重难点15 平面向量中的最值与范围问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点15平面向量中的最值与范围问题【十大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1定义法求最值（范围）问题】 4【题型2基底法求最值（范围）问题】 4【题型3坐标法求最值（范围）问题】 5【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 6【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】 7【题型6与模有关的最值（范围）问题】 8【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】 8【题型8极化恒等式】 9【题型9矩形大法】 10【题型10等和(高)线定理】 111、平面向量中的最值与范围问题平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：(1)定义法①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.(2)坐标法①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.(3)基底法①适当选取一组基底，利用基底转化向量；②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论.【知识点2极化恒等式】1．极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【知识点3矩形大法】1．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等.即：已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，可以得到：.【知识点4等和(高)线定理】1．等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB时，k=1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；④当等和线过O点时，k=0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.【题型1定义法求最值（范围）问题】【例1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知单位向量e1,e2的夹角为π3，则e1−te1−e2t∈R的最小值为（A．12 B．32 C．1 【变式1-1】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，则

A．9 B．4 C．3 D．5【变式1-2】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）点O是△ABC所在平面内一点，若OA+OB+OC=0，AMA．12 B．1 C．23 【变式1-3】（23-24高一下·上海·期末）已知向量a,b,c，满足a=b=1①若x=1，则c的最小值为32②若x=1，则存在唯一的y，使得a⋅③若c=1，则x+y的最小值为−1④若c=1，则a⋅cA．1 B．2 C．3 D．4【题型2基底法求最值（范围）问题】【例2】（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形ABCD中，已知E,F分别是BC,CD上的点，且满足BE=EC,CF=2FD．若点P在线段BD上运动，且A．−15,75 B．35【变式2-1】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，P为线段CD上一个动点（含端点），AC=mDB+nA．0,1 B．2,3 C．1,2 D．2,4【变式2-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若AP=λ1AB+μ1BC，AQ=λ2A．m=−18，n=92 C．m=−18，n=94 【变式2-3】（23-24高三下·云南·阶段练习）已知O为△ABC的内心，角A为锐角，sinA=158，若AO=μABA．12 B．34 C．45【题型3坐标法求最值（范围）问题】【例3】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB=42，点D在以BC为直径的圆上运动，则|AB+A．46 B．8 C．63【变式3-1】（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2AE=3EB，在平面ABCD中，动点P满足PE⋅PBA．41+4 B．41−6 C．213【变式3-2】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120∘，AC=3，BC=4，DC⋅A．63−2 B．219−4 C．【变式3-3】（2024·贵州贵阳·一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F．当点P在劣弧EF上运动时，BP⋅DP的取值范围为（A．1−22,−1C．−1,1−2 D．【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】【例4】（2024·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若AF=xAB+2yACx>0,y>0A．3 B．4 C．8 D．9【变式4-1】（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）在△ABC中，点O满足BO=2OC，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．设AM=1mAB，A．3 B．1 C．316 D．【变式4-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）在△ABC中，已知AB⋅AC=9,sinB=cosAsinC,S△ABC=6,A．712+33 B．5+66【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点．设AB=xAP(x>0)，ACA．34 B．32 C．3【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】【例5】（2024·陕西渭南·二模）已知菱形ABCD的边长为1,cos∠BAD=13,O为菱形的中心，E是线段ABA．13 B．23 C．12【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC（包括端点）上一点，则AP⋅AB的取值范围是（A．1,4+24 B．1,2+22【变式5-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，△ABD为等边三角形，CB=CD=2BD=2，当点E在对角线AC上运动时，EC⋅EB的最小值为（A．32 B．12 C．−3【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则AD⋅CM的取值范围为（

