15平方差公式（备作业）2021-2022学年七年级数学下册(北师大版)

1.5平方差公式一、单选题1．下列多项式的乘法中用平方差公式计算的是A． B． C． D．【答案】A【解析】解：平方差公式的使用条件：两个二项式相乘，其中两项相同，两项互为相反数．符合这个条件的只有．故选：．2．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先观察平方差公式为，抓住两个因式中都是两项式，一项相同，另一项互为相反数特征，对选项进行一一分析看是否符合公式特征即可．【解析】解：∵平方差公式为，两个因式中都是两项式，一项相同，另一项互为相反数；A.两项都是互为相反数，不能用平方差公式计算，故选项A符合题意；B.两个因式中都是两项式，前项相同，后项互为相反数，，能用平方差公式计算，故选项B不符合题意；C.两个因式中都是两项式，后项相同，前项互为相反数能用平方差公式计算，故选项C不符合题意；D.两个因式中都是两项式，把第二个括号中利用加法交换律换位，前一项相同，后一项互为相反数，可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意．故选择A．【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征是解题关键．3．计算的结果是A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】解：．故选：．4．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（）.A． B．C． D．【答案】D【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．

【解析】解：（ab+c）（a+bc）=[a（bc）][a+（bc）]．

故选：D．

故答案选择：D.【点睛】本题考查的是平方差公式，需要熟练掌握平方差公式的特征.5．已知a+b+3＝0，且a﹣b﹣4＝0，则a2﹣b2＝（）A．12 B．﹣12 C．24 D．±12【答案】B【分析】根据平方差公式，即可求解．【解析】解：∵a+b+3＝0，a﹣b﹣4＝0∴a+b＝3，a﹣b＝4，∴a2﹣b2=（a+b）（ab）=3×4=12．故选B．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键．6．计算的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】原式乘以变形的1，即（21），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解析】解：=（221）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（241）（24+1）…（22n+1），=（281）（28+1）…（22n+1），=（22n1）（22n+1），=24n1，故选C．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及巧添1=（21）是解本题的关键．7．若，则的值为（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先利用平方差公式，得=，再整体代入化简求值即可．【解析】解：∵，∴=====．故选B．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握整式的混合运算法则以及平方差公式是解题的关键．8．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”()A．56 B．66 C．76 D．86【答案】C【分析】利用“神秘数”定义判断即可．【解析】解：∵76=38×2=（20+18）（2018）=202﹣182，∴76是“神秘数”，而其余各数均不能表示为两个连续偶数的平方差，故选：C．【点睛】此题考查了平方差公式，正确理解“神秘数”的定义是解本题的关键．9．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），将余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到个关于的等式为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a2＋ab＝a（a＋b）【答案】C【分析】根据两个图形阴影部分的面积相等、正方形和梯形的面积公式即可得．【解析】解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则由图1和图2中阴影部分的面积相等得：，故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出等量关系是解题关键．10．若……，则A的值是A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】把变成然后利用平方差公式计算即可【解析】………………故选D【点睛】能够灵活运用平方差公式解题是本题关键二、填空题11．在括号中填上适当的整式：（1）（________）；（2）（________）；（3）（________）；（4）（________）．【答案】【分析】根据平方差公式进行计算即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）；故答案为：；；；．【点睛】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特点是解本题的关键．12．填空（1）________；（2）________．【答案】【分析】直接根据平方差公式进行计算即可．【解析】解：（1）；（2）；故答案为：；．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键．13．(1)______=______.(2)______；.【答案】【分析】（1）根据平方差公式直接计算即可；（2）两次运用平方差公式计算即可.【解析】解：（1）；（2），故答案为：，，.【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键.14．已知，，则__．【答案】2【解析】解：，又，，，故答案为：2．15．已知：且，则__．【答案】【解析】解：，，．故答案为：．16．若，，则______．【答案】3【分析】根据已知求出a+b及ab的值，相乘即可得到答案．【解析】解：∵2a+b=5，a+2b=4，∴（2a+b）+（a+2b）=5+4，即3a+3b=9，（2a+b）（a+2b）=54，即ab=1，∴a+b=3，∴a2b2=（a+b）（ab）=3×1=3，故答案为：3．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握平方差公式分解因式及整体代入思想的应用，题目较基础．17．计算=____．【答案】2020【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值.【解析】解：原式====2020.故答案为：2020.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是利用平方差公式简化运算.18．若，则____________，____________.【答案】a+c；b【分析】利用单平方差公式把原式变形，注意a+c看成是一个整体．【解析】解：．∴A=a+c；B=b.