2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算（练习）教师版

第10讲向量的概念和线性运算（练习）

夯实基础

一、单选题

1.（2021•天津市第八中学高一月考）有关向量M和向量5,下列四个说法中：

①若同=0,则0=0；

②若同=|可，则彳=5或1=一5；

③若M/区，则同明；

④若万=。，则一M

其中的正确有（）

A.1B.2C.3I）.4

【答案】B

【分析】由零向量的定义、向量的模、共线向量的定义，即可得出结果.

【详解】由零向量的定义，可知①④正确：

由向量的模定义，可知②不正确；

由向量共线可知③不正确.

故选：B

2.（2021•江苏泰州市•泰州中学高一月考）在中，为8c边上的中线，E

为的中点，则丽=（）

D.-AB+-AC

44

【答案】A

【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】根据向量的线性运算法则，可得：EB=ED+DB=-AD+-CB=

22

-x-(AB+AC)+-(AB-AC)=-AB--AC.

22244

故选：A.

3.(2021•天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)平行四边形/顺中，元+丽-丽等于

()

A.CBB.fiCC.5CD-AC

【答案】B

【分析】由平行四边形/比力得，BA^CD，由此可得选项.

【详解】在平行四边形4及力中，BA^CD，所以配+丽一函=元，

故选：B.

4.(2021•浙江高一期末)已知40是AABC的BC边上的中线，若丽=瓦/=5,

则丽^等于()

A./(b-口)B./(a+b)C.'(a-'〃)D.-/(a+0)

【答案】B

【分析】利用平面向量的线性运算可求得结果.

【详解】因为AW是AA6c的8C边上的中线，所以M为5c的中点，

所以疵=荏+丽^=而+(团+

1_1____1]_

^-AB+-AC=-a+-h.

2222

故选：B

5.(2021•江苏省昆山中学高一月考)已知点。为△A8C所在平面内一点，若动点P满

足丽=砺+2(通+/)(%.()),则点一定P经过△钻。的()

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【答案】I)

【分析】取BC的中点。,由方=西+川丽+衣)(％.0),得而=2X而，从而可

得而与而共线，得直线AP与直线AD重合，进而得结论

【详解】解：取BC的中点。，则A5+%6=24万，

因为丽=砺+4(通+恁)(％.0),

所以A户=2/14万,

所以Q与亚共线，即直线AP与直线A。而合，

所以直线4尸一定过△ABC的重心，

故选：D

6.(2021•天津市武清区杨村第一中学高一月考)下列各式中不能化简为而的是

()

A.(AB-DC)-CBB.AD-(CD+DC)

C.-(.CB+MC)-(DA+BM)D.-BM-DA+MB

【答案】D

【分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.

【详解】(而—就)一区=丽+1+函=而；

AD-(Cl5+DC)=Ab-6=AD;

-(CB+MC)-(DA+W)=-(GB+BM)-DX-MC=-CM-a4+CM=AD:

-BM-DA+MB=2MB+AD^AD

故选：D.

【点睛】本题考查向量的加减运算，关键是准确灵活使用向量的加法和减法运算法则，注

意使用相反向量进行转化.

7.(2021•浙江高一期末)下列各式中，不能化简为国的是()

A.PA+AB-BQB.(^B+PC)+(BA-0C)

C.QC-QP+CQD.AB+(PA+BQ)

【答案】A

【分析】直接利用向量的加减法--计算即可.

【详解】对于A:PA+AB-BQ^PB-BQ;

对于B:(AB+PC)+(BA-QC)=AB+BA+PC-QC=CQ-CP=PQ.

对于C:QC-QP+CQ=QC+CQ-QP=PQ;

对于D：AB+(PA+BQ)=AB+BQ+PA=PA+AQ=PQ.

故选：A

二、填空题

8.(2021•天津市第八中学高一月考)CD+AM+BC+MB=.

【答案】AD

【分析】利用向量加法的三角形法则化简可得结果.

【详解】CD+AM+BC+MB=AM+MB+BC+a5=AD

故答案为：A.D.

9.(2021•浙江高一期末)已知向量£=(X,3),加=(4,6)且；1〃力，则％=.

【答案】2

【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于大的等式，由此可解得实数8的值.

【详解】已知向量Z=(x,3),5=(4,6)且则6x=4x3=12,解得x=2.

故答案为：2.

10.(2021•江苏高一课时练习)如图所示，已知/少3,B,。是线段/〃的两个三等分点,

分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有.

