重难点29 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点29圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三角形面积问题】 2【题型2四边形面积问题】 2【题型3三角形面积之比问题】 4【题型4三角形面积之和、之差问题】 5【题型5已知面积求其他量】 7【题型6三角形（四边形）面积的最值、范围问题】 81、圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题考查热度较高，考查形式多种多样，主要考查三角形、四边形的面积及其最值（范围）问题、面积之比问题、已知面积求其他量等问题，各种题型都有考查，在解答题中，计算量大，难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.【知识点1圆锥曲线中的面积问题及其解题策略】1．三角形面积问题的解题策略(1)利用三角形面积公式求解：①(一般选弦长做底，点到直线的距离为高)；②.2．四边形面积问题的解题策略面积的拆分：不规则的多边形的面积问题通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.3．三角形面积之比问题的解题策略(1)三角形面积公式：利用三角形面积公式分别求出各个三角形的面积，再研究它们之间的比值问题.(2)面积的关系的转化：寻找这些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.4．圆锥曲线中面积的最值（范围）问题的解题策略一般都是利用三角形面积公式表示面积，然后将面积的关系式转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值(常用方法有：单调性法、换元法、基本不等式、三角函数求最值、利用导数求最值等)，在计算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活求解，简化计算.【题型1三角形面积问题】【例1】（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A,B两点，过A,B分别作准线l的垂线，垂足分别为M,N，若△AFM和△BFN的面积分别为8和4，则△MFN的面积为（

）A．32 B．16 C．82 【变式1-1】（2024·湖南长沙·三模）已知点A为双曲线x24−y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若A．4 B．89 C．169 【变式1-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为20，离心率为35，左､右焦点为FA．6433 B．643 C．128【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知点A为椭圆M：x24+y23=1的一点，F1，F2分别为椭圆M的左，右焦点，∠A．12 B．22 C．1 【题型2四边形面积问题】【例2】（2024·贵州毕节·二模）在椭圆C:x24+y22=1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，(1)当点P在椭圆C上运动时，求点M的轨迹E的方程；(2)若曲线E与x，y轴的正半轴分别交于点A，B，点N是E上第三象限内一点，线段AN与y轴交于点H，线段BN与x轴交于点G，求四边形ABGH的面积.【变式2-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线l1:x=my+n1与直线l2:x=my+n2，分别与抛物线T:y2=2px(p>0)交于点A，B和点C，D（A，D在x

(1)求抛物线T的标准方程；(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N①求证：M，H，N三点共线；②若2HM=HN【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2(1)求椭圆E的方程；(2)已知A,B,C为椭圆上三个点，O为坐标原点，若四边形OABC为矩形，求四边形OABC的面积.【变式2-3】（2024·山东济南·二模）已知点B4,3是双曲线T:x2a2−y2(1)求双曲线T的方程及点A的坐标；(2)过A且斜率非负的直线与T的左､右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交T于P（当N位于左顶点时认为N与P重合）.C为圆E:(x−1)2+(y+2)2【题型3三角形面积之比问题】【例3】（2024·重庆·模拟预测）已知F1−c,0,F2c,0分别是椭圆C1:x2a(1)求椭圆的离心率；(2)设△PF1F2和△QF【变式3-1】（2024·四川南充·二模）如图，已知四边形ABCD的四个顶点都在抛物线x2=4y上，且A，B在第一象限，AC//x轴，抛物线在点A处的切线为l，且

(1)设直线CB,CD的斜率分别为k和k′，求k+(2)P为AC与BD的交点，设△BCD的面积为S1，△PAD的面积为S2，若tan∠BCA=2【变式3-2】（2024·辽宁·模拟预测）设动点Gx,y到点F1,0的距离与它到直线l:x=4的距离之比为12，记点G(1)求C的方程；(2)A为C与x轴的负半轴的交点，B为直线x=1与C在第一象限的交点，直线l′过点−2,3，且与C相交于M,N两点，过点N作垂直于x轴的直线分别与直线AB,AM相交于点P,Q，分别记△ANQ与△APQ的面积为S1与S2【变式3-3】（2024·新疆·三模）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，过抛物线C2：y2=2ax焦点的直线交抛物线于M，N两点，MN的最小值为4.连接MO，NO并延长分别交C1于A，(1)求C1和C(2)记λ=S△OMNS【题型4三角形面积之和、之差问题】【例4】（23-24高二下·福建泉州·期中）已知抛物线C:y2=2px(0<p<3)，其焦点为F，点Qm,23(1)求抛物线C的方程；(2)O为坐标原点，A,B为抛物线上不同的两点，且OA⊥OB，（i）求证直线AB过定点；（ii）求△AFO与△ABO面积之和的最小值．【变式4-1】（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ:x22+y2=1的左，右焦点外别为F1,F

