数学自主训练：平面向量的线性运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.正方形ABCD的边长为1，则|+++|为（）A.1B。C。3D.2思路解析：｜+++｜=2｜|=2。答案：D2.如图2—2—8，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(）图2-2—8A。+=B.+=C。+=D.+=思路解析：结合向量加法的几何意义再充分利用三角形法则和平行四边形法则就很容易找出答案了。答案：C3。已知向量a∥b，且|a｜＞｜b｜＞0，则向量a+b的方向（)A。与向量a方向相同B.与向量a方向相反C。与向量b方向相同D.与向量b方向相反思路解析:可以结合图形再根据平行四边形法则就可以很容易得出正确答案.a∥b说明两个向量是共线向量。答案:A4。已知菱形的两邻边=a,=b，其对角线交点为D,则等于（）A。a+bB。a+bC。(a+b)D.a+b思路解析：根据向量加法的几何意义,由平行四边形法则及平行四边形的性质可以得到。答案:C5.a、b为非零向量,且｜a+b｜=|a|+|b｜，则（）A。a∥b，且a与b方向相同B.a、b是共线向量C.a=—bD。a、b无论什么关系均可思路解析：当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且｜a+b｜＜｜a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a｜+|b|；向量a与b反向且｜a|＜｜b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反），且|a+b｜=|b｜—|a｜.答案:A6.若三个向量a、b、c满足a·b·c=0，则a、b、c可以组成（)A。一条直线B.三个点C。三角形D。不确定思路解析：当a、b、c共线时，不能构成三角形，当a、b、c不共线时，由向量加法的三角形法则可知能构成三角形。答案：D7。设a表示“向东走了2Skm”，b表示“向南走了2Skm”，c表示“向西走了2Skm”,d表示“向北走了2Skm",则（1）a+d表示向______________走了______________km；(2）b+c表示向______________走了______________km；(3）a+c+d表示向______________走了______________km；（4）b+c+d表示向______________走了______________km；(5)若a表示向东走8km，b表示向北走8km,则|a+b|=____________km，a+b的方向是____________；（6)一架飞机向北飞行300km后改变航向向__________飞行__________km,两次飞行位移之和的方向为北偏西53.1°,大小为500km，飞行路程为__________km.思路解析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.答案：（1)东北2S(2)西南2S(3)北2S（4）西2S(5）8东偏北45°(6）西4007008。已知||=｜｜=，且∠AOB=120°,则|+|=_____________。思路解析:利用|a｜2=a2，展开即可求得；也可利用向量加法的几何意义，作出平行四边形，研究平行四边形的性质求解.以、为邻边作平行四边形OACB，则=+，因为|｜=|｜=，且∠AOB=120°，所以△OAC是正三角形.所以|+｜=||=｜|=。答案:9。已知非零向量a、b，且a+b平分a、b的夹角，则向量a、b的关系是____________.思路解析：可利用向量加法的几何意义,作出平行四边形，研究平行四边形的性质即可。在平行四边形OACB中，=a，=b，则对角线=a+b，因为a+b平分a、b的夹角.所以△OAC≌△OBC.所以｜a|=｜b|。答案：｜a|=｜b｜我综合我发展10。已知两个不共线向量e1和e2，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2。求证：A、B、D三点共线.思路分析:欲证A、B、D三点共线，只要证明与共线即可，然后根据向量共线的条件.证明：∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1—8e2=12e1+18e2=6（2e1+3e2)=6，∴向量与共线.又∵与有共同的起点A，∴A、B、D三点共线.11。求证：对任意向量a、b,都有｜a+b|≤｜a｜+|b｜。思路分析：对向量a、b,按照共线与不共线分类讨论来研究其长度问题.证明:（1)当a、b不共线时，如下图，a+b=，∵△OAB中，｜|＜｜｜+||，∴｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜.（2）当a、b不共线时,a、b同向则|a+b｜=｜a|+｜b|；a、b反向则|a+b｜＜｜a｜+｜b｜.∴对任意向量a、b,都有|a+b|≤｜a｜+｜b|.12。用向量方法证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.思路分析：用向量法证明几何问题，首先要用向量表示几何元素,然后进行向量线性运算，最后用运算结果的几何意义解释即可.答案:已知：如下图，梯形ABCD中,E、F是两腰AD、BC的中点，求证:EF∥AB∥CD，且EF=（AB+CD)。证明：∵E、F分别是AD、BC的中点,∴=—，=-。∵=++,=++，∴=（+++++）=（+）。又∵DC∥AB，设=λ，∴=（+）=（+λ）=.∴∥.∵E、F、D、C四点不共线,∴EF∥CD。同理,∥.且｜|=(||+｜｜)。∴EF=（AB+CD).13。在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°(如图2—2—9），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.图2-2-9思路分析：物理中力的分解实质上是寻找两个向量，使其和向量为一直向量。解：如下图,作平行四边形OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°,在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，｜｜=||cos30°=×300=（N）;||=|｜sin30°=×300=150（N)；｜｜=|｜=150（N）.答：与铅垂线的夹角为30°的绳子拉力是N,与铅垂线的夹角为60°的绳子拉力是150N。14。一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10nmile处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9nmile/h的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18nmile/h，要想尽快将这只渔船救出险境,求货船的行驶方向和所用时间。思路分析:本题是实际问题，首先根据实际条件，用向量表示位移,作出图形，解决几何问题即可。解：如下图，渔船在A处遇险，