数学自主训练：平面向量应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。已知A（1，2）、B（2,3）、C（-2，5)，则△ABC的形状是（)A。直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D。等边三角形思路解析:∵A（1,2)、B(2,3)、C（—2,5),∴=(1,1），BC=（—4，2）,=（-3,3）.∵·=1×(—3）+1×3=0，∴⊥，即∠A=90°。∴△ABC为直角三角形.答案:A2.以原点和点A(4,2）为顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，则向量的坐标为_____________。思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解。设=(x，y），则=（x-4，y—2）.由已知或故B（1，3)或B(3，—1）.∴=(-3,1)或（-1，-3）.答案：（-3，1）或（—1,-3)3。已知两恒力F1(3，4)、F1(6,—5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7，0）.试求：（1）F1、F2分别对质点所做的功;(2)F1、F2的合力F对质点所做的功。思路分析：设物体在力F作用下位移为S,则所做的功为W=F·S。解：=（7,0)-（20,15)=(-13，-15）.(1)W1=F1·=(3，4）·(—13,-15）=—99（焦耳）。W2=F2·=（6，—5)（—13,—15）=-3(焦耳）.（2）W=F·=（F1+F2)·=［（3,4）+(6,-5）］·(-13,—15）=（9,—1)·（-13。-15)=—102（焦耳)。4.如图2-5—9，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是（1，2)，E点坐标是（3,5），F点坐标是(2,7），求A、B、C、G的坐标。图2—5-9思路分析：根据D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，得=.从而求出A点坐标,B、C、G点的坐标求法与此类似.解：设A（x1,y1），由已知得EF平行且等于AD。∴=,∴（x1—1，y1—2）=(2-3,7-5)=(—1，2）,∴解得∴A(0，4）。同理，可得B(2，0），C(4，10）。连结AE,则AE过点G。设G(x2，y2),由=2，得（x2，y2—4）=2(3-x2，5-y2)。∴∴G(2,)。5。设a、b、c是两两不共线的三个向量.（1)如果a+b+c=0，求证以a、b、c的模为边，必构成一个三角形；(2）如果向量a、b、c能构成一个三角形，问它们应该有怎样的关系?思路分析:运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答.解：(1)如下图,作=a,=b,=c.按向量加法的多边形法则有=++=a+b+c=0.∴B与D重合，故向量a、b、c能构成一个三角形。（2）设向量a、b、c能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则，有+=，即++=0.∵a=-,b=—,c=—,∴a、b、c有下列四种关系之一即可：①a+b-c=0;②a+b+c=0；③a—b-c=0;④a-b+c=0.6.如图2-5—10所示，△ABC三边长为a、b、c，以A为圆心，r为半径作圆，PQ为直径，试判断P、Q在什么位置时，·有最大值?图2-5-10思路分析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数，再利用向量的数量积a·b≤|a||b｜求解。解：∵+=,+==-，∴·=(-)·(——)=—+·+·—·-r2+·+·(—）=·+·—r2=cbcos∠BCA+·-r2。∵r、a、b、c，∠BAC均为定值,故当且仅当·有最大值时,·有最大值。而当与同向共线时,其夹角为0°,有·=ra。∴当∥,且与反向时，·有最大值bccos∠BAC+ar—r2.我综合我发展7.在四边形ABCD中，·=0，且=，则四边形ABCD是（）A.梯形B。菱形C。矩形D。正方形思路解析:由·=0,得AB⊥BC，又=,∴AB与DC平行且相等。从而四边形ABCD是矩形。答案：C8。平面上有两个向量e1=（1，0),e2=(0，1），今有动点P从P0（-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e1+e2｜.另一点Q从Q0（—2,1）出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为｜3e1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P0Q0时,t=____________。思路解析：应用垂直的条件列方程即可.∵P0(-1,2),Q0(—2,1）,∴=(-1,—3）。又∵e1+e2=(1,1)，∴|e1+e2|=。∵3e1+2e2=（3,2),∴｜3e1+2e2|=.∴当t时刻时,点P的位置为(—1+t,2+t），点Q的位置为（—2+3t,-1+2t)。∴=(-1+2t,-3+t），∵PQ⊥P0Q0,∴(—1）·(-1+2t)+（-3）·(—3+t)=0.∴t=2。答案：29。如图2—5-11,已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若++=0，求证：O是△ABC的重心.图2-5—11思路分析：以、为邻边构造平行四边形OBDC，则有=-,从而得||=2||,即O为△ABC的重心.证明：由于++=0,∴=—（+）,即+是的相反向量，以、为邻边构造平行四边形OBDC，则有=-.在平行四边形BOCD中,设与交于E点,则=，=，∴AE是△ABC的中线,且｜｜=2｜|，故O是△ABC的重心。10.在△ABC内求一点P,使+的值最小.思路分析:根据已知条件,可设=a，=b,再把+表示成关于向量CP=x的函数,进而求出该函数的最小值。解：如下图,设=a,=b，CP=x，则=x-a,=x-b,∴+=(x—a）2f(x—b)2+x2=3x2—2(a+b)x+b2=3［x-(a+b)］2+a2+b2—(a+b)2.根据向量运算的意义知,当x=(a+b）时,+有最小值.设M为AB的中点，易知a+b=2。当x=（a+b）时,=,也即P为△ABC的重心时，的值最小，为a2+b2—（a+b）2。11。如图2—5-12（1）,有两条相交成60°的直线xx1、yy1,交点为O.甲,乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3km的A处,乙位于离O点1km的B处.后来两个人同时用每小时4km的速度,甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动.图2—5-12(1)起初两个人的距离是多少？（2）什么时候两人的距离最近？［如图2-5—12(2）,在三角形中有如下结论：b2=a2+c2—2accosB]。思路分析：以甲、乙两人t时刻的位置和O三点形成三角形，通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的。解：(1)起初两人分别在A、B两点，则｜|=3，｜|=1。∴｜｜=|｜2+｜｜2-2｜｜｜｜cos60°=9+1-2×3×1×=7。∴｜｜=km,即起初两人相距公里。（2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q则|｜=4t,｜|=4t，又∵甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.∴当0≤t≤时，｜|2=(3—4t）2+（1+4t）2-2（3-4t）(1+4t）cos60°=48t2-24t+7；当t＞时,||2=(3—4t)2+(1+4t）2-2(3-4t)（1+4t）cos120°=48t2-24t+7（t＞0).综上｜｜2=48t2—24t+7=48(t—）2+4,t∈［0,+∞)，∴当t=时，即在第15分钟末时,PQ最短,两人最近，最近距离为2km。12.在静水中划船的速度是每分钟40米,水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,试问小船的行进方向应指向哪里？思路分析：速度是向量，根据本题的已知和所求,可以用向量加法运算予以解决.解：用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB，连结OC。依题意OC⊥OA,BC=OA=20，OB=40，∴∠BOC=30°,船应沿上游与河岸夹角为30°的方向行进.13.不顾国际社会的强烈反对，美国于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹，再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v|=10nmk/h.令v=λ1e1+λ2e2，基底e1、e2是平面内的