2024八年级数学上册第十六章轴对称和中心对称16.3角的平分线习题课件新版冀教版

冀教版八年级上第十六章轴对称和中心对称16.3角的平分线01名师点金02认知基础练03素养提升练目

录CONTENTS1.

角平分线上的点到角两边的距离是指角平分线上的点到角

两边的垂线段的长.2.

角平分线的性质是证明线段相等的一个重要方法，应用时

要注意两点：一是不要漏掉垂直关系这个关键条件；二是

直接得到线段相等，而不必再证两三角形全等.返回知识点1

角的平分线的画法1.

如图，用直尺和圆规作一个已知角的平分线，能得出

∠

MOC

＝∠

NOC

的依据是(

A

)A.SSSB.SASC.ASAD.AASA12345678910111213返回2.

[2023·河南]如图，△

ABC

中，点

D

在边

AC

上，且

AD

＝

AB

.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠

A

的平分线(保留作图

痕迹，不写作法)；【解】如图所示，

AE

即为所求.12345678910111213(2)若(1)中所作的角平分线与边

BC

交于点

E

，连接

DE

.

求证：

DE

＝

BE

.

【证明】∵

AE

平分∠

BAC

，∴∠

BAE

＝∠

DAE

.

又∵

AB

＝

AD

，

AE

＝

AE

，∴△

BAE

≌△

DAE

(SAS).∴

DE

＝

BE

.

12345678910111213返回知识点2

角平分线的性质3.

如图，在直角三角形

ABC

中，∠

B

＝90°，

AD

平分

∠

BAC

，交

BC

于点

D

，

DE

⊥

AC

，垂足为点

E

，若

BD

＝

2，则

DE

的长为

⁠.(第3题)2

12345678910111213返回

12

(第4题)12345678910111213【点拨】过点

G

作

GM

⊥

AC

于点

M

，

GN

⊥

BC

于点

N

.

由题意可知

CG

平分∠

ACB

.

又∵

GM

⊥

AC

，

GN

⊥

BC

，∴

GM

＝

GN

.

12345678910111213返回知识点3角的平分线的判定5.

如图，

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，垂足分别为

D

，

C

，

AD

，

BC

相交于点

P

，若

PA

＝

PB

，则∠1与∠2的大小

关系是(

A

)A.

∠1＝∠2B.

∠1＞∠2C.

∠1＜∠2D.

无法确定(第5题)【点拨】

因为

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，所以∠

PDB

＝∠

PCA

＝90°.又因为∠

APC

＝∠

BPD

，

PA

＝

PB

，所以△

PAC

≌△

PBD

，所以

PC

＝

PD

，所以

OP

平分∠

AOB

，所以∠1＝∠2.A12345678910111213返回6.

如图，∠

B

＝∠

C

＝90°，

M

是

BC

的中点，

DM

平分 ∠

ADC

，且∠

ADC

＝110°，则∠

MAB

＝

⁠.(第6题)35°

12345678910111213【点拨】过点

M

作

MN

⊥

AD

于点

N

.

∵∠

B

＝∠

C

＝90°，∴∠

B

＋∠

C

＝180°，∴

AB

∥

CD

.

∴∠

DAB

＝180°－∠

ADC

＝70°.∵

DM

平分∠

ADC

，

MN

⊥

AD

，

MC

⊥

CD

，

∴

MN

＝

MC

.

∵

M

是

BC

的中点，∴

MC

＝

MB

.

∴

MN

＝

MB

.

又∵

MN

⊥

AD

，

MB

⊥

AB

，∴

AM

平分∠

DAB

.

12345678910111213返回知识点4三角形的角平分线7.

[母题·教材P121性质定理]到△

ABC

的三边距离相等的点

是△

ABC

的(

C

)A.

三条中线的交点B.

三条高的交点C.

三条角平分线的交点D.

以上均不对【点拨】角平分线上的点到角两边的距离相等.C12345678910111213返回

A.

BC

＝

BE

B.

CD

＝

DE

C.

BD

＝

AD

D.

BD

一定经过△

ABC

三个内角平分线的交点12345678910111213【点拨】由题意知，

BD

平分∠

ABC

.

∴

BD

一定经过△

ABC

三条内角平分线的交点.∴D不符合题意.∵∠

C

＝90°，

DE

⊥

AB

，∴

CD

＝

DE

，∴B不符合题意.∵

DE

⊥

AB

，∴∠

DEB

＝90°＝∠

C

.

