第三章 一元函数的导数及其应用综合测试卷（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第三章一元函数的导数及其应用综合测试卷（新高考专用）（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（2024·湖北襄阳·二模）已知函数f(x)=x2+1xA．1 B．12 C．2 【解题思路】由题意，根据求导公式和运算法则可得f′【解答过程】由题意知，f′(x)=2x−1所以limΔ故选：B.2．（5分）（2024·全国·模拟预测）函数fx=exxA．x+ey−4=0 B．x−ey+6=0 C．【解题思路】根据导数的几何意义，即可求解.【解答过程】由fx=e则f′−1=则所求切线方程为y−5e=故选：B．3．（5分）（2023·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=ft，用−fb−fab−a

A．在t1B．在t2C．在t3D．甲企业在0,t1，t1,t【解题思路】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力.【解答过程】设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=ℎt，乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g对于A选项，在t1,t乙企业的污水治理能力g(t)=−gt2所以ℎ(t)>g(t),即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；对于B选项，由图可知，ℎ(t)在t2时刻的切线斜率小于g(t)在t但两切线斜率均为负值，故在t2对于C选项，在t3故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；对于D选项，由图可知，甲企业在0,t1，t1在t1,t2时故选：D.4．（5分）（2024·江西宜春·三模）已知a=12e，b=ln222A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．c<b<a【解题思路】首先将a,b,c化成统一形式，构造函数fx=ln【解答过程】由题意得a=12e=ln设fx=ln当0<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)所以f(2)<f(e)<f(2)，即故选：A.5．（5分）（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数fx=asinx+A．0,eπ22 B．0,22【解题思路】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在0,π上有两个变号零点，再进行参数a【解答过程】由题意得f′因为函数fx在0,π上恰有两个极值点，则f′当a≤0时，f′x>0当a>0时，令ℎx=−2a当x∈π4,π时，ℎ′当x∈0,π4时，ℎ′x又ℎ0=ℎπ所以ℎπ4=1−2aeπ故选：D．6．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知函数f′(x)为定义在R上的函数fx的导函数，fx−1为奇函数，fx+1A．f0=f2 C．f′(4)=2 【解题思路】由奇函数、偶函数性质可得f(−x−1)=−f(x−1)与f(−x+1)=f(x+1)，分别对两式两边求导可得f′(−x−1)=f′(x−1)【解答过程】因为fx−1为奇函数，所以f(−x−1)=−f(x−1)因为fx+1为偶函数，所以f(−x+1)=f(x+1)对①两边求导可得−f′(−x−1)=−对②两边求导可得−f′(−x+1)=对于A项，将x=1代入②可得f(0)=f(2)，故A项正确；对于B项，将x=2代入④可得f′对于C项，将x=3代入④可得f′(−2)+f′(4)=0，将x=1对于D项，由③可得f′(−(x−2)−1)=f所以由④⑤可得f′所以由⑥可得f′((x+3)−3)=−f由⑦可得f′所以由⑦⑧可得f′(x)=f所以f′将x=1代入④可得f′(0)+f由C项知，f′将x=2代入⑦可得f′(2)=−f所以i=110if′2i故选：C.7．（5分）（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为R的偶函数y=fx的导函数为y=f′x，若f′x+A．−∞,−1∪C．−3,1 D．−1,3【解题思路】先令g(x)=f′(x)+【解答过程】因为y=f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，所以−f令g(x)=f因为f′则g(−x)=g(x)，即f′即−f所以f′当x>0时，f′(x)=−2x<0，即f(x)在0,+∞上单调递减，则f(x)由f(2a+4)>f(a2+1)所以2a+4<a2+1，即−a即实数a的取值范围是−∞故选：A．8．（5分）（2024·四川·三模）已知关于x的方程e2x−axex+9e2A．(0,16e4) B．(0,12e4)【解题思路】变形给定方程，构造函数f(x)=exx，利用导数探讨方程t=【解答过程】显然x=0不是方程e2x则方程e2x−axe令t=exx，得t2−at+9由f′(x)<0，得x<0或0<x<1，由f′即函数f(x)在(−∞,0)和(0,1)上单调递减，在(1,+∞作出f(x)的大致图象，如图，依题意，方程t2−at+9e2=0观察图象知，方程t2−at+9e2=0于是t1+t2=a,t1不妨设t1则(ex1由6e<a<10e所以(ex1故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2023·河南·模拟预测）已知定义在R上的函数fx,gx,g′x是gx的导函数且定义域也是R，若A．f8=3 B．g′−6=1 【解题思路】先根据已知条件判断g'【解答过程】由gx为偶函数，得g−x=gx，两边求导，得−g′−x=g′x，所以g'x所以g'8=g'由fx+g′x=3，得f−1由fx+g′x故选：AC.10．（6分）（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数fx=3A．fx是R上的增函数 B．函数ℎC．函数fx的最小值为−1 D．f【解题思路】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分x=0、x>0和x<0三种情况，结合函数值的符号分析判断零点；对于C：分x=0、x>0和x<0三种情况，可得fx>−1，即可判断；对于D：根据f′x的单调性，结合零点存在性定理分析可知∃x【解答过程】对于选项A：因为fx=3当x=log3212即f′x=3x对于选项B：因为ℎx当x=0时，ℎ0=f0+0=0，可知当x>0时，ℎx=fx+x=3当x<0时，0<32x可得ℎx=fx+x<0，可知综上所述：函数ℎx对于选项C：当x>0时，fx当x=0时，f0当x<0时，则0<3x<1，0<综上所述：fx>−1，所以−1不是函数对于选项D：因为f′x=所以f′x的符号决定于显然y=32x又因为当x=0时，32当x=log32所以∃x0∈R所以fx在−∞,所以fx有唯一极小值点.