(1)求△PF(2)求△PF(3)求S△P【变式4-2】（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，Mm,−3(1)求C的方程；(2)过点P4,0且斜率存在的直线l与C交于不同的两点A,B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于点Q（i）求点Q的坐标；（ii）求△OAQ与△OAB的面积之和的最小值.【变式4-3】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点M(x,y)到定点F(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距离之比是常数12，设动点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点N(−1,0)的直线与曲线C相交于点A，B(不在x轴上)，记线段AF的中点为P，连接PO，并延长PO交曲线C于点D，求△FPN与△BND的面积之和的取值范围.【题型5已知面积求其他量】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为2A．42 B．82 C．6【变式5-1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与EA．2332 B．2333 【变式5-2】（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点O，点P2,−(1)求双曲线的标准方程；(2)若过点Q0,2的直线l与双曲线交于E，F两点，△OEF的面积为22，求直线【变式5-3】（2024·广东茂名·一模）已知抛物线C:y2=2pxp>0，F为抛物线的焦点，P,Q其为准线上的两个动点，且PF⊥QF.当(1)求抛物线C的标准方程；(2)若线段PF,QF分别交抛物线C于点A,B，记△PQF的面积为S1，△ABF的面积为S2，当S1【题型6三角形（四边形）面积的最值、范围问题】【例6】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2=1a>1的离心率为255，椭圆C的动弦AB过椭圆C的右焦点F，当AB垂直(1)求点M的坐标；(2)若直线AB的斜率为1m，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为−m2，直线NF与椭圆C交于P，Q【变式6-1】（2024·北京·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C:x2+4y2=2上一点D的横坐标为1，斜率存在的直线l交椭圆C于A，(1)求OD；(2)若点D在第一象限，探究△ABO的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2(1)求双曲线C的标准方程；(2)记O为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为A,B,P为双曲线C上一动点（异于顶点），M为线段AP的中点，Q为直线x=95上一点，且AP//OQ，过点Q作QN⊥OM于点N，求【变式6-3】（2024·江苏南通·三模）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l过点F交C于A,B两点，C在A,B两点的切线相交于点P,AB的中点为Q，且PQ交C于点E．当l(1)求C的方程；(2)若点P的横坐标为2，求QE；(3)设C在点E处的切线与PA,PB分别交于点M,N，求四边形ABNM面积的最小值．一、单选题1．（2024·内蒙古赤峰·二模）设点P是椭圆C:x236+y225=1上一点,F1,FA．167 B．537 C．122．（2024·河北·模拟预测）点F1−2,0,F22,0为等轴双曲线C的焦点，过F2作x轴的垂线与CA．22 B．4 C．423．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知抛物线C:y2=6x，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切于点A,B，则△PABA．6 B．9 C．12 D．184．（2024·江西九江·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为π6的直线交A．x23+C．x29+5．（2024·辽宁·一模）已知双曲线C:y23−x2=1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于AA．3 B．−3 C．103 D．6．（2024·广东广州·一模）双曲线C:x2−y2=4的左，右焦点分别为F1,F2，过F2作垂直于xA．62−8 B．62−4 C．7．（2024·云南·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线l1,l2分别与抛物线C交于点A,B和D,EA．64 B．32 C．16 D．88．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点(A在x轴上方)，过点A、B作准线的垂线，垂足分别为A′、B′线段A′B′中点为E，四边形AA′A．3−22 B．3−2 C．3+2二、多选题9．（2024·云南·二模）已知点P为双曲线E:x24−y23=1上任意一点，过点P分别作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为M、A．∠MPN=2π3C．PM⋅PN=10．（2024·江西·模拟预测）已知A−2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为−34，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，QA．M的轨迹方程为xB．MC的最小值为1C．若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为3D．若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍11．（2024·广东·二模）抛物线τ：x2=2pyp>0焦点为F，且过点A4,4，斜率互为相反数的直线AC，AD分别交τ于另一点C和A．直线CD过定点B．τ在C，D两点处的切线斜率和为−4C．τ上存在无穷多个点到点F和直线y=5的距离和为6D．当C，D都在A点左侧时，△ACD面积的最大值为256三、填空题12．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若△AOB的面积为2，则p=13．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆M:x22+y2=1，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆M相交于A、B、C、D四个点，若该两条直线的斜率分别为k1、k214．（2024·全国·模拟预测）过双曲线C:x23−y2=1的右焦点F的直线与C的右支交于A,B两点，O为原点，线段OM的中点与线段AB四、解答题15．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆C：x24+y2=1的左右顶点分别为A，B，过D65,0的直线与椭圆C交于E(1)求证：点P在定直线上；(2)线段EF的中点为M，求△OMP面积的最大值．16．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线C:x2a(1)求C的方程；(2)若直线l:y=kx+2交C于A,B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为26，求k17．（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为(1)若C的离心率为2，求证：对于给定的a或b，以AB为直径的圆经过x轴上一定