∵

BD

平分∠

ABC

，∴∠

CBD

＝∠

EBD

.

12345678910111213

∴△

BCD

≌△

BED

(AAS)

.∴

BC

＝

BE

.

∴A不符合题意.无法证明

BD

＝

AD

，

∴C符合题意.故选C.

【答案】C12345678910111213返回易错点因考虑问题不全面而漏解9.

如图，直线

l1，

l2，

l3表示三条两两相互交叉的公路，现

在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相

等，则可供选择的地址有

处.【点拨】在

l1，

l2，

l3围成的三角形内部有一处，为三条角平

分线的交点；外部有三处，均为两个外角平分线的交点.4

12345678910111213返回

利用角平分线的作法证明边角关系

A.

AB

＝

AC

B.

AG

⊥

BC

C.

∠

DGB

＝∠

EGC

D.

AG

＝

AC

12345678910111213【点拨】由题意知

AD

＝

AE

，

AG

是△

ABC

的角平分线，即

∠

BAG

＝∠

CAG

.

当

AB

＝

AC

时，因为∠

BAG

＝∠

CAG

，且

AG

＝

AG

，所以△

ABG

≌△

ACG

(SAS)，所以

BG

＝

CG

，故A选项不符合题意.12345678910111213当

AG

⊥

BC

时，∠

AGB

＝∠

AGC

＝90°.又因为∠

BAG

＝∠

CAG

，且

AG

＝

AG

，所以△

ABG

≌△

ACG

(ASA)，所以

BG

＝

CG

，故B选项不符合题意.当∠

DGB

＝∠

EGC

时，因为

AD

＝

AE

，∠

BAG

＝∠

CAG

，

AG

＝

AG

，所以△

ADG

≌△

AEG

(SAS)，12345678910111213所以∠

AGD

＝∠

AGE

.

又因为∠

DGB

＝∠

EGC

，所以∠

AGD

＋∠

DGB

＝∠

AGE

＋∠

EGC

，即∠

AGB

＝∠

AGC

.

又因为∠

AGB

＋∠

AGC

＝180°，所以∠

AGB

＝∠

AGC

＝90°，则同B选项可得出

BG

＝

CG

，故C选项不符合题意.添加D选项无法得出

BG

＝

CG

，故选D.

【答案】D12345678910111213返回

利用基本图形法判定角平分线题型1作垂线，通过全等证相等11.

如图，

PA

＝

PB

，∠1＋∠2＝180°.求证：

OP

平分∠

AOB

.

12345678910111213【证明】如图，过点

P

作

PE

⊥

OA

，

PF

⊥

OB

，垂足分

别为点

E

，

F

，则∠

AEP

＝∠

BFP

＝90°.∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠

PBO

＝180°，∴∠1＝∠

PBO

.

又∵

PA

＝

PB

，∴△

PAE

≌△

PBF

(AAS).∴

PE

＝

PF

.

又∵

PE

⊥

OA

，

PF

⊥

OB

，∴

OP

为∠

AOB

的平分线，即

OP

平分∠

AOB

.

12345678910111213返回题型2作垂线，通过等线段证相等12.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

的平分线与△

ABC

的外角

∠

ACE

的平分线相交于点

P

，

PD

⊥

AC

于点

D

，

PH

⊥

BA

交

BA

的延长线于点

H

.

12345678910111213(1)若点

P

到直线

BA

的距离是5

cm，求点

P

到直线

BC

的

距离为

⁠；【点拨】如图，过点

P

作

PF

⊥

BE

于点

F

.

5

cm

由题意可知

PH

＝5

cm.∵

BP

平分∠

ABC

，

PH

⊥

BA

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PH

＝5

cm，即点

P

到直线

BC

的距离为5

cm.12345678910111213(2)求证：点

P

在∠

HAC

的平分线上.【证明】∵

CP

平分∠

ACE

，

PD

⊥

AC

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PD

.

由(1)知

PH

＝

PF

，∴

PD

＝

PH

.

又∵

PH

⊥

BA

，

PD

⊥

AC

，∴点

P

在∠

HAC

的平分线上.12345678910111213返回

利用三角形角平分线的性质探求线段的数量关系1