故D正确.故选：BD.11．（6分）（2024·福建福州·模拟预测）已知函数fx=axex+e−x−ex+A．x1+x2+C．ax1+1>0【解题思路】利用fx的奇偶性可判断A选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数a的取值范围，即可判断B选项；由ax1+1=2e2x1e2x1【解答过程】函数fx=axef−x所以fx是奇函数，则f又因为fx有三个零点且x1<所以x1=−x3，fx=axe令gx=1−2e2x+1，则要使函数fx有3个零点，y=ax与y=g

又g′当且仅当x=0时取等号，即0<g所以0<a<1，故B错误；ax由ax3=1−2e要使ax3+a=1−令ℎx=e2x所以ℎx在0,+∞单调递增，则于是e2x3故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=x的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为【解题思路】设公共点为(x0,y0)，由【解答过程】函数y=alnx的定义域为(0,+∞)，可得设曲线f(x)=alnx与曲线g(x)=x由于在公共点处有共同的切线，所以12x0由f(x0)=g(x0解得x0=e2，所以故答案为：(e213．（5分）（2024·四川成都·三模）若不等式emxmx−ln2−xlnx2≥0【解题思路】将已知变形为通过不等式emx2lnemx2≥x【解答过程】若不等式emxmx−ln2−x而m>0，所以emx设gt=tln所以gt在1e,+即m≥ln2xx设fx=ln当1e<x<e2时，f′当x>e2时，f′x<0所以当x=e2时，综上，正实数m的取值范围是2e故答案为：2e14．（5分）（2024·天津·一模）已知定义在0,+∞上的函数fx满足fx=f5x，当x∈1,5时，fx=lnx.若在区间【解题思路】根据题意得到fx=lnx,1≤x<5ln【解答过程】函数fx满足fx=f所以当x∈5,25故fx=ln画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数g(x)=f(x)−ax有三个不同零点，则直线y=ax应在图中的两条虚线之间，上方的虚线为直线与fx下方的虚线是直线y=ax经过点25,ln

当直线y=ax与fxf′x=则斜率a=1x0当直线y=ax经过点25,ln5时，故答案为：ln5四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第ts时的高度为ft=5t2(1)求飞机在[1,2]时间段内的平均速度；(2)求飞机在t=2s【解题思路】（1）根据平均变化率计算；（2）根据瞬时变化率计算．【解答过程】（1）v=f(2)−f(1)2−1（2）第2s末的瞬时速度为lim==lim因此，第2s末的瞬时速度为6516．（15分）（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=xlnx，(1)求函数g(x)的单调区间；(2)若当x>0时，mx2−【解题思路】（1）求出函数g(x)，再利用导数求出g(x)的单调区间.（2）等价变形给定不等式得m(x−lnx)≤e【解答过程】（1）依题意，函数g(x)=2lnx−x+1求导得g′(x)=2即g(x)在(0,+∞所以函数g(x)的递减区间为(0,+∞（2）当x>0时，mx令ℎ(x)=x−lnx,x>0，求导得当0<x<1时，ℎ′(x)<0，当x>1时，即函数ℎ(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，则当x>0时，令t=x−lnx，依题意，∀t∈[1,+∞令φ(t)=ett,t≥1，求导得φ′当t=1时，φ(t)min=φ(1)=所以实数m的取值范围(−∞17．（15分）（2024·北京·三模）已知fx(1)若a=−1，求曲线y=fx在点P(2)若函数y=fx存在两个不同的极值点x1,【解题思路】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；（2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示fx【解答过程】（1）当a=−1时，fxf′所以曲线y=fx在点P1,2处的切线方程为y−2=3x−1（2）f′令f′(x)=0，得1x−a原方程可化为at2−t+a=0所以Δ=1−4a2由韦达定理得t1+t所以f(=2(t令ℎa=2a+1所以函数ℎa在0,所以ℎa所以f(x18．（17分）（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数fx(1)若曲线y=fx在点1,f1处与x轴相切，求(2)求函数fx在区间1,【解题思路】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）由f′x=0，求得x=a，分类讨论x=a【解答过程】（1）由题意得fx=lnf′因为y=fx在点1,f1处与x轴相切，且所以f′1=1−a=0，解得a=1（2）由（1）知f′x=x−ax当x<a时，f′x<0，当x>a（i）当0<a≤1时，x∈1,e，f′x>0所以fx>f1=0，所以函数（ii）当1<a<e时，若1<x<a，则f′x<0，若函数fx在区间1,a上单调递减，在区间a,且f1=0，则fa当fe=1−a+ae>0，即1<a<当fe=1−a+ae≤0时，即当e（iii）当a≥e时，x∈1,e，f′x所以fx<f1=0，所以函数综上：当0<a≤1或a≥ee−1时，函数f当1<a<ee−1时，函数f19．（17分）（2024·福建南平·模拟预测）已知函数fx=ln(1)讨论fx(2)若方程fx=1有两个不同的根(i)求a的取值范围；(ii)证明：x1【解题思路】（1）求出函数的导函数，再分a>0、a<0（2）(i)参变分离可得1+lnxx=a，令gx=1+lnxx，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可求出a的取值范围；(ii)不妨设x1<x2，则【解答过程】（1）由题意得fx=lnex由f′x=0显然a≠0，若a>0，则当0<x<1时，f′x>0,fx单调递增，当若a<0，则当0<x<1时，f′x