15.3 等腰三角形的判定定理及其推论 同步练习

第15章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第2课时等腰三角形的判定定理及其推论基础过关全练知识点4等腰三角形的判定定理4.(2023安徽六安舒城联考)在如图所示的4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是()A.①③ B.①②④ C.①②③④ D.①③④5.如图，已知△ABC中，AB=BC，延长AB到D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E.求证：△BDE为等腰三角形.知识点5等腰三角形判定定理的推论6.下列三角形不一定是等边三角形的是()A.有两个内角是60°的三角形 B.三个外角都相等的三角形C.有两个角相等的等腰三角形 D.有一个角是60°的等腰三角形知识点6含30°角的直角三角形的性质定理7.(2023安徽六安舒城联考)已知CH是Rt△ABC的高，∠ACB=90°，∠B=60°，若BH=3，则AH=()A.1 B.9 C.12 D.48.(2022安徽合肥庐江期中)如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了28米到达D处，测得∠ADB=30°，则树的高度是.

能力提升全练9.(2022湖北荆州中考)如图，直线l1∥l2，AB=AC，∠BAC=40°，则∠1+∠2的度数是()A.60° B.70° C.80° D.90°10.(2022辽宁鞍山中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=24°，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD，则∠D的度数为()A.39° B.40° C.49° D.51°11.(2023安徽合肥庐江期中)如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形.若∠1=40°，则∠2的度数为()A.60° B.80° C.90° D.100°12.(2022安徽合肥庐江期中)如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF的度数为()A.45° B.60° C.75° D.90°13.(2020内蒙古呼伦贝尔中考)如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C=65°，则∠DBC的度数是()A.25° B.20° C.30° D.15°14.(2021安徽合肥蜀山期末)已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD=40°，点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是.

15.(2023安徽阜阳颍州期中)如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE=CD，求证：BD=DE.16.(2020广东中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.17.(2021山东淄博中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E.(1)求证：BE=DE；(2)若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度数.18.(2021浙江绍兴中考)如图，在△ABC中，∠A=40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD=BC=CE，连接CD，BE.(1)若∠ABC=80°，求∠BDC，∠ABE的度数；(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由.素养探究全练19.已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB(填“>”“<”或“=”)；

(2)如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由；(3)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你画出相应图形，并直接写出结果).20.(1)观察与发现：小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片(如图①)，再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，AD与EF相交于点O，展开纸片后得到△AEF(如图②)，小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗?请说明理由；(2)实践与运用：将长方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE，可得正方形ABFE(如图③)，再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG(如图④)，再展开纸片(如图⑤)，求图⑤中∠α的度数. 图① 图② 图③ 图④ 图⑤

第15章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第2课时等腰三角形的判定定理及其推论答案全解全析基础过关全练4.D①中的三角形能分成两个小等腰三角形，其内角度数分别为36°，36°，108°和36°，72°，72°；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它分为了两个小等腰直角三角形；④中的三角形能分成两个小等腰三角形，其内角度数分别为36°，72°，72°和36°，36°，108°.5.证明∵AB=BC，∴∠A=∠C.∵DF⊥AC，∴∠DFA=∠EFC=90°.∴∠D=90°-∠A，∠CEF=90°-∠C，∴∠D=∠CEF.∵∠BED=∠CEF，∴∠D=∠BED.∴BE=BD，∴△BDE为等腰三角形.6.C由三角形中两个内角为60°，可知该三角形中第三个内角也为60°，故该三角形为等边三角形，选项A不符合题意；三个外角相等说明该三角形的三个内角相等，故该三角形为等边三角形，选项B不符合题意；等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形，选项C符合题意；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，选项D不符合题意.7.B由题意，画出图形如图：∵CH是Rt△ABC的高，∴∠CHB=90°，∵∠B=60°，∴∠BCH=30°，∴BC=2BH=2×3=6.∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=12，∴AH=AB-BH=12-3=9.8.答案14米解析由题意可得∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD=28米.在△ADB中，∠ADB=30°，∠ABD=90°，∴AB=12能力提升全练9.B过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1=∠BCD，∠2=∠ACD，∴∠1+∠2=∠BCD+∠ACD=∠ACB.∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC.∵∠BAC=40°，∴∠ACB=12(180°-∠BAC)=70°，∴∠1+∠10.A∵AB=AC，∠BAC=24°，∴∠B=∠ACB=78°.∵CD=AC，∴∠D=∠CAD，∵∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠D=∠CAD=12∠11.B如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°.∵∠1=40°，∴∠3=∠1+∠A=40°+60°=100°.∵l1∥l2，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=80°.12.B∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，∴∠BCA=∠A=15°，∴∠BDC=∠CBD=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，∴∠CED=∠ECD=∠A+∠CDB=45°，∴∠EFD=∠EDF=∠A+∠CED=60°，∴∠DEF=180°-(∠EDF+∠EFD)=180°-120°=60°.13.D∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠A=180°-65°×2=50°.∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°.14.答案20°或50°解析如图，①设∠EDC=x，∠B=∠C=y，则∠AED=∠EDC+∠C=x+y，当AD=AE时，∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又∠ADC=∠B+∠BAD，∴2x+y=y+40°，解得x=20°，即∠EDC的度数是20°；②∵AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠DAC=∠BAD=40°，∴当DE'=AE'时，∠DAE'=∠E'DA=40°，∴∠E'DC=50°；③当AD=DE″时，∠DAE″=∠DE″A=40°，根据题意知∠B=∠C=(180°-40°-40°)÷2=50°，∴∠DE″A<∠C，∴不成立.故答案为20°或50°.15.证明∵△ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=12∠∴∠DBC=∠E，∴BD=DE.16.证明证法一：在△BDF和△CEF中，∠BFD=∠CFE,∠DBF=∠ECF,BD=CE,∴△BDF∴BF=CF，DF=EF，∴BF+EF=CF+DF，即BE=CD.在△ABE和△ACD中，∠A=∠A,∴△ABE≌△ACD(AAS)，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.证法二：在△BDF和△CEF中，∠BFD=∠CFE,∴△BDF≌△CEF(AAS)，∴BF=CF.∴∠FBC=∠FCB.∵∠ABE=∠ACD，∴∠ABE+∠FBC=∠ACD+∠FCB.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.17.解析(1)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE.(2)∵∠A=80°，∠C=40°，∴∠ABC=60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠由(1)知∠EDB=∠EBD，∴∠BDE=30°.18.解析(1)∵∠ABC=80°，BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=12∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=80°，∠A=40°，∴∠ACB=180°-40°-80°=60°.∵CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC=60°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=80°-60°=20°.(2)∠BEC+∠BDC=110°.理由：设∠BEC=α，∠BDC=β，则α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE.∵CE=BC，∴∠CBE=∠BEC=α，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+2∠ABE，在△BDC中，BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°，∴β=70°-∠ABE，∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°，即∠BEC+∠BDC=110°.素养探究全练19.解析(1)=.(2)AE=DB.理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF=AF，∴BE=CF.∵ED=EC，∴∠D=∠ECD.∵∠DEB=60°-∠D，∠ECF=60°-∠ECD，∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中，DE=EC,∴△DBE≌△EFC(SAS)，∴DB=EF，∴AE=DB.(3)如图：CD=3