故填：a+c；b【点睛】此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单．19．如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是_____________【答案】【解析】【解析】大正方形的面积−小正方形的面积=a2−b2，矩形的面积=(a+b)(a−b)，故a2−b2=(a+b)(a−b).故答案为.【点睛】本题主要考查平方差公式的几何意义，用这两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键.20．设则_______.【答案】【分析】根据平方差公式对原式进行变形即可求出S，再求出的值即可.【解析】======故=【点睛】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是利用1=21找到公式的特点.三、解答题21．运用平方差公式计算：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3999999；（6）999996．【分析】（1）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可；（2）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可；（3）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可；（4）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可；（5）先变形，再根据平方差公式进行计算即可；（6）先变形，再根据平方差公式进行计算即可．【解析】解：（1）＝＝；（2）（3）（4）（5）2001×1999＝（2000＋1）×（2000−1）＝＝4000000−1＝3999999（6）998×1002＝（1000−2）×（1000＋2）＝＝1000000−4＝999996．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，注意：（a＋b）（a−b）＝．22．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【分析】根据整式的乘法运算法则和平方差公式，对每个式子逐个计算即可．【解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【点睛】此题考查了整式的乘法以及平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则以及平方差公式是解题的关键．23．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】（1）根据平方差公式计算即可；（2）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可；（3）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可；（4）先利用平方差公式计算分子，再利用除法化简系数即可；（5）利用平方差公式计算即可；（6）连续使用平方差公式计算即可．【解析】解:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）====．【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征，使用时注意系数与次数的变化是解题关键．24．已知，求的值．【答案】84【分析】将与相加，即可得到xz，再乘以x+z，利用平方差公式即可解决本题．【解析】解：，．【点睛】本题主要考查了整式与平方差公式，熟练平方差公式是解决本题的关键．25．先化简再求值（1），其中x=2，y=．（2），其中；【答案】（1）；1；（2）3a22a21，5【分析】（1）根据整式的乘法运算法则化简，再代入x，y故可求解；（2）根据整式的乘法运算法则化简，再代入x，y故可求解．【解析】（1）==把x=2，y=代入原式=2×=1（2）===3a22a21，把代入，原式=3×4+2×221=5．【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知其运算法则．26．如图，王大妈家有一块边长为的正方形土地租给了邻居李大爷种植，今年，他对李大爷说：“我把你这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”．李大爷一听，就答应了．同学们，你认为李大爷吃亏了吗？为什么？【答案】李大爷吃亏了．【分析】根据题意分别计算原来正方形地的面积为，后来图形的面积为，比较即可得到答案．【解析】李大爷吃亏了．原来正方形地的面积，当一边减少4，另一边增加4时，面积为，因为，所以李大爷吃亏了．【点睛】此题考查平方差公式的实际应用，熟记平方差的计算公式是解题的关键．27．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差．求这两个正方形的边长．【答案】正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为【分析】设正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为，列出求出即可达到结果；【解析】设正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为．由已知得解得答：正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确计算是解题的关键．28．先阅读下列材料，然后解答问题：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算，即．很受启发，后来在求的值时，又改造此法，在乘积式前面乘1，然后把1写成的形式，即……．问题：（1）请借鉴该同学的经验，计算：；（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：．（为自然数，且）【答案】（1）2；（2）【分析】（1）根据题意将写成，然后连续运用平方差公式计算即可；（2）逆用平方差公式再进行计算即可．【解析】解：（1）原式；（2）．【点睛】本题考查平方差公式，熟练应用平方差公式，并能根据题意构造出平方差公式是解题的关键．29．数学活动课上，老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，排成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图①和图②可以得到的等式为（用含a，b的代数式表示）；（2）小芳想用图①的三种纸片拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的大长方形，则需要A纸片张，B纸片张，C纸片张（空格处填写数字），并尝试在框线中参考图②画出相关的设计图；（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACED和正方形BCFG，面积分别记作S1、S2，若AB＝6，图中阴影部分△ACF的面积为4，利用（1）中得到的结论求S1+S2的值．

【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）1，2，3；（3）20【分析】（1）根据大正方