A．−6,4 B．0,8 C．−8,0 D．−6【题型6与模有关的最值（范围）问题】【例6】（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a，b，c满足a=1，b=3，a⋅b=−3A．27 B．7 C．23 【变式6-1】（2024·湖南长沙·三模）在平行四边形ABCD中，AC=2BD=4，点P为该平行四边形所在平面内的任意一点，则|PA|2A．6 B．8 C．10 D．12【变式6-2】（23-24高一下·天津·期末）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，E，F分别是AB，AC边上的点，且AE=xAB，AF=yAC，且2x+y=1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则A．72 B．33926 C．21【变式6-3】（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量a，b，e，且e=1，a=2.已知向量b与e所成的角为60°，且b−te≥b−A．3+1 B．23 C．3+【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】【例7】（23-24高一下·甘肃陇南·期末）已知平面向量a,b,c满足a=b=4,A．−463,463 B．【变式7-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=π3，I是∠BAC的平分线上一点，且AI=3，若△ABC内（不包含边界）的一点D满足ID=xABA．−16,524 B．−1【变式7-2】（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,DC//AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,AC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上运动（如图所示）．若AP=λED+μAF，其中A．−2,1 B．−1,1C．−1,2 D．−2,2【变式7-3】（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3,P是扇形内部（包括边界）任意一点，若OP=xOAA．2 B．3 C．4 D．2【题型8极化恒等式】【例8】（2024·重庆·模拟预测）已知△OAB的面积为1,AB=2，动点P,Q在线段AB上滑动，且PQ=1，则OP⋅OQ【变式8-1】（2024·山东·模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM⋅PN的取值范围是【变式8-2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，AD=4，AB=83，BC=12，则BE⋅BF的取值范围为【变式8-3】（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a+b)2=a2+2a⋅b+(1)若cos∠BAD=1213(2)若2AE=EC(3)若P为平面ABCD内一点，求PA⋅【题型9矩形大法】【例9】（2024·浙江绍兴·一模）已知向量a，b，c满足a=b=a⋅A．3−12 B．7−32 【变式9-1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知单位向量a，b满足2a−b=2，若存在向量c，使得c−2A．62,62+1 B．62【变式9-2】（23-24高三上·四川资阳·阶段练习）已知e为单位向量，向量a满足：a−e⋅a−5A．4 B．5 C．6 D．7【变式9-3】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量a，b，c，满足a=b=a⋅b=2A．3−12 B．7−32 【题型10等和(高)线定理】【例10】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，BF=13BC，AF与BE交于点G，过点G的直线分别与射线BA，BC交于点M，N，BM=λBA，A．1 B．87 C．97 【变式10-1】（23-24高三上·河南·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若DPA．5 B．3 C．32 D．【变式10-2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）在扇形OAB中，∠AOB=60∘，C为弧AB上的一动点，若OC=xOA+y【变式10-3】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设AP=mAB+nAF，(m,n∈R)，则一、单选题1．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形ABCD中A=45∘,AB=1,AD=2，若AP=A．12 B．22 C．1 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）在△ABC中，BD=2DC，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且AE=mAB,AF=nAC，其中A．2 B．2 C．3 D．83．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足AB=2，CACA−CBCBA．0,1 B．0,2 C．0,3 D．4．（2024·天津河北·二模）△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC,∣AB∣=1，P是△ABC所在平面内的一点，若CP=λCA+μCB（λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2），则A．0,22 B．22,1 C．5．（2024·安徽芜湖·三模）已知⊙C:x2+y2−10x+9=0与直线l交于A,B两点，且⊙C被l截得两段圆弧的长度之比为1:3，若D为A．182+12 B．162+16 C．6．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若BM=λAB+μAC，则A．12 B．33 C．1 7．（2024·湖北·模拟预测）向量a，b满足〈a,b〉=π6，|b|=4A．12 B．1 C．3 D．8．（2024·四川成都·三模）已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AB，AD上的点(均不与端点重合)，记△AMN，△CMN的面积分别为A．14，34 B．2−1，二、多选题9．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量a,b,c满足a=1,A．a+B．a+C．a−D．a−b10．（2024·山西晋中·模拟预测）在△ABC中，D为边AC上一点且满足AD=12DC，若P为边BD上一点，且满足AP=λAB+μA．λμ的最小值为1 B．λμ的最大值为1C．1λ+13μ的最大值为1211．（2024·山东潍坊·二模）已知向量a，b，c为平面向量，a=1，b=2，a⋅b=0A．1≤c≤32 C．−1≤b⋅c≤1 D．若c三、填空题12．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知点O,A,B在同一平面内且A为定点，OA⋅AB=−2,OB⋅AB=2,C,D分别是点B13．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知△ABC中，角A