•----•-----•-----•

ABCD

【答案】AC,CA,BD,DB,AD,DA

【分析】结合图形，分模长为2或3的向量求解.

【详解】满足条件的向量有以下几类:

模长为2的向量有：AC,CA,BD,DB.

模长为3的向量有：AD,DA.

故答案为：AC,CA,BD,DB,AD,DA

11.(2021•江苏高一课时练习)若点火一2,0),庾3,4),C(2,a)共线，则a=

■.16

【答案】y

【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.

【详解】因为4(—2,0),6(3,4),C(2,H),所以6=(5,4),Z"=(4,Q),

因为力，B,。三点共线，所以故5a—16=0,所以3=不

故答案为：—

12.(2021•江苏高一课时练习)与向量5=(-3,4)平行的单位向量是

3_434

【答案】或

5，-5555

【分析】设所求单位向量的坐标为(x,y),由与向量(-3,4)平行可得—3y—4x=(),乂由

其为单位向量，则f+y2=i,联立即可求出答案.

【详解】解：设所求单位向量的坐标为(x,y),

由与向量(一3,4)平行可得一3y—4x=0,

乂由其为单位向量，则f+>2=1,

33

x=—X-——

4x+3y=05..5

'<2+y2=i得：，严

4

y=-一y二一

-55

3_434

故答案为:或

5，-5555

13.(2021•全国高一课时练习)菱形四切中，NBAD=60°,I而1=1,则|36+。力|

【答案】1

【分析】易知A4即为等边三角形,再利用平面向量的加法运算求解.

【详解】因为在菱形40中，N8AD=60：

所以△初为等边三角形，

所以|团+丽|=|而|=|而|=1•

故答案为：1

14.（2021•全国高一课时练习）已知点4（3,-4）与8（—1,2）,点P在直线A3上，且

网T叫则点P的坐标为.

【答案】。,-1）

【分析】根据模长相等关系可确定P为线段AB中点，由中点坐标公式计算得到结果.

【详解】•.，在直线上，且网=|丽|，»为线段A8中点，

乂A（3,-4）,B（-l,2）,/.P（l,-1）.

故答案为：（1,-1）.

三、解答题

15.（2021•江苏高一课时练习）已知点4（3,-4）与8（—1,2）,点尸在直线46上，且|

AP=IPfiI.求点尸的坐标.

【答案】

【分析】由|APHPBI且"在直线四上，知：〃在48之间，结合向量的坐标表示及

AP=PB＜可求产的坐标.

【详解】设。点坐标为（x,力，又|4P|=|PB|知：/在线段45上,

AP=PB,即(x—3,y+4)=(―1—x,2—y),

A：-3=-1-XX=1

,c,解得!

y+4=2-yy=-1

二〃点坐标为（1,—1）.

16.(2021•全国高一课时练习)已知平面上三个点坐标为4(3,7),8(4,6),<7(1,-2),

求点。的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点.

【答案】。可能为(0,-1)或(2,—3)或(6,15).

【分析】根据四点构成平行四边形分别为被力时荏=反、力败'时福=丽、/fl宏时

AD=CB<利用向量的坐标表示即可求〃的坐标.

【详解】设点。的坐标为(x,y),

(1)当平行四边形为力比刀时，即有福=觉，

/.(4,6)-(3,7)=(1,-2)-Uy),

1—x=1fx=O

.yc,，解得<,，

-2-y=-i[y=-l

£>(0,-1).

(2)同理，当平行四边形为时，荏=丽，得。(2,—3).

(3)同理，当平行四边形为力〃力时，AD=CB，得。(6,15).

综上,4可能为(0,一为或(2,-3)或(6,15).

17.(2020•全国高一课时练习)已知1=(3,2),5=(-1,2),c=(4,1).

(1)求3酉+的坐标；

(2)求满足条件M=加〃+〃乙的实数加，

58

【答案】(D(4,7)；(2)m=-,n=-.

99

【分析】(1)利用向量的坐标运算即可求+的坐标.

—m+4〃=3

(2)由已知线性关系，结合坐标及不得到〈汽八，解方程组即可.

2m+n=2

【详解】(1)根据题意，1=(3,2),5=(—1,2),1=(4,1),

则3N+B-5=(9,6)+(-1,2)-(4,1)=(4,7),

(2)根据题意，若蚱麻+碇，即(3,2)=巩一1,2)+〃(4,1),

5

m=一

-m+4n=39

则有，cc，解可得〈

2m+n=28

n=—

9

58

9-9-

18.(2020•全国高一单元测试)已知平面向量a,b,a=(1,2).

