河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷

石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（）A． B． C． D．3．已知平面向量a，b满足，且，，则向量a，b的夹角为（）A． B． C． D．4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）A． B． C． D．5．已知，，则（）A．3 B． C． D．6．若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（）A． B． C． D．48．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（）A． B． C． D．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．当时，在上单调递增B．若，且，则函数的最小正周期为C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（）A．B．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为C．周长的最小值为12D．面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．在等比数列中，，，则____________．13．已知函数，若与的图象相切于A、B两点，则直线的方程为____________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，A到抛物线焦点的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）若过点F的直线l交抛物线C于B、D两点（异于O点），连接、，若，求的长．16．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，，，，，．（1）设过点G、B、D的平面交直线于点M，求线段的长；（2）若，当二面角为直二面角时，求直四棱柱的体积．17．（本小题满分15分）在中，，，点D在边上，且．（1）若，求的长；（2）若，点E在边上，且，与交于点M，求．18．（本小题满分17分）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值；（3）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．19．（本小题满分17分）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：，则称是数列的生成函数．例如：求方程的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为，其中x的指数代表的值．，则非负整数解的个数为．若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．故（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”如下：共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，不同的“规范01数列”个数记为．（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式；（3）设数列对应的生成函数为①结合与之间的关系，推导的收缩表达式；②求数列的通项公式．石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学答案一、单选题：1-5CABCD 6-8BAD二、多选题：9．BCD 10．ABD 11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．16 13． 14．23四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．解：（1）由题意得 （2分）解得， （3分）故抛物线方程为． （5分）（2）由题意得直线l的斜率不为0，设直线，与联立得，由韦达定理得，① （7分）设，，过O点做l垂线，垂足为G．由，得，即由得② （9分）由①②联立上式得，， （11分）． （13分）16．证明：（1）连接，由题意可得， （2分）又因为平面，平面平面，平面，所以，由平行传递性可知 （4分）所以M为靠近的三等分点， （6分）（2）如图，设，连接，，由题意得，，，故面，同理可证面，故，，所以为二面角的平面角 （8分）设，由二面角为直二面角可知，由（1）可得，故，，在中，由勾股定理可得 （10分）即整理得，解得 （12分）题设可知，则 （14分）所以 （15分）方法二：向量法：设直线与直线交于点O，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴建立如图所示的空间直角坐标系：．在中，∵．由射影定理得：，，，设，则：，，， （8分）设平面的一个法向量为则：，即：，∴令，则，……∴， （10分）设平面的一个法向量为则：，即：，∴令，则，∴， （12分）当二面角为直二面角时，，即：，得：． （13分）∴ （15分）17．解：（1）设在中，① （2分）在中，由余弦定理② （4分）所以，所以，， （6分）（2） （7分） （9分） （11分） （13分） （15分）18．解：（1）， （2分），，单调递减，，，单调递增， （3分）； （4分）（2）方程可化简为方程的根就是函数的零点，易知在，上单调递增 （5分）因为，，所以函数在有唯一零点，且 （7分）因为，，所以函数在有唯一零点，且 （9分）则，因此，． （10分）（3）设，则当时恒成立， （12分）①由（1）得，当时，，，单调递减，，，单调递增，∴ （14分）②当时，，这与矛盾， （16分）综上，． （17分）19．解析：（1）由题意得①，③是“规范01数列”， （2分）对于②，由于时，，故②不是“规范01数列”； （3分）（2），，，； （每个1分）（7分）“规范01数列”中，首项，若同时满足：①当时，；②当时，，此时可将划分为两部