数学自主训练：6三角函数模型的简单应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.如图1-6—8所示，有一广告气球，直径为6m,放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为2β=2°,若θ很小时，可取sinθ≈θ，试估算该气球的高BC的值约为（）图1-6—8A。70mB。86mC.102mD。118m思路解析：1°=,在Rt△ACD中，AC=。在Rt△ABC中,AC=,∴=。∴BC==3××≈86m.答案：B2.如图1-6—9是一弹簧振子做简谐运动的图象,横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是_______________。图1—6—9思路解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ），则A=2,由图象可知T=2×(0.5—0.1)=,∴ω==。∴×0.1+φ=.∴φ=。∴函数的解析式为y=2sin（x+)。答案：y=2sin(x+)3。甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为_____________。思路解析：如图，甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=.∴乙楼的高度为BD=BE—DE=60—米。答案：60米,60-米4.一树干被台风拦腰折断，两树干折成60°角,树干底部与树尖着地处相距20米,树干原来的高度为_____________。思路解析：如图，BC=20tan30°=，AB=，所以树干原来的高度为AB+BC=(米）。答案：米5.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化，且最小正周期为12.（1）画出种群数量关于时间变化的图象;（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.思路分析:根据给出的数据要计算出要求函数的周期、振幅等数据.解:（1）种群数量关于时间变化的图象如图所示：（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ）+k。由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A==100，即ω==，k=800。又7月1日种群数量达到最高，所以×7+φ=。而φ=—.所以种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin(t-4)+800.6.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计如图1-6-10：图(1)的过水断面为等腰△ABC，AB=AC，过水湿周l1=AB+AC；图(2)的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC,∠BAD=60°，过水湿周l2=AB+BC+CD.若△ABC与等腰梯形ABCD的面积都为S.图1—6—10（1）分别求l1与l2的最小值(a2+b2≥2ab)；（2）为使流量最大,给出最佳设计方案。思路分析：解答此题首先要分别求出两个变量的函数表达式，然后可利用三角函数及不等式的性质求最值。解：在图（1）中，设∠ABC=θ，AB=AC=a，则S=a2sinθ，由于S，a,sinθ皆为正值，可解得a=，当且仅当sinθ=1时，即θ=90°时，取等号。所以l1=2a≥。在图(2）中，设AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°,可求得AD=m+n,S=(n+m+n)·m,解得n=。l2=2m+n=2m+-=+.当且仅当=，即m=时，取等号。通过比较，可得l1min＞l2min，所以最佳方案应该是图(2)所示的方案。我综合我发展7。游乐场中的摩天轮匀速旋转,其中心O距地面40。5m，半径40m，若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5min后到达最高点，在你登上摩天轮时开始记时.你能完成下面的问题吗？（1）当你登上摩天轮2min后,你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，请求出你的朋友与地面的距离y关于时间t的函数关系式；（2)你和你的朋友与地面的距离差何时最大？最大距离差是多少？（sinα—sinβ=2cossin）(3）如果规定每位游客乘坐摩天轮观景的时间是每次20min，从你的朋友登上摩天轮的时间算起，什么时候你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离？解:根据已知，可求得你与地面距离y与时间t的函数关系式为y=40sin(t)+40.5。（1)你的朋友比你晚2min登上摩天轮,即沿时间轴向右平移2个单位，得出你的朋友与地面距离y关于t的函数关系式为:y=40sin[（t-2)］+40。5，即y=40sin（t—）+40。5.(2)距离差为｜y1-y2｜=40|sin（t)—sin(t-）｜=80cos（t-)sin.当cos（t—)=1,即t-=0,t=3.5min时,h达到最大，最大值距离差约为47m。(3）令h＜0，即sin（t—）＜0，故(2k+1）π＜t—＜(2k+2）π(k∈Z)，因为两位游客乘坐摩天轮的时间是每次20min，因此从你登上摩天轮开始计时到两人都下摩天轮为止，需经过22min，即t的取值范围是0＜t＜22，故取k=0或1,6＜t＜11或16＜t＜22.从你朋友登上摩天轮的时间算起，第4min到第9min，以及第14min到第20min为止，你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离。8.已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ）.图1—6—11（1）图1-6—11是I=Asin(ωt+φ）（ω＞0,｜φ｜＜）在一个周期内的图象，根据图中数据求I=Asin(ωt+φ）的解析式；(2）如果t在任意一段秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值，那么ω的最小正整数值是多少？思路分析：三角函数是重要的初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中有着重要的作用,在物理课程中的力学、光学、电学，特别是对震动过程的研究，也都用到三角函数的知识.利用三角函数的图象和性质，如正、余弦的有界性、单调性、周期性，可以解决相应的综合应用问题.解：（1）因为周期T=2（+）=，ω==150π,又A=300，所以I=300sin（150πt+φ）.将（-，0）代入上式得sin(φ-）=0,所以φ—=0，φ=.故所求的解析式为I=300sin(150πt+)。（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大，必满足区间长度至少包含一个周期，即≥，ω≥300π＞942，所以ω的最小正整数值是943.9。烟筒上的正弦函数烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头(两个圆柱呈垂直状)，如图1—6-12所示，若烟筒的直径为12cm,最短母线为6cm，应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省料呢？图1-6—12思路分析：如何构造三角函数是本题的关键.解：如图(1）所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的交点,过O作水平面，它与截面的交线为CD，它与圆柱的交线是以O为圆心的圆,CD是此圆的直径,又设B是这个圆上任意一点，过B作BE垂直CD于E,作圆柱的母线AB，交截平面与圆柱的交线于A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE。设BD弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α，根据弧长公式,知α=.又设AB=y，由Rt△BOE中，sinα=，故BE=6sinα，从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin。所以，铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin(0≤x≤12π)，其图象如图(2）,因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合,所以最节约且最省工的裁剪方式如图（3)。10。下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0。1小时)。日期日期位置序号白昼时间y（小时）1月1日15.62月28日5910。23月21日8012.44月27日11716。45月6日12617.36月21日17219.48月13日22516.49月20日26312。410月25日2988.512月21日3555.4(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；（2）试选用一个形如y=Asin（ωx＋φ)＋t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算）思路分析：此题是一个实际应用性的问题,其数学模型是已知图象，求解析式.首先观察图形确定出函数的最大值和最小值,以及函数的周期，进而解出待定系数A、B、ω.再将一个关键点的坐标代入解析式求出φ.注意因为所求的解析式是来源于实际问题的，所以函