(1)若，=(0,1),求卜+2q的值；

(2)若B=(2,"7),Z与£-6共线，求实数勿的值.

【答案】(1)V17;(2)4.

【分析】(1)求出Z+2B，即可由坐标计算出模；

(2)求出£-人再由共线列出式子即可计算.

【详解】⑴£+21=(1,2)+(0,2)=(1,4),

所以|£+%|=4+42=后；

(2)a-i=(-l,2-m),

因为Z与共线，所以1x(2—，〃)-2x(-1)=0,解得加=4.

19.(2020•威远中学校高一月考(理))设两个非零向量£与B不共线.

(1)若AB=a+。，BC=2a+8b，CD=3\a-by求证：A,8,0三点共线，

(2)试确定实数使女a+B和a+反向共线.

【答案】(1)见解析(2)k=-\

【分析】(1)运用向量共线定理，证得而与丽共线，即可得证；

(2)由题意可得存在实数使%£+石=彳(£+%与，展开后，运用方程思想，即可得到

所求值.

UUKI1iUUU11巴5，「F\

【详解】(1)证明：；A8=a+b，8c=2a+8b，CD^?>\a-b\,

/.BD=BC+CD=2a+“+3（a-=2a+8石+3a-3石=5（a+=5AB.

•'•AB'而共线，

又；它们有公共点8，，A、B、。三点共线

（2）。后+5与£+序反向共线，.•.存在实数2（2<0）,使1+加=*+肪）

ka+b=^a+Akb>

（A：-2）a=（2Zc-l）Z>

•••£,坂是不共线的两个非零向量，

k—A=Ak—1=0,

AA:2-1=0.：.k=±\,

,：2<0,Z=-l

【点睛】本题考查向量共线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

能力提升

一、单选题

1.（2021•全国高一课时练习）向量亦=（4,12）,届=（4,5）,由=（10，公，若

A,B,C三点共线，则在的值为（）

A.-2B.11

C.-2或11D.2或11

【答案】C

【分析】求出A》,晶的坐标即得解.

【洋俏】田泄吊3=PA=&-h-7）,BC=PC-PB=6卜—5），

由题知质/访，

故（4-公（*—5）—（—7）X6=0,

解得攵=11或〃=—2.

故选：C

【点睛】结论点睛：。==（%2,y2\a!1b则F%一々乂=°・

2.（2021•全国高一课时练习）己知A（l,-3）、48,3）,且A、B、C三点共线，则点

。的坐标可以是（）

A.（-9,1）B.（9,-1）

C.（9,1）D.（-9,-1）

【答案】C

【分析】本题首先可设点C的坐标为（x,y）,然后通过题意得出通//而，再然后写出

丽、衣，最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果.

【详解】设点C的坐标为（x,y），

因为A、B、C三点共线，所以A月///，

因为A（l,—3）,B卜,g1,所以而\|彳,AC=（x-1,^+3）,

7

则7（y+3）_Q（x_1）=0,整理得x-2y=7,

将（-9,1）、（9,-1）、（9,1）、（-9,-1）代入x-2y=7中，只有（9,1）满足，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查通过三点共线求点坐标，主要考查向量平行的相关性质，

若b=（x2,y2）,allb'则玉%一马,二。，考查计算能力，是中档题.

3.（2021•湖南长沙一中高一月考）在△ABC中，点。是线段BC（不包括端点）上的动

点，若丽=》恁+>诟，则（）

A.x>1B.y>lC.x+y>lD.xy>1

【答案】B

【分析】设陶=4比（0<4<l）,由此用前,正表示出丽，则可得羽）关于4的表

示，从而通过计算可判断出正确的选项.

【详解】设丽=2沅（0<丸<1）,所以而一通=2才C-/L通，

所以（1—4）通=而一X前，所以4月=」一审一——AC,

1—A1—A.

2」一，所以x=A1_1-2+2

所以x=<0,y

匚I'）1-21-2-―1-21-2

1-2盯=——^-<0

又x+y=

1^7.(E

故选：B.

【点睛】结论点睛：已知平面中A、B、C-:点共线（。在该直线外），若

OA^xOB+yOC,则必有x+y=l.

.X-->----

4.（2021•浙江高一期末）在AABC中,M为边8C上的点，且+

5y+43x+2

满足则———十------（）

工y

A.有最小值8+2j盲B.有最小值—

2

C.有最小值12D.有最小值16

【答案】D

x

【分析】由M,B,C三点共线得1+y=l,然后用基本不等式求最小值.

