数学自主训练：应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.如图1—2—12，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，其中可以实现并可以计算得出AB长的数据是(）图1—2—12A。α,a,bB.α，β,aC.a，b,γD.α,β，b思路解析:根据实际情况,α、β都是不易测量的数据，而C中的a、b、γ很容易测量到，并且根据余弦定理AB2=a2+b2-2abcosγ能直接求出AB的长。答案:C2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A.akmB.kmC。kmD.2akm思路解析：由图可知∠ACB=120°，AC=BC=a。在△ABC中，过点C作CD⊥AB，则AB=2AD=2acos30°=a。图1—2—13答案:B3.在200m的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为（）A。B。C。D.思路解析：如图1—2—14所示,设塔高AB为h，图1-2-14在Rt△CDB中，CD=200，∠BCD=90°—60°=30°,∴BC=.在△ABC中，∠ABC=∠BCD=30°，∠ACB=60°—30°=30°，∴∠BAC=120°。，∴AB=m。答案：A4。在△ABC中，已知a—b=4,a+c=2b，且其最大内角为120°，则其最大边长为____________.思路解析：由已知所给三边间的关系，先判断其最大边，再利用余弦定理把问题解决。由已知a-b=4,a+c=2b,得a=b+4,c=2b-a=b—4，故a为最长边。∴A=120°。∴cosA=，即=。解得b=10.∴a=14.答案:145。在△ABC中，若(sinA+sinB+sinC)·（sinA+sinB-sinC）=3sinAsinB，则C=_____________。思路解析:本题所给条件中涉及的是三内角的正弦,容易想到将其展开化简，得到sin2A+sin2B—sin2C=sinAsinB，而这个形式与余弦定理极为相似，然而余弦定理所涉及的是边角关系，于是可以先用正弦定理将三内角的正弦转化为边，即为a2+b2—c2=ab，所以cosC=答案:60°6。为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120米，求河的宽度.思路分析：由题意画出示意图，把问题转化为求△ABC的AB边上的高的问题。而由已知及正弦定理，可先求出AC，进而求得河宽.解：如图所示，在△ABC中，由已知可得图1—2-15AC=。设C到AB的距离为CD,则CD=·AC=20（+3)，∴河的宽度为20（+3）米。7。已知关于x的方程x2+xcosAcosB—1+cosC=0的两根之和等于其两根之积的一半，试判断△ABC的形状.思路分析:本题与一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的关系，容易根据题意及根与系数间的关系得到三内角间的关系,从而判定△ABC的形状.解:依题意，得—cosAcosB=，即2cosAcosB=1—cosC.∴cos（A+B)+cos(A—B)=1+cos（A+B)。∴cos（A—B)=1.又-π＜A-B＜π,∴A—B=0，A=B。故△ABC是等腰三角形.我综合我发展8.在△ABC中，A＞B＞C，且三边a、b、c为连续自然数，且a=2ccosC。求sinA∶sinB∶sinC的值.思路分析:本题已知条件中给出了边角间的关系,要求三内角正弦之比，可以根据正弦定理转化为求三边之比，进而去求三边长，从而将问题解决。解：∵A＞B＞C，∴a＞b＞c。又三边a、b、c为连续自然数,∴可设a=b+1，c=b—1.由a=2ccosC，得cosC=.由余弦定理,得cosC=，∴，即(b+1）2=（b—1）（b+4)，b=5。∴a=6，c=4。由正弦定理,得sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4。9。小明在内伶仃岛上的点A处，上午11时测得在A的北偏东60°的C处有一艘轮船,12时20分时测得该船航行到北偏西60°的B处，12时40分时又测得轮船到达位于A正西方5千米的港口E处,如果该船始终保持匀速直线运动.求：(1)点B到A的距离；(2)船的航行速度.思路分析：本题所涉及的角比较多，首先应该考虑画出示意图，将题中所述条件正确地反映在图形上，这样比较直观,然后结合图形分析,不难根据正、余弦定理把问题解决.解:(1）轮船从C处到点B用了80分钟，从点B到点E用了20分钟，轮船保持匀速直线运动。故BC=4BE，设BE=x，则BC=4x.由已知,得只要求出x的值即可.在△AEC中，由正弦定理，得sinC=.在△ABC中,由正弦定理，得AB=。（2）在△ABE中,由余弦定理，得BE2=AB2+AE2—2AB·AE·cos30°=25+—2×5×cos30°=。∴BE=。故轮船的速度为千米/时.10.有一条河MN,河岸的一侧有一很高的建筑物AB（底部为A,顶部为B），一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器（可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺（测量长度不超过5米).请你根据所学数学知识，设计多种测量方案(不允许过河），并给出计算建筑物的高度AB及距离PA的公式.解：(1)如图1—2—16，点P位于开阔地域，被测量的数据为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角为α和β(其中∠BDO=β，∠BCO=α）.图1-2-16设AB=x，PA=y，则有∴x=。（2)如图1-2-17,P位于开阔地域,被测量的数据为PR(PR在水平线上，且PQ＜5米)，在P、Q（Q是PR的中点)、R处测得建筑物AB的仰角分别为α、β、γ（其中∠APB=α,∠AQB=β，∠ARB=γ)，设AB=x,PA=y,则y=xcotα,AQ=xcotβ,AR=xcotγ。图1-2-17在△APQ与△APR中，由余弦定理，得AP2+PQ2—2AP·PQ·cos∠APQ=AQ2，AP2+PR2-2AP·PR·cos∠APQ=AR2，即（xcotα)2+()2—2·（xcotα)·cos∠APQ=（xcotβ）2，（xcotα）2+(PR)2-2·(xcotα)·PRcos∠APQ=(xcotγ)2，两式相减，得。（3)如图1—2—18,若P处是一可攀建筑物