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文档简介
甘肃省会宁县第五中学2025届数学高三第一学期期末学业水平测试试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的图象的一条对称轴为,将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象,则函数的解析式为()A. B.C. D.2.若集合,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.3.已知集合,,,则()A. B. C. D.4.已知(i为虚数单位,),则ab等于()A.2 B.-2 C. D.5.已知等差数列中,,,则数列的前10项和()A.100 B.210 C.380 D.4006.射线测厚技术原理公式为,其中分别为射线穿过被测物前后的强度,是自然对数的底数,为被测物厚度,为被测物的密度,是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为()(注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,,结果精确到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.7.如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:),则该几何体的表面积为()A. B.C. D.8.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.9.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()A.1 B.-1 C.8l D.-8110.已知集合,,则=()A. B. C. D.11.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()A. B. C. D.12.已知为锐角,且,则等于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为____________.14.设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.15.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是_____16.设α、β为互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出下列四个命题:①若m∥n,则m∥α;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,m⊥n,则n⊥β;其中正确命题的序号为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且是与的等差中项.(1)证明:为等差数列,并求;(2)设,数列的前项和为,求满足的最小正整数的值.18.(12分)已知数列的前项和为,且满足().(1)求数列的通项公式;(2)设(),数列的前项和.若对恒成立,求实数,的值.19.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)函数,若对于,使得成立,求的取值范围.20.(12分)中,内角的对边分别为,.(1)求的大小;(2)若,且为的重心,且,求的面积.21.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,.(1)求证:;(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式,结合为函数的一条对称轴可求得,代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换,即可求得函数的解析式.【详解】函数,由辅助角公式化简可得,因为为函数图象的一条对称轴,代入可得,即,化简可解得,即,所以将函数的图象向右平行移动个单位长度可得,则,故选:C.【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用,三角函数对称轴的应用,三角函数图像平移变换的应用,属于中档题.2、D【解析】
由题意,分析即得解【详解】由题意,故,故选:D【点睛】本题考查了元素和集合,集合和集合之间的关系,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.3、D【解析】
根据集合的基本运算即可求解.【详解】解:,,,则故选:D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.4、A【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求解.【详解】,,得,..故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,是基础题.5、B【解析】
设公差为,由已知可得,进而求出的通项公式,即可求解.【详解】设公差为,,,,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和,属于基础题.6、C【解析】
根据题意知,,代入公式,求出即可.【详解】由题意可得,因为,所以,即.所以这种射线的吸收系数为.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程;属于中档题.7、C【解析】
由三视图知,该几何体是一个圆锥,其母线长是5,底面直径是6,据此可计算出答案.【详解】由三视图知,该几何体是一个圆锥,其母线长是5,底面直径是6,该几何体的表面积.故选:C【点睛】本题主要考查了三视图的知识,几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.8、A【解析】
首先根据为上的减函数,列出不等式组,求得,所以当最小时,,之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题,画出图形,数形结合得到结果.【详解】由于为上的减函数,则有,可得,所以当最小时,,函数恰有两个零点等价于方程有两个实根,等价于函数与的图像有两个交点.画出函数的简图如下,而函数恒过定点,数形结合可得的取值范围为.故选:A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,数形结合思想的应用,属于中档题目.9、B【解析】
根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得,令,故可得,又因为,令,则,解得令,则.故选:B.【点睛】本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.10、C【解析】
计算,,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力.11、D【解析】
如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.【详解】如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.因为,故四边形为平行四边形,故.又双曲线为中心对称图形,故.设,则,故,故.因为为直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于的方程,本题属于难题.12、C【解析】
由可得,再利用计算即可.【详解】因为,,所以,所以.故选:C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据渐近线得到,,计算得到离心率.【详解】,一条渐近线方程为:,故,,.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,意在考查学生的计算能力.14、18【解析】
将已知已知转化为的形式,化简后求得,利用等差数列前公式化简,由此求得表达式的值.【详解】因为,所以.故填:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能力,属于基础题.15、20+45,8【解析】试题分析:由题意得,该几何体为三棱柱,故其表面积S=2×1体积V=12×4×2×2=8,故填:20+4考点:1.三视图;2.空间几何体的表面积与体积.16、④【解析】
根据直线和平面,平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①,当m∥n时,由直线与平面平行的定义和判定定理,不能得出m∥α,①错误;对于②,当m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β时,由两平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②错误;对于③,当α∥β,且m⊂α,n⊂β时,由两平面平行的性质定理,不能得出m∥n,③错误;对于④,当α⊥β,且α∩β=m,n⊂α,m⊥n时,由两平面垂直的性质定理,能够得出n⊥β,④正确;综上知,正确命题的序号是④.故答案为:④.【点睛】本题考查了直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的空间想象能力和推断能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析,(2)最小正整数的值为35.【解析】
(1)由等差中项可知,当时,得,整理后可得,从而证明为等差数列,继而可求.(2),则可求出,令,即可求出的取值范围,进而求出最小值.【详解】解析:(1)由题意可得,当时,,∴,,当时,,整理可得,∴是首项为1,公差为1的等差数列,∴,.(2)由(1)可得,∴,解得,∴最小正整数的值为35.【点睛】本题考查了等差中项,考查了等差数列的定义,考查了与的关系,考查了裂项相消求和.当已知有与的递推关系时,常代入进行整理.证明数列是等差数列时,一般借助数列,即后一项与前一项的差为常数.18、(1)(2),.【解析】
(1)根据数列的通项与前n项和的关系式,即求解数列的通项公式;(2)由(1)可得,利用等比数列的前n项和公式和裂项法,求得,结合题意,即可求解.【详解】(1)由题意,当时,由,解得;当时,可得,即,显然当时上式也适合,所以数列的通项公式为.(2)由(1)可得,所以.因为对恒成立,所以,.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解,等差数列的前n项和公式,以及裂项法求和的应用,其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.19、(1)当时,在上增;当时,在上减,在上增(2)【解析】
(1)求出导函数,分类讨论确定的正负,确定单调区间;(2)题意说明,利用导数求出的最小值,由(1)可得的最小值,从而得出结论.【详解】解:(1)定义域为当时,即在上增;当时,即得得综上所述,当时,在上增;当时,在上减,在上增(2)由题在上增由(1)当时,在上增,所以此时无最小值;当时,在上减,在上增,即,解得综上【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间,考查不等式恒成立问题,解题关键是掌握转化与化归思想,本题恒成立问题转化为,求出两函数的最小值后可得结论.20、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理,转化为,分析运算即得解;(2)由为的重心,得到,平方可得解c,由面积公式即得解.【详解】(1)由,由正弦定理得C,即∴∵∴,又∵∴(2)由于为的重心故,∴解得或舍∴的面积为.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.21、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取的中点,连接,,证明平面得出,再得出;(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算,即可得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分别是,的中点,,.(2)解:四边形是正方形,,又,,平面,平面,在平面内作直线的垂线,以为原点,以,,为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得:,,,,.直线与平面所成角的正弦值为,.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质,考查空间向量与空间角的计算,属于中档题.22、(1)b=32【解析】试题分析:(1)本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值,所以可以考虑到根据余弦定理将cosB,cosC分别用边表示,再根据正弦定理可以将sinAsinC转化为ac,于是可以求出b的值;(2)首先根据sinB+3c
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