.Y..x

【详解】因为M在边8c上，且AM=/AB+yAC,所以耳+y=1且x>0,y>0,

5y+43x+25y3x425y3x/42\（x\

———+--------=—+—+—+—=—+—+—+――+y

xy尤y八2）

=4+把+犯24+2隹x亚=16,当且仅当把=应，即x=9,y=&时等号成

yx\yxyx77

立.

故选：D.

【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的三点共线，考查用基本不等式求最值.基本不等

式求最值的三个条件：一正二定三相等，本题中原式没有定值，因此利用“1”的代换凑配

出积为定值，这样和才有最小值.

5.（2019•四川德阳市•什加中学）己知。为四边形ABC。所在的平面内的一点，且向

量砺，诙，OC）前满足等式砺+觉=砺+而，若点E为AC的中点，则

S\EAB_<

S&BCD

1112

A.-B.—C.一D.-

4233

【答案】B

【分析】由丽+说=砺+而可得丽=而，再由平行四边形数形结合求解即可.

【详解】•.,向量），OB，0C，而满足等式砺+诙=砺+而，

OA-OB^OD-OC'即丽=丽，

则四边形A8CD为平行四边形，•••E为AC的中点，为对角线AC与BO的交点,

故选B.

【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算及数形结合的能力，属于中档题.

6.（2020•榆树市第一高级中学校高一期末）己知A（a,0）,C（0,c）,|Aq=2,|BC|=1,

衣•沅=0,。为坐标原点，则|0回的取值范围是（）

A.（0,72-1]B.（0,72+1]

C.^>/2—1,>/2+1JD.—1,+ooj

【答案】C

【分析】法一：将A，。视为定点，根据A、C分别在X轴、y轴上，得到垂直关系,

。是AC为直径的圆上的动点，AC的中点为圆心M,根据圆心M和B0的位置关系即可

得取值范围.

法二：设8的坐标，根据|AC|=2,忸q=l得到〃+。2=4,f+U—c）2=l,整理式子

至（x-a）2+y2=5=>》2+,2=]+以+中利用均值不等式得出=旧+/=",

则M-1]<2d即可算出距离的取值范围.

【详解】解：法一：将A,C视为定点，OALOC,。视为以AC为直径的圆上的动点，AC

的中点为当30过圆心M，且。在3,M之间时，|。叫取得最小值及一1，。在BM

的延长线上时，|。可取得最大值V2+1.

故选:C

法二：设8（x,y）,则〃+c2=41X2+（j-c）2=1,

（工一。）一+9=5=>x2+y2=1+奴+勺，B|Jax-vcy=x2+y2-1,

|ox+cy|wJ（42+c2）（x2+y2）=2jf+y2,取等号条件:ay=cx,令

|08|=R=d,则修一心2“0｛屋_2hIV。或o%+2d-]N。’解得

V2-l<t/<V2+l.

故选:C

【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质，综合性强,属于中档题.

二、填空题

7.（2021•全国高一课时练习）AABC是正三角形，给出下列等式：

①向+网=回+叫

②“+西=|丽+罔；

@|AB+AC|=|C4+CB|;

@|AB+5C+^4C|=|CB+BA+C4|.

其中正确的有.（写出所有正确等式的序号）

【答案】①③④

【分析】作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误.

【详解】对于①，I而+前1=1恁I觉+国1=1丽T恁1=1丽I,①正确；

对于②，|恁+而卜|而卜如下图所示，以84、为邻边作平行四边形ABC。，

D

由平面向量加法的平行四边形法则可得丽+就=而，显然|福卜忸万|,②错误；

对于③，以AB、AC为邻边作平行四边形ABEC，则通+前=荏，

以C4、CB为邻边作平行四边形ACB尸，则无+丽=丽.

由图可知，|荏卜|仁耳，Up|AB+AC|=|CA+Ce|,③正确；

对于④，|通+豆心+而卜2|罔，|丽+丽+汉卜2|词，因为|前卜|刀卜④正

确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：求解本题的关键就是化简平面向量的运算结果，并作出图形，结合

图形的几何特征进行判断.

UUUlUUUS1

8.(2021•全国高一课时练习)已知。4=化2),OB=(l,2k),OC=(1—女1),且

相异三点A、B、C共线，则实数左=.

