x

解方程组,得交点坐标：（0,0）,（1,1）

y=x

r]xx'j

所求阴影局部的面积为：S=[(X-x")dx-----------=—

L23Jo6

5、(本题满分10分)

解：•・,limf(x)=limx+2=3=/(I)

x->i+x->r

・•・f(x)在X=1处是连续的。

6、（本题满分10分）

解：将原方程化为dy=（2x+3）dx

两边求不定积分，得JdX=J（2x+30x,于是y=x2+3x+C

将yl“i=3代入上式，有3=l+3+C，所以C=—l,

故原方程的特解为J=X2+3X-U

7、（本题满分9分）

x-4>0

解:由题意可得,

5-x>0

解得[x45

所以函数的定义域为［4,5］

8、（本题满分10分）

解：/'（0）=lim/a）一〃°）

3X-0

9、（本题满分10分）

解：方程两端对x求导，得2x-2（y+盯'）+6灯'=0

将点（2,1）代入上式，得y［（2,i）=-1

从而可得：切线方程为j-l=-（x-2）即x+y-3=0

10、（本题满分10分）

解：所求阴影局部的面枳为5=J；（e、一l>/x

11、（本题满分10分）

解：limf（x）=lim—1=0=f（0）

XT0+Xf0+

...f（x）在x=0处是连续的。

12、(本题本分10分)

解：由方程(l+y2)dx—(l+x?)心=o,得

两边积分：J—=

31+y2J1+x2

得arctany=arctanx+C

所以原方程的通解为：arctany=arctanx+C或丁=tan(arctanx+C)

13、(本题满分10分)

解：令尸(M)=-7%—4,F(x)在［1,2］上连续

由零点定理可得，在区间(1,2)内至少有一个使得函数尸(岁)=4、-7J—4=0,

即方程X5-7X-4=0在区间(1,2)内至少有•个实根。

14、(本题满分10分)

解：/'(0)=lim—"°)=lim(x+l)(x+2)・・・(x+2015)=2015!

x->0X—0IO

15、(本题满分10分)

解：方程两端对X求导，得e'V+y+盯'=0

将点(0,1)代入上式，得)[(0]=一二

从而可得：法线方程为y=ex+l

16、(本题满分10分)

解：作平面图形，如图示

17、(本题清分10分)

解：limf(x)=limcosx=1=/(0)

*T0+XTO+

・•・/(x)在x=0处是连续的。

18、(本题满分10分)

解：将原方程化为—=(1-x)(l+y2)或乜=(1-x)dx

dx1+y

两边求不定积分，得arctany=x——x2+C

2

7t

由得到，=彳

故原方程的特解为arctany=+?或y=tanCx-gx2+?).

19、(本题满分20分)

解：A由以［0,0,为底、高为■的曲边梯形和

由切片法可得：

尸3)驻点唯一，又依据问题的实际意义F(a)的最小值存在,

4

.•.〃=—就是尸3)的最小值点

或

者，又FM)4=4>。，・.・3为极小值点，亦最小值点，

“W5

20、(本题满分20分)

解：由题意可得张角8及球员距底线的间隔4满意

令丝=0,得到驻点％=一标(不合题意，舍去)及X=V60.由实际意义可知,所求最值存在，驻点只一个，故所求结果就是

dr

最好的选择.即该球员应在离底线标米处射门才能获得最大的射门张角。若球员以5.2米每杪的速度跑向球门，则