北京清华附中上地学校C21级数学几何综合练习及答案

1．西城20242．东城2024在△ABC中，ABAC，∠BAC=120°，D为BC上一点，连接DA，将线段绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点，求证：AE⊥BC；（2）当BD≠CD时图2中BD＜CD，图3中BDCD)，F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE的大小，并证明．3．朝阳2024已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转（0°＜＜90°AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-BEF为DEAF，BF.（1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数；（2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得AF=3BF成立，并证明.图1图24．丰台2024已知在△ABC中，ABAC，0°<∠BAC<90°，将线段AC绕点Aα得到线段AD，连接Ｂ，CD．（1）如图1，当∠BACα时，∠ＡBD=（用含有α（22=90°BD∠BAD的角平分线交BC的延长线于点FBD于点E，连接DF．①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC的度数；②用等式表示线段AF，CF，之间的数量关系，并证明．图1图2Rt△ACB中，ACB90，=60°=．D是边BA上一点（不与点B1重合且CDC得到线段CE，连接，．2（1）求CAE的度数；（2）F是的中点，连接并延长，交CD的延长线于点G，依题意补全图形．若G=ACE，用等式表示线段FG，，之间的数量关系，并证明．EADCB6．房山2024如图，在等边三角形ABC中，E，F分别是，上的点，且BE=CF，，交于点G.（1）AGF=°；（2）过点A作∥（点D在的右侧，且AD=BC，连接DG.①依题意补全图形；②用等式表示线段，与DG的数量关系，并证明.AFGBEC7．平谷2024如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D为边中点，E为△ABC外部射线CD上一点，连接AE，过C作CF⊥于（1）依题意补全图形，（2）找出图中与∠EAD相等的角，并证明；（3）连接DF，猜想∠CFD的度数，并证明.8．通州如图，△ABC中，=AC=BCD在ABAD的中点FCD、CF，将线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CE，连结AE、BE.（1）依题意，请补全图形；（2）判断BE、CF的数量关系及所在直线的位置关系，并证明.DBFCA1．2（1）证明：∵ABAC，∠BAC=120°，∴∠ABC∠=30°.将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，∴DEDA，∠ADE=60°.∴△ADE是等边三角形.∴∠BAE=60°.∴∠AHB=90°.∴BCAE.………..3分（2）解：选择图2：A①补全图形如图所示：………..4分FBDC②猜想∠AFE=90°.………..5分证明：如图，过点A作⊥于H，连接AE.则∠AHB=AHC=90°.E∵ABAC，∠BAC=120°，∴∠CAH=1∠BAC=60°C=30°.2∴AH=1AC.2∵F为线段中点，∴AF=1AC.2∴AHAF.由（）可知△是等边三角形.∴∠DAE=60°∠CAHAD=AE.∴∠DAH=在△△AEF=，=，=AF.∴△ADH≌△AEF（SAS.∴∠AFE∠=90°.………7分选择图3：①补全图形如图所示：②（选择图3的答案与选择图2的答案一致）3.（1）解：补全图1，如图.90.（2）60.AF到点GFAFBGAB的延长线于点.∵F是的中点，∴DFEF.∵∠=∠GFE，∴△≌△GFE.∴ADGE，∠DAF∠FGE.∴AD//EG.∴∠DAB+∠=180°.在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAB∠CBA=180°-（∠DAB∠DAC）（∠EBA∠EBC）=180°-∠DAB+∠EBA+180°-α∠+∠EBH∠BEG.∵BECE，ADAC=GE，∴△ABC≌△BEG.∴ABBG，∠ABC∠GBE.∴AF⊥BF，∠ABG=2∠ABF，∠ABG∠EBC.∵60°，∴∠EBC=180°-α=120°.∴∠ABF=60°.∴∠30°.∴AF=√3BF.4.（1）∠ABD=90°-α．··················································1分（2）①解：依题意补全图形.·······································2分∵AB=AC，1∴∠ABC∠ACB=90°-∠BAC.D2∵AD=AC，∴AD=AB．AE1∴∠ABD∠ADB=90°-∠BAD．2∴∠DBC∠ABC-∠ABDBCF1=（∠BAD-∠BAC）21==45°．········································4分2②结论：2=+CF．·································5分证明：过点A作BD的平行线交FD的延长线于点．∵AD=AB，AF平分∠BAD，∴DB⊥AF，BEDE．∴BFDF．∴∠B∠．G∵∠DBC=45°，∴∠BDF∠DBC=45°．∴∠BFD=90°．∴∠B∠=45°．∵AG∥BD，DAE∴∠G∠DEF=90°，∠G∠BDF=45°．∴AGAF．∵∠G∠CAD=90°，∴∠CAF∠DAG．BCF∵AC=AD，∴△CAF≌△DAG．∴DGCF．∵FG=2AF．∴2=+CF．·····························7分5）解：取的中点M，连接MC，如图.∵ACB90，=°∴CM=AM.E又∵CAM60，∴△是等边三角形.==CA=CM.=°AC∴ACM160，M41∵，=°2D3∴2=3．B又∵CE=CD，∴△ACE≌△MCD．∴CAE=4=180°−1=120.…………3分（2线段FG，，之间的数量关系：FG=AF+AE.EAFM4N1G52D3CB证明：过点D作DN∥交AG于点N，如图．∴△∽△FEA.NDNFFD∴==．AEAFFE∵，∴ND=AE，NF=AF．+=∵CAEACM120+60=180，=°∴CM∥．∴CM∥DN．∴5=3．G=2，2=3，∵∴=5G．∴NGNDAE．==∵FGNFNG，NF=AF，=+∴FGAFAE．=+…………7分6（1）60；（2）①依题意补全图形，如图.………….………..……….2分ADFGBEC………….………..……….4分+BG②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系：3AG22=DG2.………….………..……….5分证明：作GAM=120，在AM截取AP=AG，连接GP，PD.∵AP=AG,GAP=120,∴==.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC,ABC=60.又∵AD=BC,∴AB=AD.∵AD∥，∴+=.∴BAD=120.∵=,∴BAG=DAP.∴△BAG≌△DAP（SAS）.∴BG=DP，APD=AGB=120.∵=30，MDPAHQF∴DPG=90.G∴GP2+DP2=DG.2BEC过点A作AQ⊥GP于点Q，在△AGQ中，∵AGQ=30，=，3∴=.2∴==3.又∵BG=DP，∴3AG2+BG2=DG2.………….………...7分727.1（2FCE=∠EAD........................................................................................................................1............................................................................................................................................2证明：在△ABC中，,D为边中点ACFE∴CD⊥AB，∠ADE=90°，∴∠∠E=90°.∵CF⊥AE，∴∠CFE=90°，∴∠FCE+∠E=90°.DB∴∠FCE=∠EAD.............................................................3（3）∠CFD=45°............................................................................................4证明如下：在CF上取一点，使CH=AF，连结...........................5AF在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为边中点，∴=DB=CDEDH由（2）可知∠HCD=∠∴△HCD≌△BC.........................................................6∴HD=FD，∠HDC=∠∴CD⊥AB，∠ADC=90°，∠HDC+∠ADH=90°.∴∠ADF+∠ADH=90°.即∠FDH=90°∴△FDH是等腰直角三角形.∴∠CFD=45°..........................................................................................78（1）如图…………1分D（2BE=CFBE⊥证明：取ACMFM∵F为中点BNFE1∴FM∥，FM=CDCA2M∵绕点C顺时针旋转90°得到线段1∴FM=CE2∵=∴