河南省信阳市2024-2025学年人教版九年级上学期数学期中测试卷

河南省2025届九年级期中综合评估数学▶上册21.1～24.1◀注意事项：共三个大题，满分120分，考试时间100分钟．一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）请把正确答案的代号填在括号中．1．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．2．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（）A． B．C． D．3．如图，把绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为（）A． B． C． D．4．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（）A． B．0 C．1 D．26．请同学们观察下列图形，从对称性的角度考虑，在“？”处可以填入的图形是（）A． B． C． D．7．如图，是的直径，，是上位于两侧的点，若，则的度数为（）A． B． C． D．8．若，是方程的两根，则的值为（）A．2024 B．2025 C．2026 D．20279．如图，点，，，，在上，且，则所对的圆心角的度数为（）A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点逆时针旋转，得到，点对应点，点对应点；再将绕点逆时针旋转，得到，点对应点，点对应点；再将绕点逆时针旋转，得到；再将绕点逆时针旋转，得到……按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．已知点与点关于原点对称．则的值是______．12．如图，石拱桥的桥拱为弧形，已知拱顶到水面的距离为8m，桥拱半径为5m，则水面宽为______m．13．抛物线如图所示，则关于的方程的解是______．14．如图，绕点顺时针旋转得到，若，，则图中阴影部分的面积等于______．15．如图，在中，，，，为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，连接，则的最小值是______，最大值是______．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）用适当的方法解下列方程：（1）．（2）．17．（9分）如图，池塘边有一块长为20米、宽为10米的矩形土地，现在将其余三面留出相等宽度的小路，中间余下的矩形部分作菜地，若菜地的面积为72平方米，则路宽是多少？18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．（1）画出绕点逆时针旋转后的图形．（2）将（1）中所得先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出．（3）若可以看作是由绕点旋转得来的，直接写出旋转中心点的坐标．19．（9分）已知和，．（1）求证：，，，四点在同一个圆上．（2）请用无刻度的直尺和圆规画出上述圆，并标出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）（3）如果，是上述圆上任意一点，请直接写出的度数．20．（9分）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式．（2）若抛物线上存在一点（不与点重合），使得，请求出点的坐标．21．（9分）如图，是的直径，是的中点，于点，是上一点，连接交于点．（1）求证：．（2）若，，求的半径及的长．22．（10分）图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，是高度为5米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式．（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离．23．（10分）综合与实践问题情境如图1，在等腰中，，，是边上一点，作交于点，连接，是的中点，连接，，则．问题初探（1）如图2，若图1中的点在直线上移动（不与点，重合），则与的数量关系是______．深入探究（2）如图3，将图1中的绕点逆时针旋转，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．拓展应用（3）若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．河南省2025届九年级期中综合评估数学参考答案1．D2．A3．B4．D5．D6．A7．B8．C9．C10．A提示：如图，经旋转后发现与完全重合，点的坐标与点的坐标相同，，点和点重合．作轴于点，，，．，点，，共线，即轴，，，．故选A．11．12．813．，14．15．；提示：由题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上，作直线，交于点，，则最短，最长．是的中点，，，，，即的最小值是，最大值是．16．解：（1），或，解得，．（2）整理，得，，，，．17．解：设其余三面留出宽为米的小路，由图可以看出，菜地的长为米，宽为米，由题意得，解得，，不符合题意，舍去，故．答：路宽为4米．18．解：（1）如图，为所作．（2）如图，为所作．（3）．19．解：（1）证明：设的中点为，连接，（图略）．，，，，，，，四点在同一个圆上．（2）如图所示，为所求．（3）或．20．解：（1）抛物线的解析式为．（2）令，则，．，点的纵坐标为3或．令，得，，令，得（舍去），，∴点的坐标为或或．21．解：（1）证明：是的直径，，．，，．又是的中点，，，，．（2），，，的半径为5．，．22．解：（1）由题意设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为．（2）当时，，，石块不能飞越防御墙．（3）由题意可知点的坐标为，直线的解析式为．如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，，当时，有最大值，最大值为，在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米．23．解：（1）．提示：如题图2，在和中，是的中点，，，．（2）仍然成立．证明：如图1，设，分别是，的中点，连接，，，，，