【答案】---

4

【分析】本题首先可根据向量的运算法则得出血、AC，然后通过题意得出

AB//AC.最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.

ULUUU1UU______________

【详解】AB=OB-OA=(l-k,2k-2),AC^OC-04=(1-2^,-3),

因为相异三点A、B、C共线，所以通//恁，

则-3?（1左）-（2左-2）（1-2左）=0,解得&=—；或攵=1，

当左=1时，OA-OB>A、3巾:合，舍去，故答案为：.

4

【点睛】关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若

a=（X],），J,匕=（占，%），2//B,则无跖一工2%=。,求出/:的值后要注意检验，考查计

算能力，是中档题.

9.（2021•内蒙古包头市•高一期末）在矩形A8CD中，已知E、F分别是BC、CD

上的点，且满足丽=2或，丽=3赤.若/=%醺+M^则4+〃

的值为一.

13

【答案】历

【分析】本题首先可根据题意得出与后=2而、DF=-AB,然后将

34

AC=AAE+/JAF转化为（九+）AB+（1%+〃）AD,再然后根据AC=AB+AD

列出算式，最后通过计算即可得出结果.

因为屁=2前，汴=3万，

—9—2―-1—•1一

所以BE=-BC=—AD,DF=-DC=-AB,

3344

则荏=通+诙=血+三赤，AF=AD+DF=AD+-AB,

34

故而=/1荏+而+g而］+〃；正+；通）

因为恁=砺+而，

AH---〃二1

4921313

所以《今,解得a=二，〃=_,4+〃=一,故答案为:

字2.+〃=।11051010

【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四

边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.

10.(2020•全国高一)已知向量。=(1,3),B=(2,-g),若。〃(。-2分)，则单位向量

3434

【答案】(-1,《)或(g,-g)

【分析】先求得Z-2B=(-3,4),由2/(£-2&，设"=(一3尢4㈤，结合向量之为单位向

量，求得4的值，即可求解.

【详解】由题意，向量£=(1,3),B=(2,—g),可得£一2万=(一3,4),

因为7/(£-2历,^c=(-32,42),

又由向量"为单位向量，可得,(一371)2+(4/1)2=刊解得4=±g,

所以"=(一|,令或C=(|,一1).

(34A(34

故答案为：或-

\DDJ\J。

【点睛】利用两个向量共线的条件求向量的坐标，一般地，在求一个已知向量Z共线的向

量时，可设所求向量为几及九GR),然后结合其他条件列出关于之的方程，求出义的值后

代入之£即可求得所求向量.

11.(2020•江西高一期末(文))。为坐标原点，已知向量a=(1,5),砺=(4,2),

友=(6,8),羽了为非负实数且0<x+y<l,CD=xCA+yCB,则|加|的最小值为

【答案】3&

【分析】根据题意得D表示的区域为AABC及内部的点，进而得当时.，|历|

取得最小值，再计算即可得答案.

【详解】04=（1,5）,=（4,2）,反=（6,8）,

又苍丁为非负实数且0«x+y<l，CD^xCA+yCB,

所以。表示的区域为AABC及内部的点，

当时，|历|取得最小值，

因为A3所在的直线方程为y-5=W（x—l）=—（x—1）,即x+y-6=0,

则|西取得最小值为63亚

7T

故答案为：3>/2.

【点睛】本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确。表示的区

域，是中档题.

12.（2019•四川遂宁市•高一期末（理））在平面内，定点A5,C满足

|DA|=|DB|=|DC|,次・丽=丽.瓦=反.况=—2,动点满足

府|=1,同7=碇则|而叶的最大值为

【答案】；49

4

【分析】由3=|词=］明，可得。为AABC的外心，又

万5・诙=万点・比=比•丽可得。为AABC的垂心，则。为A43C的中心，即

AABC为正三角形.运用向量的数量积定义可得AABC的边长，以A为坐标原点，AD

所在直线为x轴建立直角坐标系X。），，求得民C的坐标，再设

P（cose,sin。），（04。<2%），山中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可

得的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值.

【详解】解：由画=|/=|可，可得。为AABC的外心，

乂加砺=限玩=阮•丽

可得。区（。印一。3）=0,。己（1）百一方）=0,即丽.衣=皮.丽=o，

即有DBLAC,DC1AB,可得。为AABC的垂心，

则。为AA6C的中心，即AABC为正三角形，

由瓯丽=-2,BPW|DA|-|DB|cosl20°=-2.

