数学自主练习：演绎推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。下列推理正确的是（)A.如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票,所以你一定中奖。B.因为正方形的对角线互相平分且相等，所以对角线互相平分且相等的四边形是正方形。C.因为a＞b，a＞c，所以a—b＞a—c。D.因为a＞b，c＞d，所以a-d＞b-c.思路解析:A、B都是归纳推理，结论不一定正确，而C、D都是演绎推理，但C是不正确的。答案：D2.（2006年陕西高考卷，12）为确保信息安全,信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密)，接收方由密文→明文（解密)。已知加密规则为：明文a、b、c、d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d，4d.例如明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16,当接收方收到密文14，9,23，28时，则解密得到的明文为（）A。7，6，1,4B.6,4,1,7C.4,6,1，7解:本题是演绎推理，由一般到特殊的推理.由题意可得可求得答案:B3。（2006年福建高考卷,12)对于直角坐标平面内的任意两点A（x1,y1）,B（x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”:｜｜AB｜|=｜x2—x1｜+｜y2-y1|。给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则｜｜AC｜｜+｜｜CB|｜=｜|AB｜|；②在△ABC中，若∠C=90°,则｜｜AC｜｜2+｜｜CB｜|2=｜|AB｜|2;③在△ABC中，｜｜AC｜｜+｜|CB｜｜=｜|AB｜|。其中真命题的个数为（）A.0B.1C思路解析：解：如上图(1）|｜AB｜|=|AC|+｜BC｜∴在①中如图（2），｜｜AC｜|+｜｜CB|｜=|AM|+|MC｜+|CP｜+｜PB｜=｜AN|+|BN|∴①正确.在②中如图（1)，｜｜AC｜｜2=|AC｜2，｜|AB｜｜2=（|AC｜+|BC|）2，||BC|｜2=|BC|2，∴②不正确.在③中如图（1）｜|AC｜|+||CB｜｜在△ABC为直角三角形且C为直角时其值等于｜｜AB|｜.答案:B4。在推理a＞b,b＞ca＞c中，前提是______________，结论是_______________________.思路解析:解：把命题a＞b，b＞ca＞c改成因为a＞b,b＞c所以a＞c。答案：前提是：a＞b，b＞c.结论是:a＞c。5。(2006年上海高考卷，文12）如图2—1—6，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p、q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2)的点的个数是__________________________.图2-1—6思路解析：若pq≠0，则满足题意的点有且仅有4个，这4个点分别在4个角的内部：且两两关于O点对称。答案:4个。6。如图2—1—7所示已知A、B、C、D四点不共面,M，N分别是△ABD和△BCD的重心.求证：MN∥平面ACD。图2—1-7证明:连结BM，BN并延长分别交AD，DC于P、Q两点，连结PQ。因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以P、Q分别为AD、DC的中点，又有，所以MN∥PQ，又MN平面ADC，PQ平面ADC，∴MN∥面ACD。7.设a、b、c∈R+，求证：(a+b+c）证明：∵a2+b2≥2ab,a、b、c∈R＊,∴2（a2+b2）≥（a2+b2)+2ab=（a+b）2,∴a2+b2≥∴≥（a+b）。同理≥（a+c）,≥(b+c),∴有≥(2a+2b+2c)=(a+b+c）.即：≥(a+b+c）。我综合我发展8.用三段论法表示，如果用M表示所有平行四边形的集合，用F表示对角线互相平分的属性，那么M的每一个元素x都具有属性F为真.而所有矩形集合N是集合M的非空真子集，为真，即每一个矩形的对角线互相平分.解：用三段论法表示为：每一个平行四边形的对角线互相平分；每一个矩形是平行四边形；每一个矩形的对角线互相平分;或：∵平行四边形的对角线互相平分（大前提）矩形是平行四边形（小前提)∴矩形的对角线互相平行(结论）9求证：当a、b、c为正数时，(a+b+c）（）≥9。证明：首先，我们知道，≥.（a+b+c)（++)=（a+b)（+)+(a+b）+c(+）+c·=+(a+b）（+）+1≥4+（a+b）·+1=5+≥5+4=910。证明函数f（x）=x6—x3+x2-x+1的值恒为正数。解：当x＜0时，f(x）各项都为正数,因此，当x＜0时,f(x）为正数；当0≤x≤1时，f（x)=x6+x2（1—x）+（1-x)＞0；当x＞1时,f(x）=x3(x3—1）+x（x—1）+1＞0.综上所述，函数f(x)的值恒为正数.11。证明函数f(x）=—x2+2x在(—∞，1］上是增函数.思路分析：证明本例所依据的大前提是：增函数的定义,即函数y=f(x）满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2，若x1＜x2,则有f(x1)＜f(x2).小前提是:f（x)=-x2+2x，x∈（—∞,1］满足增函数的定义，这是证明本例的关键。证明：任取x1,x2∈(—∞，1］,且x1＜x2，f（x1）—f（x2)=（-+2x1）-（—+2x2)=(x2—x1)（x2+x1-2）因为x1＜x2，所以x2-x1＞0,因为x1,x2≤1，x1≠x2,所以x2+x1—2＜0，因此，f（x1）—f(x2)＜0，即f（x1)＜f(x2).于是，根据“三段论”，可知f(x）=-x2+2x在(-∞,1］上是增函数。12。如图2-1-8,四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点，（1）求证：EF⊥面PAB;（2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。图2-1-8(1）证明：连结EP.∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内.∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC,∴Rt△BCE≌Rt△PDE,∴PE=BE又∵F为PB中点，∴EF⊥PB.由三垂线定理得PA⊥AB。∴在Rt△ABP中,PF=AF，又PE=BE=EA，∴△EFP≌△EFA,∴EF⊥FA.∵PB、FA为平面ABP内的两条相交直线,∴EF⊥面PAB.（2）解：设BC=1，则AD=PD=1，AB=，PA=，AC=.∴△PAB为等腰直角三角形,且PB=2，F为其斜边中点，BF=1且AF⊥PB。∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直。∴PB⊥平