第一章 全等三角形（3类压轴题专练）

第一章全等三角形（压轴题专练）一．倍长中线压轴1．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使请根据小明的方法思考：

（1）求得的取值范围是___________；【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题如图，已知，，，为的中点．（2）如图1，若，，共线，求证：平分；（3）如图2，若，，不共线，求证：；（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．2．如图，在中，为边上的中线．

(1)按要求作图：延长到点E，使；连接．(2)求证：．(3)求证：．(4)若，，求的取值范围．3．（1）方法呈现：如图1，在中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．二、全等性质与判定的综合证明4．如图，中，，、是边的中线，有；垂足为点E交于点D．且平分交于N．交于H．连接．则下列结论：①；②；③；④；错误的有（）个．A．0 B．1 C．3 D．45．（1）已知等腰和，连接，若直线交于点O，则__________；（2）如图所示，，连接和，过点A作交于点G，垂足为F，若，求的面积．

6．如图，在与中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④7．如图，已知，，，点C，D，E，F在同一条直线上，下列结论不一定成立的是（）A． B．C． D．8．如图，交于M，交于D，交于N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个三、动点全等三角形问题9．现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（）A． B． C．或 D．无法确定10．如图，已知中，，点D为的中点．(1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度(2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出：①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？11．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．

(1)线段的长度等于___________．(2)求证：．(3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．12．如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动______秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．

第一章全等三角形（压轴题专练）答案全解全析一．倍长中线压轴1．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使请根据小明的方法思考：

（1）求得的取值范围是___________；【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题如图，已知，，，为的中点．

（2）如图1，若，，共线，求证：平分；（3）如图2，若，，不共线，求证：；（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）【解析】（1）为边上的中线，，在和中

，，，，即，，，，故答案为：（2）如下图，交延长线于点

，（同旁内角互补，两直线平行），，，为的中点，，，，又，，即，在和中，（全等三角形的对应角相等），即平分（3）延长至点，使得，连接、、

由（1）同理易知，，，，且，，，，，，，，（4）过点作交于点，由（3）可得，，，，

，，和互余，，，，，，又，，故答案为：2．如图，在中，为边上的中线．

(1)按要求作图：延长到点E，使；连接．(2)求证：．(3)求证：．(4)若，，求的取值范围．【答案】6．(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)【解析】（1）解：如图所示，

（2）证明：如图，

∵为边上的中线，∴，在和中，，∴．（3）证明：如图，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．3．（1）方法呈现：如图1，在中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由题意，，∴，∴，∴，即：，∴．故答案为：．（2）如图，延长至点E，使，连接．

因为D为的中点，所以．在和中，，所以，所以．因为，且，，所以，所以．因为线段的长度为整数，所以．全等性质与判定的综合证明4．如图，中，，、是边的中线，有；垂足为点E交于点D．且平分交于N．交于H．连接．则下列结论：①；②；③；④；错误的有（）个．A．0 B．1 C．3 D．4【答案】A【解析】如图，过点C作交的延长线于K，首先根据等腰直角三角形的性质证明，得到，，，可判断②③正确，然后利用同角的余角相等得到，进而证明，得到，，然后证明，得到，，等量代换可得，，可判断①④正确．如图，过点C作交的延长线于K．，，平分，∴，，，，，，，（ASA），，，，故②③正确，，，，，（ASA），，，，，（SAS），，，，，故①④正确．故选：A．5．（1）已知等腰和，连接，若直线交于点O，则_；（2）如图所示，，连接和，过点A作交于点G，垂足为F，若，求的面积．

【答案】（1）或．（2）231【解析】解：如图：∵，∴，∴，∴，∵，∴；

如图：∵，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴；故答案为：或．

（2）作于M，于N，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，同理，，∴，∵，∴，，．

6．如图，在与中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】解：在和中，，，，，，故②正确，，故①正确，，，故③正确，若，则，，，显然与题目条件不符故④错误，故选：．7．如图，已知，，，点C，D，E，F在同一条直线上，下列结论不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，无法判断，故D错误，故选：D．8．如图，交于M，交于D，交于N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】解：∵，，，∴，∴；，故②符合题意；∵，∴；故①符合题意；∵∴，，又∵∴，故③符合题意；∴，∴，∵，∴，∴，∴不能证明成立，故④不符合题意．故选：B．动点全等三角形问题9．现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（

）

A． B． C．或 D．无法确定【答案】C【解析】解：∵点E是边的中点，∴，设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，，当时，，，∴，解得：；当时，，，∴，解得：；综上分析可知，妞妞的运动速度为或．故选：C．10．如图，已知中，，点D为的中点．(1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度(2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出：①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？【答案】(1)①全等，见解析；②7.5厘米/秒(2)①秒；②点P与点Q第2023次在AC边上相遇【解析】（1）①全等，因为（秒，所以（厘米），（厘米），为中点，（厘米），（厘米），，，在与中，，；②因为，所以，因为，要使与全等，只能，即，故，所以点、的运动时间：（秒，此时（厘米秒）；（2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，设经过秒后与第一次相遇，依题意得，解得（秒，此时运动了（厘米），又因为的周长为56厘米，，所以点、在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇；②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，，解得：，，，，，点在边上．11．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．

(1)线段的长度等于___________．(2)求证：．(3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3(2)见解析(3)或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等【解析】（1）解：，，，即，，故答案为：3；（2）证明：是边上的高，是边上的高，，，，在和中，，；（3）解：存在，如图2，当时，

是边上的高，是边上的高，，，，，，，在和中，，，，，；如图3，当时，

是边上的高，是边上的高，，，，，，，在和中，，，，，，综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．12．如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动______秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．【答案】1或或12【解析】解