解得|而|=2,AABC的边长为4cos30°=2ji，

以A为坐标原点，AO所在直线为8轴建立直角坐标系X。），，

可得B（3,—JJ）,C（3,JJ）,D（2,0）,

由|而1=1,可设尸（cos6,sin。），（046<2〃），

由两=砒，可得M为PC中点，即有M（3+；s8,G彳in6>）,

贝力丽2=（3_殁可+产"+可

（3-cos。）2（3>/3+sin0）237-6cos0+6>/3sin0

------------1--------------=----------------------

444

37+12sin^-1J

4

当sin（e—5]=l,即。=女时，取得最大值，且为二

I6；34

故答案为：号.

4

【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三

角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

三、解答题

13.(2020•全国高一单元测试)设直线/：〃a+y+2=O与线段46有公共点只其中

A(-2,3),8(3,2),试用向量的方法求实数加的取值范围.

【答案】(―℃,—不|戊5，+°°).

【分析】先讨论点P与AB分别重合的情况，即将AB的坐标代入直线方程求解小；再

讨论户与A5不重合的情况，利用共线向量的关系列式，而=九而，将点p(x,y)的坐

标用A进行表示，再代入直线方程求解.

【详解】(1)尸与力重合时，rnx(-2)+3+2=0,所以zn=—；.0与8重合时，

2

4

3m+2+2=0,所以m=--.

3

(2)户与46不重合时，设而=4而，则；1>0；

设尸(x,y),则而=(x+2,y-3),PB=(3-x,2-y).

32-2

x=-----

x+2=A(3-x)A+l

所以《y—3=X(2—y)所以‘

22+3

y=-----

-A+l

把尤,y代入初x+y+2=0可解得丸=——,又因为九>0,所以——>0.

3/77+43m+4

45

所以加〈——或AK>—.

32

由(1)(2)知，所求实数加的取值范围是(-8,-,+00).

45

故答案为：—]U[—>+°°)-

【点睛】直线与线段有交点的问题通常有两种求解方法:

(1)通过找出直线的定点坐标，将直线与线段有交点转化为定点与线段两个端点的连线的

斜率问题求解，需要注意斜率的变化趋势；

(2)利用向量的方法求解，需要先求解交点与线段端点重合的情况，再根据共线向量的关

系列式求解交点坐标.

14.(2021•浙江高一期末)已知向量次=(3,-4),0月=(6,—3),OC=(5-x,3).

(1)若点A,B,。三点共线，求x的值；

(2)若AA5c为直角三角形，且D3为直角，求》的值.

【答案】(1)X=-19；(2)x=l.

【分析】(1)由点A，B,C三点共线可得而和宓共线，解关于”的方程可得答案;

(2)由AAHC为直角三角形可得通而，即通.而=0，解关于大的方程可得答

案.

【详解】(1)V04=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-x,3),

...，.■，，._，-

43=08—04=(3,1)，BC=0C-0B=(-\-x,6)

•・•点A,B,C三点共线，...AB和BC共线，

.-.3x6=-l-x,解得x=-19；

(2)•.・“15。为直角三角形，且为直角，

■'AB1BC'ABBC=3(-\-x)+6=Q,

解得尤=1.

【点睛】方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：

(1)两向量平行，利用玉内一期乂=0解答；(2)两向量垂直，利用玉电+弘必=0解

答.

15.(2020•全国高一)已知向量值=(1,2),5=(-2,1),攵力为正实数，

X=M+(厂+1)匕，y=—UH—b.

kt

(1)若无，y,求a的最大值；

(2)是否存在攵“吏得工//歹？若存在，求出衣的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)!；(2)不存在.理由见解析.

2

k=---二

【分析】（1）由工，女化简得*+1-1，再利用基本不等式求解.

tH—

（2）根据1//歹，化简得：L^1+L=Q,即/+.+左=0,再根据攵力为正实数判断.

【详解】（1）因为向量G=（l,2）,B=（-2,l）,rt为正实数,

所以亍=M+(尸+1历=(_2/_1,『+3),

因为工_Ly,

当且仅当即取等号,

所以"的最大值9

（2）因为1//],

所以（-2~代+{|=（产+3）卜泊）

产+]1

化简得：^-^+-=0.即/+/+k=0，

kt

因为A、f为正实数,

所以不存在攵3使得

【点睛】方法点睛：向量£石共线是指存在不全为零的实数九，九，使3%+小石=6

成立；若，£+儿京=6当且仅当九=九）=0时成立，则向量不共线.

2